2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學試題（江蘇卷解析版）

1、2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 （江蘇卷）數(shù)學注意事項絕密啟用前考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求：1本試卷共4頁，均為非選擇題（第1題第20題，共20題）.本卷滿分為160分.考試時間為120分鐘.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.2答題前，請您務必將自己的姓名、考試證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與您本人是否相符.4作答試題必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡的指定位置作答，在其它位置作答一律無效.5如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗. 一、填空題

2、：本大題共14小題，每小題5分，共70分請把答案直接填寫在答題卡相應位置上.1. 函數(shù)的最小正周期為 .解析：2. 設(i為虛數(shù)單位)，則復數(shù)的模為 .解析：3. 雙曲線的兩條漸近線的方程為 .解析：YN輸出n開始結束（第5題）4. 集合共有 個子集.解析：（個）5. 右圖是一個算法的流程圖，則輸出的的值是 解析：經(jīng)過了兩次循環(huán)，n值變?yōu)?6. 抽樣統(tǒng)計甲，乙兩位射擊運動員的5次訓練成績(單位：環(huán))，結果如下：運動員第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892則成績較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運動員成績的方差為 .解析：易知均值都是90，乙方差較小，7. 現(xiàn)有某類病

3、毒記作，其中正整數(shù)可以任意選取，則都取到奇數(shù)的概率為 .解析：可以取的值有：共個可以取的值有：共個所以總共有種可能符合題意的可以取共個符合題意的可以取共個所以總共有種可能符合題意所以符合題意的概率為8. 如圖，在三棱柱中，分別是的中點，設三棱錐的體積為，三棱柱的體積為，則 .解析：所以9. 拋物線在處的切線與兩坐標軸圍成三角形區(qū)域為(包含三角形內部和邊界).若點是區(qū)域內的任意一點，則的取值范圍是 .解析：易知切線方程為： 所以與兩坐標軸圍成的三角形區(qū)域三個點為易知過C點時有最小值，過B點時有最大值0.510. 設分別是的邊上的點，,若(為實數(shù))，則的值為 .解析：易知所以11. 已知是定義在上

4、的奇函數(shù).當時，則不等式的解集用區(qū)間表示為 .解析：因為是定義在上的奇函數(shù)，所以易知時，解不等式得到的解集用區(qū)間表示為12. 在平面直角坐標系中，橢圓的標準方程為，右焦點為,右準線為，短軸的一個端點為，設原點到直線的距離為，到的距離為.若，則橢圓的離心率為 .解析：由題意知所以有 兩邊平方得到，即兩邊同除以得到，解得，即13. 平面直角坐標系中，設定點，是函數(shù)圖像上一動點，若點之間最短距離為，則滿足條件的實數(shù)的所有值為 .解析：由題意設 則有令則 對稱軸 1.時， ， （舍去） 2.時， ， （舍去） 綜上或14. 在正項等比數(shù)列中，.則滿足的最大正整數(shù)的值為 . 解析： 又時符合題意，所以的

5、最大值為二、解答題：本大題共6小題，共計90分。請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.（本小題滿分14分）已知，.(1) 若，求證：；(2) 設，若，求，的值.解：(1) (2) 得： 又16. （本小題滿分14分）如圖，在三棱錐中，平面平面，,. 過作，垂足為，點,分別是側棱,的中點.求證：(1) 平面平面;(2) .解：(1)分別是側棱的中點 在平面中，在平面外 平面 為中點 在平面中，在平面外 平面 與相交于 在平面中 平面平面 (2) 平面平面 為交線 在中， 平面 與相交于 在平面中 平面 17. （本小題滿分14分）如圖，在平面直角坐標系中，點，

6、直線.設圓的半徑為1，圓心在上.(1) 若圓心也在直線上，過點作圓的切線，求切線的方程；(2) 若圓上存在點，使，求圓心的橫坐標的取值范圍.解：（1） 與聯(lián)立得到圓心坐標 圓方程為 切線斜率不存在時，不合題意 設切線方程為 解得或 切線方程為或（2）設 則圓方程為 設 由題意 即 存在 圓與圓有交點 即兩圓相交或相切 即 18. （本小題滿分16分）如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點處下山至處有兩種路徑. 一種是從沿直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車到，然后從沿直線步行到.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從處下山，甲沿勻速步行，速度為50m/min. 在甲出發(fā)2min后，乙從乘纜車到，在處停留1min后，再從勻

7、速步行到. 假設纜車勻速直線運動的速度為130m/min，山路長為1260m，經(jīng)測量，.(1) 求索道的長；(2) 問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？(3) 為使兩位游客在處相互等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應控制在什么范圍內？解：(1) (2) 設乙出發(fā)分鐘后，甲到了處，乙到了E處 則有 根據(jù)余弦定理 即 當時，有最小值 (3) 設甲所用時間為，乙所用時間為，乙步行速度為 由題意 解不等式得19. （本小題滿分16分）設是首項為，公差為的等差數(shù)列，是其前項和. 記，其中為實數(shù).(1) 若，且，成等比數(shù)列，證明：；(2) 若是等差數(shù)列，證明：.解： （1） 時， 成等比 （2） 由已知 是等差數(shù)列 設（k,b為常數(shù)） 有對任意恒成立 此時 命題得證20. （本小題滿分16分）設函數(shù)，其中為實數(shù).(1) 若在上是單調減函數(shù)，且在上有最小值，求的范圍；(2) 若在上是單調增函數(shù)，試求的零點個數(shù)，并證明你的結論.解：（1） 由題意：對恒成立 即對恒成立 在上有最小值 時，恒成立，在無最值 時，由題意 綜上：的范圍是： （2）在上是單調增函數(shù) 對恒成立 即