《數(shù)值分析》水塔問(wèn)題

1、淮海工學(xué)院計(jì)算機(jī)工程學(xué)院實(shí)驗(yàn)報(bào)告書(shū)課程名： 數(shù)值分析 題 目： 水塔問(wèn)題 班 級(jí)： 學(xué) 號(hào)： 姓 名： 評(píng)語(yǔ)：成績(jī)： 指導(dǎo)教師： 批閱時(shí)間： 年 月 日一、課程設(shè)計(jì)目的：1訓(xùn)練學(xué)生靈活應(yīng)用所學(xué)數(shù)值分析知識(shí)，獨(dú)立完成問(wèn)題分析，結(jié)合數(shù)值分析理論知識(shí)，編寫程序求解指定問(wèn)題。 2初步掌握解決實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中的對(duì)問(wèn)題的分析、系統(tǒng)設(shè)計(jì)、程序編碼、測(cè)試等基本方法和技能；3提高綜合運(yùn)用所學(xué)的理論知識(shí)和方法獨(dú)立分析和解決問(wèn)題的能力；4.訓(xùn)練用數(shù)值分析的思想方法和編程應(yīng)用技能模擬解決實(shí)際問(wèn)題，鞏固、深化學(xué)生的理論知識(shí)，提高學(xué)生對(duì)數(shù)值分析的認(rèn)知水平和編程水平，并在此過(guò)程中培養(yǎng)他們嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和良好的工作作風(fēng)二、課程

2、設(shè)計(jì)任務(wù)與要求：課程設(shè)計(jì)題目：計(jì)算水塔的水流量【問(wèn)題描述】 某居民區(qū)的民用自來(lái)水是由一個(gè)圓柱形的水塔提供，水塔高12.2米，直徑17.4米。水塔是由水泵根據(jù)水塔內(nèi)水位高低自動(dòng)加水，一般每天水泵工作兩次，現(xiàn)在需要了解該居民區(qū)用水規(guī)律與水泵的工作功率。按照設(shè)計(jì)，當(dāng)水塔的水位降至最低水位，約8.2米時(shí)，水泵自動(dòng)啟動(dòng)加水；當(dāng)水位升高到一個(gè)最高水位，約10.8米時(shí)，水泵停止工作。可以考慮采用用水率（單位時(shí)間的用水量）來(lái)反映用水規(guī)律，并通過(guò)間隔一段時(shí)間測(cè)量水塔里的水位來(lái)估算用水率，原始數(shù)據(jù)表是某一天的測(cè)量記錄數(shù)據(jù)，測(cè)量了28個(gè)時(shí)刻，但是由于其中有3個(gè)時(shí)刻遇到水泵正在向水塔供水，而無(wú)水位記錄。試建立合適的數(shù)

3、學(xué)模型，推算任意時(shí)刻的用水率、一天的總用水量。進(jìn)一步：可自己增加一些新的計(jì)算功能。 【問(wèn)題假設(shè)】 1. 水塔中水流量是時(shí)間的連續(xù)光滑函數(shù)，與水泵工作與否無(wú)關(guān)，并忽略水位高度對(duì)水流速度的影響。2. 水泵工作與否完全取決于水塔內(nèi)水位的高度。3. 水塔為標(biāo)準(zhǔn)的圓柱體。體積V=PI*D*D*h/4 其中D為底面直徑，h為水位高。4. 水泵第一次供水時(shí)間段為8.967,10.954，第二次供水時(shí)間段為20.839,22.958。 【實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)】 原始數(shù)據(jù)（單位：時(shí)刻（小時(shí)），水塔中水位（米）時(shí)刻t00.9211.8432.9493.8714.9785.900水位h9.6779.4799.3089.1258

4、.9828.8148.686時(shí)刻t7.0067.9288.9679.981110.92510.95412.032水位h8.5258.3888.220泵水泵水10.82010.500時(shí)刻t12.95413.87514.98215.90316.82617.93119.037水位h10.2109.9369.6539.4099.1808.9218.662時(shí)刻t19.95920.83922.01522.95823.88024.98625.908水位h8.4338.220泵水10.82010.59110.35410.180【實(shí)現(xiàn)提示】 由問(wèn)題的要求，關(guān)鍵在于確定用水率函數(shù)，即單位時(shí)間內(nèi)用水體積，記為f(t

5、)，又稱水流速度。如果能夠通過(guò)測(cè)量數(shù)據(jù)，產(chǎn)生若干個(gè)時(shí)刻的用水率，也就是f(t)在若干個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值，則f(t)的計(jì)算問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為插值或擬合問(wèn)題?！緦?shí)現(xiàn)要求】1、在處理每個(gè)題目時(shí)，要求分別從數(shù)據(jù)處理階段和程序設(shè)計(jì)階段兩個(gè)主要階段實(shí)現(xiàn)課程設(shè)計(jì)，詳細(xì)的通過(guò)文字以及插圖等形式，按需求分析、數(shù)據(jù)處理、算法設(shè)計(jì)、代碼、計(jì)算結(jié)果和程序執(zhí)行的截圖等若干步驟完成題目，最終寫出完整的分析報(bào)告。前期準(zhǔn)備工作完備與否直接影響到后序上機(jī)調(diào)試工作的效率。在程序設(shè)計(jì)階段應(yīng)盡量利用已有的標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)，加大代碼的重用率。 2、設(shè)計(jì)的題目要求達(dá)到一定工作量，并具有一定的深度和難度。3、程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言推薦使用C/C+，程序書(shū)寫規(guī)范，源

6、程序需加必要的注釋;4、每位同學(xué)需提交可獨(dú)立運(yùn)行的程序；5、每位同學(xué)需獨(dú)立提交設(shè)計(jì)報(bào)告書(shū)（每人一份），要求編排格式統(tǒng)一、規(guī)范、內(nèi)容充實(shí)；6、課程設(shè)計(jì)實(shí)踐作為培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手能力的一種手段，單獨(dú)考核。三、課程設(shè)計(jì)說(shuō)明書(shū)【需求分析】根據(jù)一組關(guān)于若干個(gè)時(shí)刻的水塔內(nèi)水位高度的數(shù)據(jù)，經(jīng)過(guò)必要的處理，得到一組若干個(gè)時(shí)刻的用水率的數(shù)據(jù)，然后根據(jù)這一組數(shù)據(jù)提出假設(shè)，建立合適的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)C語(yǔ)言程序?qū)⒃撃Ｐ偷囊恍﹨?shù)求出來(lái)，最后得到一條能夠擬合這一組若干個(gè)時(shí)刻的用水率的光滑的函數(shù)，進(jìn)而推算出任意一個(gè)時(shí)刻的用水率，并計(jì)算出一天的總用水量。如果還有余力可以增加更多的實(shí)際計(jì)算要求?！緮?shù)據(jù)處理概要】1. 關(guān)于原始數(shù)據(jù)中有

7、三個(gè)時(shí)刻水泵是在泵水的處理：由問(wèn)題假設(shè)可以知道水塔中水流量是時(shí)間的連續(xù)光滑函數(shù)，與水泵工作與否無(wú)關(guān)，如果將這三個(gè)時(shí)刻的數(shù)據(jù)忽略不計(jì)，是不影響設(shè)計(jì)結(jié)果的。所以設(shè)計(jì)中忽略這三個(gè)時(shí)刻的數(shù)據(jù)。2. 關(guān)于確定求解哪些時(shí)刻的用水率問(wèn)題：我采用每?jī)蓚€(gè)時(shí)刻的中間時(shí)刻和這兩個(gè)時(shí)刻之間的時(shí)間段內(nèi)的平均用水率作為最后的若干時(shí)刻的用水率。3. 關(guān)于數(shù)據(jù)處理過(guò)程中三個(gè)無(wú)數(shù)據(jù)時(shí)刻的處理：按照處理需要，適當(dāng)?shù)纳釛夁吘壍臄?shù)據(jù)和錯(cuò)誤的結(jié)尾數(shù)據(jù)（比如要計(jì)算兩個(gè)值的差，最后一項(xiàng)后面已經(jīng)沒(méi)有數(shù)據(jù)了，系統(tǒng)會(huì)在該數(shù)據(jù)后產(chǎn)生一個(gè)零，所以是錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)）。【詳細(xì)設(shè)計(jì)】本設(shè)計(jì)報(bào)告按照我的設(shè)計(jì)步驟完成：1、將所給的數(shù)據(jù)中的時(shí)刻輸入到Excel表格

8、中，如下圖所示：2、計(jì)算出每?jī)蓚€(gè)相鄰的時(shí)刻之間的時(shí)間差（表格列B(n)= A(n+1)- A(n)），然后除以2（表格列C(n)=A(n)+B(n)/2）得到相鄰兩個(gè)時(shí)刻的中間時(shí)刻：3、將原始數(shù)據(jù)中的水位數(shù)據(jù)輸入到該表格中：4、根據(jù)公式：V=PI*D*D*h/4計(jì)算各個(gè)時(shí)刻水塔中水的體積（表格列E(n)=PI*D*D* D(n)/4），然后求出各個(gè)時(shí)間段內(nèi)用水的體積（表格列F(n)=D(n)-D(n+1)）：5、求中間時(shí)刻的用水率，即求該時(shí)間段（時(shí)刻差）內(nèi)的平均用水量（表格列G(n)=F(n)/B(n)）：6、將中間時(shí)刻和中間時(shí)刻的用水率復(fù)制到另一張表中，以便處理（這時(shí)共產(chǎn)生22組數(shù)據(jù)）：到這

9、里所有的數(shù)據(jù)處理已經(jīng)結(jié)束。接下來(lái)是研究數(shù)據(jù)所包含的規(guī)律，根據(jù)數(shù)據(jù)提出適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，擬合一條光滑的連續(xù)的曲線。7、在Excel中有擬合曲線的工具，所以我先用Excel中的工具對(duì)這組數(shù)據(jù)進(jìn)行了擬合畫出散點(diǎn)圖：通過(guò)添加趨勢(shì)線，來(lái)擬合光滑曲線：對(duì)數(shù)據(jù)擬合如圖像上圖，使用多項(xiàng)式趨勢(shì)線可以較合理的描述出數(shù)據(jù)的走向，用Excel很容易得出單位時(shí)間內(nèi)用水體積的表達(dá)式為y = -0.0001x5 + 0.0104x4 - 0.3254x3 + 4.3588x2 - 21.169x + 64.71用Excel對(duì)該系列數(shù)據(jù)擬合之后，嘗試用程序?qū)υ摂?shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，通過(guò)最小二乘法，最高次為5次，得出的各項(xiàng)系數(shù)如下經(jīng)過(guò)比

10、較，發(fā)現(xiàn)通過(guò)程序算得的數(shù)據(jù)與excel所得的表達(dá)式在可接受的誤差范圍之內(nèi)。將該系數(shù)替換原先表達(dá)式的系數(shù)，即：y = -0.00015x5 + 0.012193x4 - 0.366317x3 +4.760591x222.665987x + 66.025230并在excel中生成相應(yīng)圖像：與之前的圖像進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)兩張圖的趨勢(shì)相差無(wú)幾，如此可以得到任意時(shí)刻的用水率的表達(dá)式為f(x) = -0.00015x5 + 0.012193x4 - 0.366317x3 +4.760591x222.665987x + 66.025230，要求一天的用水量，則對(duì)f(x)進(jìn)行積分：V=024f(t)dt=-0.0

11、00025t6+0.0024386t5-0.09157925t4+1.58686367t3-11.3329935t2+66.02523t+C|024即可求的一天的用水總量.程序源代碼：#include#include#includevoid yongShuiLv();void yongShuiLiang();void gongLv();void Approx(float,float,int,int,float); void main()int i;float a6;/多項(xiàng)式的待定系數(shù)個(gè)數(shù)float x22=0.4605,1.382,2.396,3.41,4.4245,5.439,6.453,7

12、.467,8.4475,11.493,12.493,13.4145,14.4285,15.4425,16.3645,17.3785,18.484,19.498,20.399,23.419,24.433,25.447;/22個(gè)時(shí)刻的值float y22=51.12036405,44.10152093,39.3445281,36.88021926,36.08693844,33.01166479,34.61458483,35.33279747,38.44874,70.58616637,74.79205304,70.74232197,60.78930702,62.99681227,58.9959446

13、2,55.73472518,55.68433211,59.05993154,57.55529831,59.05993154,50.95438885,44.87523183;/22個(gè)時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的用水率Approx(x,y,22,5,a);for(i=0;i=5;i+)printf(a%d=%fn,i,ai);printf(擬合多項(xiàng)式為：nf(t)=(%f)*t*t*t*t*t+(%f)*t*t*t*t+(%f)*t*t*t+(%f)*t*t+(%f)*t+(%f)n,a5,a4,a3,a2,a1,a0);yongShuiLiang();gongLv();char s;while(1)/通過(guò)判斷用

14、戶輸入的字符是Y/N，來(lái)控制是否繼續(xù)求某一時(shí)刻的用水率cout您是否還要查詢某時(shí)刻的用水率（Y/N）：s;switch(s)case Y:yongShuiLv();break;case N:break;if(s=N)break;void Approx(float x,float y,int m,int n,float a)int i,j,t;float *c=new float(n+1)*(n+2);float power(int,float);void ColPivot(float *,int,float);for(i=0;i=n;i+)for(j=0;j=n;j+)*(c+i*(n+2)+

15、j)=0;for(t=0;t=m-1;t+)*(c+i*(n+2)+j)+=power(i+j,xt);*(c+i*(n+2)+n+1)=0;for(j=0;j=m-1;j+)*(c+i*(n+2)+n+1)+=yj*power(i,xj);ColPivot(c,n+1,a);delete c;void ColPivot(float *c,int n,float x)int i,j,t,k;float p;for(i=0;i=n-2;i+)k=i;for(j=i+1;j(fabs(*(c+k*(n+1)+i)k=j;if(k!=i)for(j=i;j=n;j+)p=*(c+i*(n+1)+j)

16、;*(c+i*(n+1)+j)=*(c+k*(n+1)+j);*(c+k*(n+1)+j)=p;for(j=i+1;j=n-1;j+)p=(*(c+j*(n+1)+i)/(*(c+i*(n+1)+i);for(t=i;t=0;i-)for(j=n-1;j=i+1;j-)(*(c+i*(n+1)+n)-=xj*(*(c+i*(n+1)+j);xi=*(c+i*(n+1)+n)/(*(c+i*(n+1)+i);float power(int i,float v)float a=1;while(i-)a*=v;return a;void yongShuiLv()/計(jì)算某時(shí)刻的用水率函數(shù)float t

17、;cout請(qǐng)輸入任意一個(gè)時(shí)刻，程序?qū)⒕退愠鲈摃r(shí)刻的用水率t;float f=-0.00015*t*t*t*t*t+0.012193*t*t*t*t-0.366317*t*t*t+4.760591*t*t-22.665987*t+66.025230;coutt時(shí)刻的用水率是：f立方米/小時(shí)endl;void yongShuiLiang()/計(jì)算一天居民總的用水量float v;v=-0.000025*24*24*24*24*24*24+0.0024386*24*24*24*24*24-0.09157925*24*24*24*24+1.58686367*24*24*24-11.3329935*24*24+66