27.6(2)正多邊形與圓

1、 正多邊形正多邊形 各邊相等，各角也相等的多邊形各邊相等，各角也相等的多邊形. . E F C D . 正多邊形及外接圓中的有關(guān)概念正多邊形及外接圓中的有關(guān)概念 如圖，在正如圖，在正n邊形中，分別經(jīng)過(guò)各定點(diǎn)邊形中，分別經(jīng)過(guò)各定點(diǎn) 的半徑將這個(gè)正的半徑將這個(gè)正n邊形分為邊形分為n個(gè)個(gè) 三角形，每個(gè)等腰三角形的腰是正三角形，每個(gè)等腰三角形的腰是正n邊邊 形的形的 ，底邊是正，底邊是正n邊形的邊形的 ， 頂角是正頂角是正n邊形的邊形的 ，底邊上的，底邊上的 高是正高是正n邊形的邊形的 的半徑，它的半徑，它 的長(zhǎng)是正的長(zhǎng)是正n邊形的邊心距邊形的邊心距 。 等腰等腰 半徑半徑邊邊 中心角中心角 內(nèi)切圓內(nèi)

2、切圓 邊心距邊心距 設(shè)正設(shè)正n邊形的半徑長(zhǎng)為邊形的半徑長(zhǎng)為 ，中心角為，中心角為 ， 邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為 ，邊心距為，邊心距為 ，則利用等腰三，則利用等腰三 角形角形OAB，通過(guò)解直角三角形，通過(guò)解直角三角形OAH，可由，可由 其中兩個(gè)量求出其余的兩個(gè)量，進(jìn)一步還其中兩個(gè)量求出其余的兩個(gè)量，進(jìn)一步還 可求出這個(gè)正可求出這個(gè)正n邊形的周長(zhǎng)和面積邊形的周長(zhǎng)和面積 n n r n a R 例一：如圖，已知正三角形例一：如圖，已知正三角形ABC的半徑長(zhǎng)為的半徑長(zhǎng)為R，求，求 這個(gè)正三角形的中心角這個(gè)正三角形的中心角 ，邊長(zhǎng)，邊長(zhǎng) ，邊心距，邊心距 ， 周長(zhǎng)周長(zhǎng) 和面積和面積 3 3 a 3 r 3 P3 S

3、 例二、例二、 正六邊形正六邊形ABCDEF外切于外切于 O， O的半徑為的半徑為R，則，則 該正六邊形的周長(zhǎng)和面積各是多少？該正六邊形的周長(zhǎng)和面積各是多少？ 2 6 6 3234 2 1 6 2 1 34126 3 3 1 30tan ,30tan ， ,30 2 1 , ., OBO, : RRROMABS RAMABP ROMAM OM AM ROM AOBAOM AOMRt BMAMMABOMOM OA、M，AB 中在 于則 連結(jié)于切設(shè)如圖解 AB C DE F O M R 例三：已知圓例三：已知圓O，試用直尺和圓規(guī)作圓，試用直尺和圓規(guī)作圓O的的 內(nèi)接正六邊形內(nèi)接正六邊形 作法一：作法

4、一： 1.在在O上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)A,以以A為圓心為圓心,OA為半徑作弧為半徑作弧, 在在O上依次截得點(diǎn)上依次截得點(diǎn)B、C、D、E、F(即將圓六等即將圓六等 分分). 2.2.順次聯(lián)結(jié)順次聯(lián)結(jié)AB、BC、CD、DE、EF、FA. 六邊形六邊形ABCDEF就是所求作的圓內(nèi)接正六邊形就是所求作的圓內(nèi)接正六邊形. 作法二：作法二： 1.1.作作O O的直徑的直徑 2.2.以以A A為圓心，為圓心，AOAO為半徑作弧，交為半徑作弧，交O O于于C C、D D兩點(diǎn)兩點(diǎn) 3.3.以以B B為圓心，為圓心，BOBO為半徑作弧，交為半徑作弧，交O O于于E E、F F兩點(diǎn)兩點(diǎn) 4.4.順次聯(lián)結(jié)順次聯(lián)結(jié)ADAD、DFDF