第三章邊界效應(yīng)2014

1、L/O/G/O 鍋爐壓力容器安全鍋爐壓力容器安全 中國地質(zhì)大學（武漢）工程學院 安全工程系 倪曉陽 第三章第三章 第三節(jié)第三節(jié) 圓筒殼的邊界效應(yīng)圓筒殼的邊界效應(yīng) 安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 目錄目錄 基本概念基本概念 撓度微分方程及求解撓度微分方程及求解 圓筒殼與凸形封頭連接時的邊界效應(yīng)圓筒殼與凸形封頭連接時的邊界效應(yīng) Click to add title in here 5 1 2 3 4圓筒殼與厚平板連接時的邊界效應(yīng) 對圓筒殼邊界效應(yīng)的結(jié)論 安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 一、基本概念一、基本概念 承受內(nèi)壓的圓筒形元件，總是和其他相應(yīng)的元件 封頭、管板、端蓋等連接在一起，組成一個封閉 體，才能

2、承受內(nèi)壓，以滿足使用要求。 在圓筒元件與其他元件相接之處，承受內(nèi)壓之后， 其變形和受力情況與非連接部位有很大不同，這是 圓筒與相連元件在相連處變形不一致、互相約束造 成的。 安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 1、半徑增量、半徑增量 以圓簡與凸形封頭連接為例(見圖312)， 連接線上各點是圓筒與封頭的公共點。作 為圓筒簡身上的點，承受內(nèi)壓后其徑向位 移Rt可按以下關(guān)系求出。 安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 圖3-12圓筒殼與凸形封頭連接時的邊界效應(yīng) 根據(jù)廣義虎克定律，環(huán)向應(yīng)變?yōu)椋?= )2 ( 2 ) 2 p E 1 - E 1 E pRpRR （ 安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 分析環(huán)向應(yīng)變與徑向位移的關(guān)系

3、，有： 因此， 同樣可以求出，作為封頭上的點，連接處承受內(nèi)壓 后的徑向位移Rf為： R R R RRR tt 2 2)(2 )2( 2 RR 2 t E pR )2( 2 R 2 2 f y E pR 安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 式中，y=a/b，是凸形封頭長軸與短軸之比，或長半徑與 短半徑之比。對標準橢球封頭，y=2，因而有： 即是說，在連接線上，作為筒身的一部分應(yīng)沿徑向向外位 移Rt;作為封頭的一部分，應(yīng)沿徑向向外或向內(nèi)位移Rf, 但封頭在連接線上的徑向位移量總是不向于簡身在連接線 上的徑向位移量，筒身向外的徑向位移總是大于封頭向外 的徑向位移。 實際情況是，連接線上的點在承受內(nèi)壓后只能有

4、一個徑向 位移，最后的變形位置只能在二者單獨變形的中間位置， 這樣才能保持構(gòu)件在連接處變形后是連續(xù)的。即二者在連 接處互相約束限制。 )2( 2 R 2 E pR f 安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 剪力剪力封頭封頭彎矩彎矩 受到封頭的約束和限制，端部產(chǎn)生受到封頭的約束和限制，端部產(chǎn)生“收口收口”彎曲變彎曲變 形，以抵消內(nèi)壓作用于圓筒所產(chǎn)生的向外徑向位移形，以抵消內(nèi)壓作用于圓筒所產(chǎn)生的向外徑向位移 。 圓筒圓筒 安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 薄壁圓筒的抗彎能力很差，上述附加彎矩和剪力有時會在 連接部位產(chǎn)生相當大的彎曲應(yīng)力，甚至超過由內(nèi)壓造成的 薄膜應(yīng)力。但這種現(xiàn)象只發(fā)生在不同形狀的元件相連接的 邊界

5、區(qū)域，所以叫做“邊界效應(yīng)”。由邊界效應(yīng)產(chǎn)生的應(yīng) 力叫“不連續(xù)應(yīng)力”，這是抵消不同元件在連接處變形不 連續(xù)，保持實際上的變形連續(xù)在元件內(nèi)出現(xiàn)的局部附加應(yīng) 力。 分析邊界效應(yīng)實際上是分析圓筒殼的彎曲問題，而圓筒彎 曲問題比梁的彎曲問題要復雜得多。 梁在受到彎曲時，其變形比較自由，因為梁的寬度較小，在寬度方向沒有受到約束梁在受到彎曲時，其變形比較自由，因為梁的寬度較小，在寬度方向沒有受到約束 安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 圓筒殼可以被想象成是由許多沿軸線并排的、互相靠近的 細長梁所構(gòu)成，每條細長梁都夾在兩邊相鄰細長梁之間， 受到其約束和限制。圓筒殼軸向承受彎曲時，相當于各條 細長梁都承受彎曲，由于每條

6、細長梁在寬度方向(圓周方 向)與其他細長梁連在一起，在寬度方向變形受到限制， 因而，為了保持變形協(xié)調(diào)，圓筒殼受彎曲時不僅橫截面內(nèi) 有彎矩和剪力，其縱截面內(nèi)也有彎矩和剪力。這些彎矩、 剪力是沿圓周均勻分布的，是單位長度(寬度)上的彎矩和 剪力，因而彎矩的單位是Ncm/cm或Nmmmm，剪力 的單位是Ncm或Nmm。 安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 簡言之，對圓筒殼分解成的縱向梁條，如無封頭限制，承受內(nèi)壓后應(yīng) 整體沿圓筒徑向向外位移；封頭對圓筒的限制相當于在縱向梁條端部 加上集中載荷，使梁條產(chǎn)生彎曲變形，而相鄰梁條從兩側(cè)限制了縱向 梁條的彎曲變形。而且，縱向梁條的彎曲變形傾向越大，相鄰梁條的 約束和限

7、制力也越大。這有點像置于彈性地基上的鐵軟彈性基礎(chǔ) 上的梁。當車輪作用于鐵軌使其發(fā)生彎曲變形時，彈性地基給鐵軟以 反彎曲的約束力，減弱和抵消鐵軟的彎曲變形。車輪給鐵軌的作用力 越大，鐵軌下陷彎曲的傾向越大，彈性地基對鐵軌的反作用力也越大。 由于彈性地基的約束作用，使鐵軌的彎曲變形僅限于車輪附近。在經(jīng) 典力學中正是從分析彈性基礎(chǔ)上的梁入手，分析處理圓筒殼的彎曲 問題。 安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 二、撓度微分方程及求解二、撓度微分方程及求解 對于承受橫向連續(xù)均布載荷的普通 梁，其撓度 (x)隨軸向坐標X變化 的微分關(guān)系為 0 4 4 d EIq dx 式中： EI-梁的抗彎剛度 q0-梁上的連續(xù)分

8、布載荷 對于彈性基礎(chǔ)上的梁，由于地基對梁的反作 用力正比于梁的撓度，把地基的反作用力視 作梁承受的分布載荷而不考慮其他分布載 荷即q=-k 則有： K dx 4 4 d EI 0 d EI 4 4 K dx 即 安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 縱向梁條的抗彎剛度與承受雙縱向梁條的抗彎剛度與承受雙 向彎曲圓平板板條的抗彎剛度向彎曲圓平板板條的抗彎剛度 一樣，是一樣，是D而不是而不是EI，而，而 縱向梁條的撓度縱向梁條的撓度（x）是圓是圓 筒殼與封頭相連后，自連接部位筒殼與封頭相連后，自連接部位 起以圓筒殼軸向為起以圓筒殼軸向為x向進行考察，向進行考察， 圓筒殼承受內(nèi)壓后本應(yīng)產(chǎn)生的徑圓筒殼承受內(nèi)壓后本

9、應(yīng)產(chǎn)生的徑 向位移與實際產(chǎn)生徑向位移之差。向位移與實際產(chǎn)生徑向位移之差。 (見圖見圖3-12） 針頭對圓筒殼的針頭對圓筒殼的“收口收口”作作 用，是圓筒殼縱向梁條彎曲用，是圓筒殼縱向梁條彎曲 的起因，可簡化為縱向梁條的起因，可簡化為縱向梁條 端部承受的剪力端部承受的剪力N0和彎矩和彎矩M0。 縱向梁條所受縱向梁條所受“地基地基”的反作用的反作用 力，是兩側(cè)相鄰縱向梁條對其環(huán)力，是兩側(cè)相鄰縱向梁條對其環(huán) 向擠壓力向擠壓力N的徑向合力的徑向合力q(見圖見圖 313c)。 第一第一第二第二 第三第三第四第四 對于圓筒殼分解成的縱向梁條，將其近似視為彈性基礎(chǔ)上的梁對于圓筒殼分解成的縱向梁條，將其近似視

10、為彈性基礎(chǔ)上的梁 時，需注意以下幾點：時，需注意以下幾點： ）（ 2 3 -112 E D 安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 圖3-13 圓筒殼彎曲時的內(nèi)力 q與的關(guān)系如下： 縱向梁條的撓度是圓筒殼的附加徑向位移，與之相應(yīng)的附 加環(huán)向應(yīng)變可按本節(jié)“一、基本概念”中的方法得出： R 安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 附加環(huán)向應(yīng)力為： 而N是單位長度環(huán)向板條上的內(nèi)力： 將縱向梁條兩側(cè)擠壓力折算成下部反作用力q： R E E R E N 1 1 2 sin2 RqN 安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 取 ，則 即 因而縱向梁條的撓度微分方程為： （3-31） 22 sin K R E R N 2 q 2 R E K

11、0 2 4 4 R E dx d D 0 24 4 DR E dx d 安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 令 ，則： 取 =0.3 ，則： 式中，稱為邊界效應(yīng)的衰減系數(shù)，其量綱為mm-1。 4 2 4 DR E 04 4 4 4 dx d 44 22 2 2 )1 ( 3 4 RDR E R 285.1 安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 式（3-31）的解為： 式中，e為自然對數(shù)的底。當 , , 這顯然是不合 理的，所以，C1=C2=0，則： 以封頭與圓筒殼連接處橫截面上的剪力N0和軸向彎矩M0代 替C3，C4，則有： )sincos()sincos()( 4321 xCxCexCxCex xx x )(

12、x )sincos()( 43 xCxCex x cos)cos(sin 2 )( 00 xNxxM D e x x 安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 若為圓筒殼上縱向梁條相應(yīng)于在不同x處的轉(zhuǎn)角；Mx為作用在圓筒殼軸向距端部為x 橫截面上的彎矩;Nx為作用在圓筒殼軸向距端部為x橫截面上的剪力；M為相應(yīng)縱截面上 的環(huán)向彎矩；N為相應(yīng)縱截上的環(huán)向力(見圖313b)。依據(jù)材料力學和彈性力學有： ABCDE dx d 2 2 dx d DMx 3 3 dx d DN x 2 2 dx d D x MM R E N 安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 求出的各階層導數(shù)，即可得出以下表達式： （3-33） （3-34）

13、 （3-35） （3-36） sin)cos(sinM 0 0 x N xxMe x x x MM )sin(cossin2 00 xxNxMeN x x cos)cos(sin2 00 xNxxMeRN x M0，N0是圓筒殼承載后在連接處因變形協(xié)調(diào)而出現(xiàn)的附加內(nèi) 力，其大小不僅取決于與圓筒相連封頭的結(jié)構(gòu)形狀，也取決于 造成邊界效應(yīng)載荷的性質(zhì)及大小。 安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 三、三、圓筒殼與凸形封頭連接時的邊界效應(yīng)圓筒殼與凸形封頭連接時的邊界效應(yīng) 圓筒殼與凸形封頭連接時，在連接處二者的幾何形狀是連續(xù)的。承受 內(nèi)壓后二者雖因連接處變形不相同互相牽制，但最終到達的位置仍保 持了連接部位的連續(xù)

14、連接處有同一的徑向位移和轉(zhuǎn)動角度。當凸 形封頭與圓筒殼的材質(zhì)、壁厚都相同時，相應(yīng)的 因而，當凸形封頭與圓筒殼相連接時，在圓筒殼連接部位附近因內(nèi)壓 引起的附加內(nèi)力為： （3-37） （3-38） （3-39） （3-40） 0M 0 2 0 8 Ny p xe py M x x sin 8 2 2 xe py MM x x sin 8 2 2 )sin(cos 8 2 xxe py N x x xe pRy N x cos 4 2 安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 Mx，Nx隨x變化趨勢如圖3-14所示： 圖3-14 Mx,Nx沿圓筒軸向的變化趨勢 安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 （一）連接處（x=0）內(nèi)

15、力及應(yīng)力 0M 0 M x 8 2 0 py NNx 4 2 pRy N 由于連接處彎矩等于零，因而沒有相應(yīng)的附加彎曲應(yīng)力。 連接處的徑向剪力N。在連接處橫截面上引起剪應(yīng)力，平均剪應(yīng)力為： 連接處附加環(huán)向力N0在連接處造成附加環(huán)向應(yīng)力： 由式(339)及式(340)可知，Nx,和N都是隨x的增加面減小的，連接處的N0及 N是最大剪力及最大環(huán)向應(yīng)力，因而 , 。 8 N 2 0 0 py 4 2 )0( 0 pRy N x max0 x max0 安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 由于 的絕對數(shù)值較小，可忽略不計。因而連接處的主要附加應(yīng)力是 環(huán)向附加應(yīng)力 。連接處總的應(yīng)力應(yīng)是內(nèi)壓引起的薄膜應(yīng)力與附加應(yīng)

16、 力的代數(shù)和： （與球形封頭相連，y=1） (與標準橢球封頭相連，y=2) 0 0 0 4 3 4 2 pR pRypR 2 pR 安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 （二）附加彎矩最大截面的內(nèi)力和應(yīng)力 Mx,M的值隨x而變化，當x= /4,或者x= /(4)=0.61 (取 =0.3，以下 同）時，Mx達最大值，相應(yīng)的附加軸向彎曲應(yīng)力為： （與球形封頭相連） = （與標準橢球封頭相連） 在同一位置，M及相應(yīng)的附加環(huán)向應(yīng)力也達到最大值，其數(shù)值為： （與球形封頭相連） = （與標準橢球封頭相連） 在附加彎矩最大的截而上，徑向剪力Nx減小為零，附加環(huán)向力為: R 2 4 2 2 2 max max 6 1

17、 4 sin 8 6 1 e py M x pR pR pRy 584.0 146.0 146.0 2 max 2 xmax 2 max max 6 1 M 6 1 w M pR pR Ry 584.0 044.0 p 044.0 2 2 4 2 08. 0 4 cos 4 pRye pRy N 安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 由附加環(huán)向力引起的附加環(huán)向應(yīng)力為： (與球形封頭相連) (與標準橢球封頭相連) 作用于該截而內(nèi)某點的總應(yīng)力應(yīng)為內(nèi)壓造成的薄膜應(yīng)力及附加應(yīng)力之相。對 與標淮橢球封頭相連的圓筒，內(nèi)壁處的最大環(huán)向總應(yīng)力為： 內(nèi)外壁面處的軸向總應(yīng)力分別為： pR pR pRyN 32.0 08.0

18、 08.0 2 pRpRpRpR i 855.032.0175.0 pRpRpR i 084.0584.0 2 pRpRpR o 084.1584.0 2 安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 四、圓筒殼與厚平板連接時的邊界效應(yīng)四、圓筒殼與厚平板連接時的邊界效應(yīng) 圓筒殼與厚平板連接時，由于厚板抗彎剛度很大、可以近似地看做對 圓筒殼端部形成了剛性約束，即在連接處圓筒殼無轉(zhuǎn)角和徑向位移。 由此可求得連接處的附加軸向彎矩M0和徑向剪力N0： 因而有： )5 . 01 (2 2 2 0 E pR DM)5 . 01 (4 2 3 0 E pR DN )sin(cos)5 . 01 (2 2 2 xxe E pR

19、 DM x x x MM xe E pR DN x x cos)5 . 01 (4 2 3 )sin(cos)5 . 01 (xxepRN x 安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 在連接處的應(yīng)力計算式如下： Product Description of the companys products 一 pR E pR D M w )1 (3 )5 .01 (3 6 )5 .01 (2 6 2 2 2 2 2 0 二 pR w 46. 0 w R pR R pR E pR D N 66. 0 )1 ( 3 5 . 01 )5 . 01 (4 4 2 2 3 0 三 四 pRpRN 85. 0)5 . 01

20、 ( 軸向附加 彎曲應(yīng)力 環(huán)向附加 彎曲應(yīng)力 橫截面上的徑 向平均剪應(yīng)力 由附加環(huán)向力引起的 附加環(huán)向應(yīng)力(x0) 安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 考慮內(nèi)壓引起的薄膜應(yīng)力及附加應(yīng)力后在連接處的總應(yīng)力為： 可以證明，對于圓簡殼與厚平板相連接這鐘情況連接處的附加彎矩 最大，即M0=Mx max。附加彎矩沿圓筒殼鈾向(x袖)迅速衰減，其衰減規(guī) 律如圖315所示。 pRpRpR 04. 254. 1 2 i pRpRpRpR 61. 085. 046. 0 實際采用的平端蓋、平管板 對圓簡殼雖有很大的約束作用， 但并不完全是剛性約束，而是所 謂“彈性約束”，允許圓筒殼在 連接處有一定的轉(zhuǎn)角和徑向位移。 因而實際結(jié)構(gòu)的不連續(xù)應(yīng)力較上 面按剛性約束計算的值要小一些， 其具體計算從略。 安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 五、