一元線性回歸模型

1、第二章 一元線性回歸模型基本要求：1、了解相關(guān)與回歸的概念2、理解線性回歸模型的假定3、掌握普通最小二乘法4、理解最小二乘估計(jì)量的性質(zhì)5、會進(jìn)行回歸模型的檢驗(yàn)第一節(jié) 一元線性回歸模型概述、相關(guān)與回歸的基本概念一）變量之間的關(guān)系各種經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系，一般可以分成兩類，即完全確定的關(guān)系和非確定性的依存關(guān)系。 1確定性關(guān)系或函數(shù)關(guān)系 如果一個變量值能被一個或若干個其他變量值按某一規(guī)律唯一的確定， 則這類變量之間就具有 完全確定的關(guān)系。例如，當(dāng)每噸水的價(jià)格為 P元時，居民應(yīng)繳納的水費(fèi) Y （元）與用水量 X （噸）之間的關(guān)系可 表示為 Y=PX。2非確定性關(guān)系 如果變量之間既存在密切的數(shù)量關(guān)系，又不

2、能由一個（或幾個）變量之值精確的求出另一個變 量之值，但在大量統(tǒng)計(jì)資料的基礎(chǔ)上，可以判別這類變量之間的數(shù)量變化具有一定的規(guī)律性，也稱 為統(tǒng)計(jì)相關(guān)關(guān)系。例如消費(fèi)支出 Y與可支配收入 X之間有一定的關(guān)系，在一定范圍內(nèi)，收入增加，在理論上可以 估計(jì)出增加的消費(fèi)支出額。但應(yīng)看到，可支配收入雖然是影響消費(fèi)支出的重要因素，卻不是唯一的 因素。因此，根據(jù)可支配收入并不能精確的求出消費(fèi)支出，也就不能用精確的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式來表 示這兩個變量之間的關(guān)系。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)就是研究變量間的非確定關(guān)系的， 變量間的統(tǒng)計(jì)相關(guān)關(guān)系可以通過相關(guān)分析和回歸 分析來研究。（二）相關(guān)分析1、涵義 相關(guān)分析是通過對經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的依存關(guān)系的分析

3、，找出現(xiàn)象間的相互依存的形式和相關(guān)程度，以 及依存關(guān)系的變動規(guī)律。2、類型從變量間的依存形式看，可分為線性相關(guān)和非線性相關(guān)。 線性相關(guān)反映變量間的依存關(guān)系可以近似的表示為一條直線；變量間的依存關(guān)系近似的表示為 一條曲線則稱為非線性相關(guān)。3、指標(biāo) 從變量間的相關(guān)程度看，可以通過相關(guān)系數(shù)來度量。兩個變量之間的相關(guān)程度可以用簡單相關(guān) 系數(shù)來衡量；多個變量之間的相關(guān)程度可以用復(fù)相關(guān)系數(shù)、偏相關(guān)系數(shù)等來衡量。（三）回歸分析1回歸的定義 回歸分析是研究某一被解釋變量 （因變量） 與另一個或多個解釋變量 （自變量） 間的依存關(guān)系， 其目的在于根據(jù)已知的解釋變量值或固定的解釋變量值（重復(fù)抽樣）來估計(jì)和預(yù)測被解

4、釋變量的總 體平均值。在研究某一社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的發(fā)展變化規(guī)律時，所研究的現(xiàn)象或?qū)ο蠓Q為被解釋變量，它是分析 的對象，把引起這一現(xiàn)象變化的因素稱為解釋變量，它是引起這一現(xiàn)象變化的原因。被解釋變量則反映了解釋變量變化的結(jié)果。2回歸模型的分類（ 1）按模型中自變量的多少，分為一元回歸模型和多元回歸模型。 一元回歸模型是指只包含一個解釋變量的回歸模型 多元回歸模型是指包含兩個或兩個以上解釋變量的回歸模型。（ 2）按模型中參數(shù)與被解釋變量之間是否線性，分為線性回歸模型和非線性回歸模型。 對于“線性”的解釋： 一種是就變量而言是線性的，即線性回歸模型是指解釋變量與被解釋變量之間呈線性關(guān)系； 另一種是就參數(shù)而

5、言是線性的，即線性回歸模型是指參數(shù)與被解釋變量之間呈線性關(guān)系；非線 性回歸模型是指參數(shù)與被解釋變量之間呈非線性關(guān)系。就回歸模型而言，通?！熬€性”是就參數(shù)而 言的。（3）按模型中方程數(shù)目的多少，分為單一方程模型和聯(lián)立方程模型。 單一方程模型是指只包含一個方程的回歸模型； 聯(lián)立方程模型是指包含兩個或兩個以上方程的回歸模型。3相關(guān)與回歸的關(guān)系 相關(guān)分析是回歸分析的基礎(chǔ)和前提，回歸分析則是相關(guān)分析的深入和繼續(xù)。 相關(guān)分析需要依靠回歸分析來表現(xiàn)變量之間數(shù)量相關(guān)的具體形式，而回歸分析則需要依靠相關(guān) 分析來表現(xiàn)變量之間數(shù)量變化的相關(guān)程度。相關(guān)分析只研究變量之間相關(guān)的方向和程度，不能推斷變量之間相互關(guān)系的具體

6、形式，也無法 從一個變量的變化來推測另一個變量的變化情況。注意避免“虛假回歸” ：只有當(dāng)變量之間存在高度相關(guān)時，進(jìn)行回歸分析尋求其相關(guān)的具體形式 才有意義。如果在沒有對變量之間是否相關(guān)以及相關(guān)方向和程度做出正確判斷之前，就進(jìn)行回歸分 析，很容易造成“虛假回歸” 。二者的區(qū)別：(1) 在相關(guān)分析中涉及的變量不存在自變量和因變量的劃分問題，變量之間的關(guān)系是對等的； 而在回歸分析中，則必須根據(jù)研究對象的性質(zhì)和研究分析的目的，對變量進(jìn)行自變量和因變量的劃 分。因此，在回歸分析中，變量之間的關(guān)系是不對等的。(2) 在相關(guān)分析中所有的變量都必須是隨機(jī)變量；而在回歸分析中，自變量是給定的，因變量 才是隨機(jī)的

7、，即將自變量的給定值代入回歸方程后，所得到的因變量的估計(jì)值不是惟一確定的，而 會表現(xiàn)出一定的隨機(jī)波動性。(3) 相關(guān)分析主要是通過一個指標(biāo)即相關(guān)系數(shù)來反映變量之間相關(guān)程度的大小，由于變量之間 是對等的，因此相關(guān)系數(shù)是惟一確定的。而在回歸分析中，對于互為因果的兩個變量，則有可能存在多個回歸方程。元線性回歸模型(一) 總體回歸函數(shù)1、總體回歸函數(shù)假若我們要研究的問題是某市N戶城鎮(zhèn)居民家庭的可支配收入X和消費(fèi)支出Y之間的關(guān)系,則全體N戶居民家庭構(gòu)成了研究的總體。表2-1給出了全部居民家庭可支配收入和消費(fèi)支出統(tǒng)計(jì)資料。表2-1居民家庭可支配收入和消費(fèi)支出統(tǒng)計(jì)表可支配收入消費(fèi)支出平均消費(fèi)支出(X)( Y

8、)X1Y1Y12IIIY1jIHY1N1N1E(Y|X1)X2Y2122IIIY2j川丫22N2E(Y|X2)IIIinIIIinHIIIIIIIIHXiYi1Y2IIIYij川YnNiE(Y|Xi)IIIIHIII111IIIIIIIIIIIIXkYk1Yk2IIIYkj1 “YkNkNkE(Y|Xk)從表2-1可以看出：對于某一收入水平Xi(i =1,2/ ,k)，有Nj (N = N2 Nk)戶居民家庭消費(fèi)支出與其對應(yīng)， 反映出在某一收入水平下有關(guān)消費(fèi)支出的條件分布。根據(jù)該條件分布，可以計(jì)算出在某一收入水平下平均消費(fèi)支出E(Y/Xi)，即條件均值。從表2-1還可以看出：對于每一收入水平X

9、j，僅有唯一的一個條件均值E(Y/Xj)與其對應(yīng)，這種一一對應(yīng)的關(guān)系構(gòu)成了函數(shù)關(guān)系，該函數(shù)稱為總體回歸函數(shù)(Population Regression Function, PRF)。記為：(2-1)E(Y/XJ 二 f(Xi)總體回歸函數(shù)反映了給定 Xi的Y分布的總體均值隨 X的變化而變化的關(guān)系。2、回歸系數(shù)：和-1總體回歸函數(shù)f g若采用線性函數(shù)的形式，有：E(Y/X二 Xi(2-2)其中P0和P1是未知而固定的參數(shù)，稱為回歸系數(shù)(Regression Coefficients), P0稱為截距系數(shù)(Intercept Coefficients)，優(yōu)稱為斜率系數(shù)(Slope Coeffici

10、ents)。該函數(shù)稱為線性總體回歸函數(shù)。(二) 總體回歸函數(shù)的隨機(jī)設(shè)定E(Y/Xi)描述了在某一收入水平下平均消費(fèi)支出水平，但是對于某一戶居民的家庭消費(fèi)支出Y不一定恰好與該水平一致，或多或少地存在一些偏差。該偏差用片表示，并定義：Ji 二Y -E(Y/Xi)(2-3)貝U有：Y =E(Y/XJ +片=0。+0梯匚 +片(2-4)式(2-4 )中叫反映了除收入之外眾多影響消費(fèi)支出的因素的綜合影響，是一個不能觀測的隨機(jī)變量，稱為隨機(jī)誤差項(xiàng)(Stochastic Error )。式(2-4)為總體回歸函數(shù)的隨機(jī)設(shè)定形式。(三) 樣本回歸函數(shù)根據(jù)總體資料可以建立總體回歸函數(shù)，揭示被解釋變量隨解釋變量的

11、變化而變化的規(guī)律。但在大多數(shù)實(shí)際情況中，總體的信息往往無法全部獲得，我們所掌握的不過是與某些固定的X值相對應(yīng)的Y值的樣本。需要根據(jù)已知的樣本信息去估計(jì)總體回歸函數(shù)。假定現(xiàn)在不知道建立總體回歸函數(shù)的總體資料，僅僅掌握來自總體的一組樣本數(shù)據(jù)，例如，根據(jù)調(diào)查得到某市職工個人月可支配收入與月消費(fèi)支出數(shù)據(jù)資料(見表2-2 )表2-2 某市職工個人月可支配收入與月消費(fèi)支出調(diào)查資料單位：元/月序號12345678910可支配收入(X)800100012001400160018002000220024002600消費(fèi)支出(Y)700650900950110011501200140015501500根據(jù)以上樣本

12、數(shù)據(jù)擬合一個線性方程:Y?=f?,+?Xi(2-5)該方程式稱為樣本回歸函數(shù)(Sample Regression Function, SRF)。比較式(2-2 )與(2-5),假若?充分地“接近”Po ,并且岡也充分地“接近”片，就可以用樣本回歸函數(shù)Y?去估計(jì)總體回歸函數(shù) E (Y | Xi)。所以Y亦稱為E (Y | Xi)的估計(jì)量；乂稱為：0的估計(jì)量；?i稱為+的估計(jì)量。式(2-5)中Y?與實(shí)際的值存在一定的偏差，該偏差e用表示。定義:e =Y -Y則有：(2-6)Y =Y?+ei =鳧 + f?Xi +ee稱為樣本剩余項(xiàng)，也稱為殘差。圖2-1總體回歸函數(shù)與樣本回歸函數(shù)的關(guān)系第二節(jié) 一元線

13、性回歸模型參數(shù)估計(jì)、古典線性回歸模型的假定以一元線性回歸模型 Yi= -0 + -iXi+ Ji為例，古典線性回歸模型的假定如下： 假定1 :在給定Xi的條件下，4的條件均值為零。即，E(7 | Xi)=0。假定2:在給定任意Xi、Xj的條件下，7、不相關(guān)。即，Cov(%)=0。假定3:對于每一個Xj,的條件方差是一個等于F的常數(shù)。即，var(7 | Xi)=:。假定4:在給定Xi的條件下，Xi和不相關(guān)。即，Cov(7, Xi)=0。滿足以上四個假定的線性回歸模型稱為古典線性回歸模型。所謂“古典”是作為一種標(biāo)準(zhǔn)或規(guī) 范來使用的，凡是不滿足以上假定的回歸模型，就不是“古典”回歸模型。在前述假定下

14、，用最小二乘法得到的回歸參數(shù)的估計(jì)值，按照高斯一馬爾可夫定理 (Gauss-Markov Theorem )的意義來說，是“最優(yōu)的” 。假定5:對于每一個7都服從于均值為零、方差為嚴(yán)正態(tài)分布。即，叫(0,-2)滿足以上五個假定的線性回歸模型稱為古典正態(tài)線性回歸模型。、普通最小二乘法（一）最小二乘原理利用樣本回歸函數(shù)估計(jì)總體回歸函數(shù)，是根據(jù)一個給定的包含n組X和Y觀測數(shù)據(jù)的樣本，建立樣本回歸函數(shù)，使估計(jì)值 Y?盡可能接近觀測值 Yi。最小二乘原理就是根據(jù)使樣本剩余的平方和達(dá) 到最小的準(zhǔn)則，確定模型中的參數(shù)，建立樣本回歸函數(shù)。（二）最小二乘估計(jì)量1、計(jì)算、推導(dǎo)由$寸Y?=Yj鳧顯Xi，得e2(Yi

15、-?0-弭 Xi)2(2-7)對于給定的樣本，V e2的大小取決于和的大小，即7 e2是?0和訂的函數(shù)。按照最小乘原理，要求所選定的 畀0和弭應(yīng)使近e2最小，要做到這一點(diǎn)，可以借助微積分中求極值的方法,用送ei2分別對氏和弭求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零，滿足該條件的耳和弭可以使送e2最小。即:L?0可得到:F (Y -鳳-f?Xi)=0E (Y -鬼-Xi)Xi =0(2-8)整理后有:叵y =腮+吩Xi二 XiYy Xi ?Xi2求解得：? n XiYi -、XYi?1 2 21於 X： -C Xi)2(2-9)(2-10)?0?1(2-11)(2-12)(2-13)? (Xi -X)(Y -Y)1

16、2 (Xi X)2I?。=Y J?X令務(wù)=Xi _X, y =Yi _Y（離差）則（2-14） Xi以上?）和?1是根據(jù)最小二乘原理求得的，故稱為普通最小二乘估計(jì)量。2、實(shí)例利用表2-2的樣本資料建立最小二乘回歸模型的過程如下：表2-3 計(jì)算表序號卜XYXyi2Xi2yiXiyix21800700-900-41081000016810036900064000021000650-700-460490000211600322000100000031200900-500-21025000044100105000144000041400950-300-1609000025600480001960000

17、51600 1100 -100-10100001001000256000061800 115010040100001600400032400007200012003009090000810027000400000082200 140050029025000084100145000484000092400155070044049000019360030800057600001026001500900390| 8100001521003510006760000合計(jì)1700011100 003300000889000168000032200000平均 1700 1110F 1680000 =0.50

18、913300000?0 = Y -=1110-0.5091 700 =244.5455樣本回歸函數(shù)為：Y =244.5455 0.5091Xi上式表明，該市職工每月可支配收入若是增加100元，職工將會拿出其中的 50.91元用于消費(fèi)。（三）普通最小二乘回歸直線的性質(zhì)回歸直線具有以下性質(zhì)：1 .回歸直線通過樣本均值。2 .估計(jì)值Y?的均值等于觀測值 Y的均值。3 .剩余項(xiàng)的均值為零。4 .剩余項(xiàng)ei與估計(jì)量Y不相關(guān)。5 剩余項(xiàng)ei與解釋變量Xi不相關(guān)。三、最小二乘估計(jì)量的性質(zhì)（一）線性性最小二乘法計(jì)算的估計(jì)量是隨機(jī)變量Yi的線性函數(shù)。1. ?的線性由式（2-14 ）得:x(Y-Y) rxYi Y

19、 訥沢kMX 八( kiX)Yi n=曲=工些這里工x = o）令kixi25%2(2-15)2. ?的線性由式（2-13 ）得: Yin令 hi 二丄 _kjXn有：= MY(2-16)（二）無偏性如果估計(jì)量?的均值等于總體參數(shù)真值1 ,則該估計(jì)量就是無偏估計(jì)量。即：E（?）二-。1. ?的無偏性由式（2-15 ）得：%=遲 kiYi =H ki（R + Ex + 電）。遲 ki + 鳳遲 kjXj+遲 k”因?yàn)椋?ki =0,、 kjXj =1所以：網(wǎng)二+送心片（2-17）由此可得：乜K巴）=氏+遲 kiE（已）=即:（即二哲（2-18）2. ?0的無偏性由式（2-16 ）可得:?0 二

20、1。、h 宀（2-19）E（彳）二：o（2-20）（三）有效性（最佳無偏性）在所有關(guān)于總體參數(shù)真值1的無偏估計(jì)量中，若估計(jì)量?具有最小方差，則 ?就是1的最佳無偏估計(jì)量。1. 網(wǎng)的有效性由式（2-17 ）可得：Var( ?) =Var(Bi + 瓦 kJ二Var() Var(、ki)二、Var(ki 叫)八 k：Var(叫)_ ；、 ki(2-21)二宀2a2Xi、2Xi亍 2Z Xi設(shè)？*是用其他估計(jì)方法得到的關(guān)于 ：1的線性無偏估計(jì)量。由其線性性質(zhì)可知對其求方差可得:Var(?*) =Var瓦(-k) +k)Y =存遲 -kJ2 也ar(囤)這里口2送(鋼kJ2 20，所以有:Var(宦;

21、)=Var(P?)。2. ?o的有效性同理，由式(2-16 )可得:y X 2Var(?o)寧2nE Xi(2-22)與對Ri的有效性分析相同，設(shè) ?0是用其他估計(jì)方法得到的關(guān)于 ft的線性無偏估計(jì)量，則有:Var(?；) _Var(?0)結(jié)論：在古典線性回歸模型的假定下，最小二乘估計(jì)量在所有線性無偏估計(jì)量中，具有最小方 差，這一結(jié)論即是著名的高斯-馬爾可夫(Gauss-Markov)定理。? ?四、估計(jì)量0和-1的分布1、理論基礎(chǔ)對于一個古典正態(tài)線性回歸模型，即同時滿足第二節(jié)中假定5的古典線性回歸模型，其隨機(jī)擾動項(xiàng)7服從正態(tài)分布。由于 Yi是叫的線性函數(shù)，而?)和?1又分別是Yi的線性函數(shù)，

22、根據(jù)正態(tài)分布 的性質(zhì)可知，？0和?也服從正態(tài)分布。由以上分析可知：E(f?0)。，E(?)=01?、 X-Var( ?o)nJ：從而有：2 _ 2；/，%（?2士f?o N Po,昱X-2n、W,?i N Pi,2 CT:?22 xi在上面計(jì)算?0和?方差的表達(dá)式中，除了隨機(jī)擾動項(xiàng)的方差二2之外，都是可以根據(jù)樣本資料估計(jì)的?？梢杂每卺艿臒o偏估計(jì)量 召2來代替2計(jì)算氐和氏的方差。；?2e-(2-23)e-2可以根據(jù)式（2-8）計(jì)算，也可以由下式計(jì)算:(2-24)e-2 - 7 y-2 ?2x/ X-22、實(shí)例對于例題2-1$y-2 - Q x-2?:n -2889000-0.50912 3300

23、000- 10-2= 4212.0909y X2Var(?0)n送x3gg0000凹2型9 4109.9810 3300000Se( ?0H Var(?0)=64.1091Var(?1)二4212.09093300000Se(?) =：Var(弭)=0.0357。第二節(jié)顯著性檢驗(yàn)、擬合優(yōu)度與相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)(一)擬合優(yōu)度與可決系數(shù)擬合優(yōu)度是指樣本回歸直線對觀測數(shù)據(jù)擬合的優(yōu)劣程度。我們所希望的就是圍繞回歸直線的剩余盡可能的小。擬合優(yōu)度通常用可決系數(shù)來度量。r2表示可決可決系數(shù)是樣本回歸直線對數(shù)據(jù)擬合程度的綜合度量。在雙變量的情況下，通常用 系數(shù)。可決系數(shù)是建立在對被解釋變量總變差分解的基礎(chǔ)之上。圖2

24、-2中，觀測值 Yi的離差yi =Yi -Y二Yi -Y? Y? -Y 二y 。其中，y =y? -y，是樣本回歸直線所確定的估計(jì)值與平均值的差；e =Y -Y，是樣本觀測值與回歸直線所確定的估計(jì)值之差。當(dāng)yi = ?i時,?越大，ei越小，估計(jì)值與觀測值越接近， 該點(diǎn)擬合的越好；反之，擬合的越差。 完全擬合。采用a yi2指標(biāo)進(jìn)行分析，該指標(biāo)稱為總變差或總離差平方和，簡記為tss7 y：八(ei ?i)2e；吃 y?2 十臣 e ?i根據(jù)為e y=o，所以有_2L2, L c2Z V =Z ei +Z ?(2-25)其中,、y2（Y? -Y）2，稱為回歸平方和，簡記為 ess7 e2八（Y

25、-Y?）2，稱為殘差平方和，簡記為 RSS這樣式（2-25）也可以記為：TSS=RSS+ESS當(dāng)根據(jù)樣本采用最小二乘法確定了一條回歸直線時, 小，該回歸直線擬合的越好；反之，擬合的越差。（2-26）TSS的大小是一定的。 ESS越大，RSS越1、定義：2 ESS 2r2,r2稱為（樣本）可決系數(shù)，它是最常用的回歸直線擬合優(yōu)度的度量，表示TSS由回歸模型做出解釋的變差在總變差中所占的比重。 由式（2-26 ）得TSSTSS(2-27)上式表明，若樣本剩余 RSS越小，r2的值就越大，擬合優(yōu)度越好；反之， RSS越大，r2的值就 越小，擬合優(yōu)度越差。2、可決系數(shù)r2還可以按以下推導(dǎo)出的公式求得：?

26、-Y =（兎 +f?iX）-（l?o +f?X） =f?X（2-28）ESS 2 ?2 瓦(岡 X)2 f?2 瓦 X2tss r r 、y2(2-29)由式（2-14）和（2-27）可得:( XyJ2C X2)(v y2)(2-30)對于例題2-1，r2(7 XyJ2( X2)(y2)168000023300000 889000=0.962123、r具有以下兩個性質(zhì)（1）r2是一個非負(fù)數(shù)。2卄20 r 5.32，即FF0.05 ( 1, 8),差異顯著，拒絕 內(nèi)=0的假設(shè)，方程顯著不為零。圖2-4陰影部分為F檢驗(yàn)的否定域第四節(jié)一元線性回歸模型案例及預(yù)測預(yù)測就是利用模型已含有過去和現(xiàn)在的樣本數(shù)

27、據(jù)或信息擬合的回歸模型，對被解釋變量的可能 值做出定量的估計(jì)。一、點(diǎn)預(yù)測根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，利用最小二乘法，可以得到最小二乘估計(jì)值，建立一元回歸的預(yù)測模型。根據(jù) 預(yù)測模型可以在給定 X的條件下，求得 Y的估計(jì)值，并進(jìn)行點(diǎn)預(yù)測。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，得到以下樣本回歸函數(shù)YP0 +l?Xi當(dāng)Xi=X0時，=況+際0 , Y0為點(diǎn)預(yù)測值。例如，根據(jù)所給樣本數(shù)據(jù)，建立了如下樣本回歸函數(shù)Y? =244.5455 0.5091Xj若已知家庭月可支配收入Xi=l600元，根據(jù)上述模型，可預(yù)測家庭的月消費(fèi)支出Y?為:Y0 =244.5455 0.5091 1600 =1059.11(元)、區(qū)間預(yù)測分為兩類：預(yù)測對應(yīng)于給定X

28、條件下的個別Y值。這類預(yù)測我們稱為個別值預(yù)測。(一)均值預(yù)測即，對應(yīng)于給定 X條件下的Y的總體均值的預(yù)測。當(dāng)給定Xi=Xo時，Y?=Y?，Y0是總體均值E(Yo|Xo)的一個估計(jì)值。且Y?服從于均值為 上(Yo | Xo)的正態(tài)分布。根據(jù)正態(tài)分布與檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t的關(guān)系，有:Y? -e(y。|x)Se(Y?)(2-37)服從于自由度為n-2的t分布。式中Se(Y?)為Y?的標(biāo)準(zhǔn)誤差,Se(W(XoX)2 n Z Xi給定顯著性水平:-有：d 丿Y0E(Yo|Xo)P 皆 se&)或：(2-38)P Y0 tSeM) EE(Yq IX。)蘭Y0 +怙Se(Y0)Lg(2-39)- ii 一上式表明，

29、在重復(fù)抽樣中，若構(gòu)造100個這樣的區(qū)間，將會有(1- ：) 100以上的區(qū)間包含總體均值上(Y0|X0)。建立所預(yù)測的總體均值i.(Y0 | X0)的置信區(qū)間為:Y0 -taSe(Y0), Y0 +tSe(Y?)- ? 2 一(2-40)對于前述例題，1 (X。一 X)2n 、 X：1 (X。X)22L 送 Xi24212.09091600 1700)23300000= 20.8320給定顯著性水平 of0.05 , n-2=8時，查t分布表，得到：t0.025 =2.306從而W taSe(Y) =1059.11-2.306 煜0.8320=1011.67( 元)Y? t _.Se(Y0)

30、=1059.11+2.30620.8320=1107.14( 元)P 1011.67 I.(Y0 |X0) .1107.1-95%即每月可支配收入為95%1600元的家庭，其平均消費(fèi)支出在1011.07元至1107.14元之間的概率為(2-41)SeG)”： gX)2Xi2(2-42)給定顯著性水平 :Pf3-iSe(e0)或：；? 1P.Y0 -toSeG)蘭丫0 Y0 +toSe(e0)- 2 2 一有：12= 1-1(2-43)（二）個別值預(yù)測即，對應(yīng)于給定 X條件下的個別 Y值的預(yù)測。當(dāng)給定 Xi=X0 時，Y? ，Yi =Y ,殘差為 e，e =Y Y??？梢宰C明e服從于均值為零的正

31、態(tài)分布。根據(jù)正態(tài)分布與檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t的關(guān)系，有:上式表明，在重復(fù)抽樣中，若構(gòu)造100個這樣的區(qū)間，將會有（1- ：） 100以上的區(qū)間包含個別值Y0。(2-44)建立所預(yù)測的個別值 Y0的置信區(qū)間為:|Y0 -tQeG), Y0 +taSe(eo)- 2 2 一對于前述例題，Se( 1(X0X)2V n z Xi1 . (X。-X) n 、_2Xi丿4212.0909 J+丄+(1600 一1700)1103300000 丿= 68.1620給定顯著性水平 a=0.05。n-2=8時，查t分布表，得到：t0.025 =2.306從而Y? -Se(e0) =1059.11-2.306 X68.16

32、20=901.92( 元)Y? +taSe(e0) =1059.11+2.306 、Xi YiXj2788859.986126447.423= 0.623865風(fēng)=Y -屛X = 1704.082 - 0.623865X 2262.035 = 292.8775樣本回歸函數(shù)為：Y? =292.8775 0.623865Xj上式表明，中國農(nóng)村居民家庭人均可支配收入若是增加100元，居民們將會拿出其中的62.39元用于消費(fèi)。（三）模型檢驗(yàn)1 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)C XiYi）2788859.9862（、Xi2）（、y：） =1264471.423 516634.011 =0.9525942. t檢驗(yàn)5166

33、34.011 - 0.6238652 1264471.42310-2-3061.525164Se（?）pVar（?1）=n 二 xi3061.525164 =0.0492061264471.42352432495.137 3061.525164 =112.6717 在顯10 1264471.423著性水平：.=0.05 , n-2=8時，查t分布表，得到:t_.（n _2） =2.3062Ho： ：i=0,備擇假設(shè) Hi：“0提出假設(shè)，原假設(shè)03865 .12.678640.049206t（網(wǎng)）=12.67864 A如（n2），差異顯著，拒絕 呂=0的假設(shè)。23. F檢驗(yàn)提出原假設(shè)H。： ：1

34、=0,備擇假設(shè) 比：1 -0 在顯著性水平：=0.05，n-2=8時，查F分布表，得到：F（ 1，8）=5.32。二 492141*8097 .160.75053061.525164Q Xi2F 送e2/n -2160.7505 5.32，即Fa F（ 1，8），差異顯著，拒絕 呂=0的假設(shè)。（四）預(yù)測當(dāng)農(nóng)村居民家庭人均純收入增長到3500元時,對農(nóng)村居民人均消費(fèi)支出預(yù)測如下Y? =292.8775 0.623865 3500 =2476.405(元)Se(e0)1【(X0X)2Y n Z xi3061.525164 八+丄 + (3500 一2262.035)101264471.423 丿=

35、84.13257219在顯著性水平 a=0.05, n-2=8 時，t0.025 =2.306從而Y? tSe(e0)=2476.405-2.306 =84.13257219=2670.41(2P2282.40_2670.41 丨-95%當(dāng)農(nóng)村居民家庭人均純收入增長到3500元時，農(nóng)村居民人均消費(fèi)支出在2282.40元至2670.41元之間的概率為 95%（五）利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)本章小結(jié)：本章以最基本的計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型一一一元線性回歸模型為對象，介紹了模型的古典假定、回歸函數(shù)、構(gòu)造樣本回歸函數(shù)（SRF）和普通最小二乘法（OLS ），證明了最小二乘估計(jì)量的最佳線性無偏性。并結(jié)合實(shí)例就有關(guān)參數(shù)估計(jì)、擬

36、合優(yōu)度、t檢驗(yàn)、F檢驗(yàn)、預(yù)測方法以及EViews軟件在實(shí)例中的應(yīng)用作了介紹。 As of Microsoft? Internet Explorer 4.0, you can applmultimedia-style effects to your Web pages using visual filters and transitions. You can apply visual filters and transitions to standard HTML controls, such as text containers, images, and other windowless objects. Transitions are time-varying filters that create a transition from one visual state to anot