第五章定積分的應(yīng)用

1、 ( )0()(1) 連續(xù)曲線 ，及 軸所圍 圖形面積為 yf xxaxb abx ( ) (5-1) b a Af x dx 2121 ( )( )( )( ) () (2) 由上、下兩條連續(xù)曲線 ， 及，所圍成的圖形的面積為 yfxyf xfxf x xaxb ab ( ) ( ) 若曲線方程由極坐標給出：，則由 曲線，半直線 ，半直線 所圍成的曲邊 扇形面積為 rr rr 2 1 ( ) 2 (5-5)Ard 2 4(0)2400 求由拋物線 ， ，與直線 及 所圍成的平面圖形的面積。 yxyxyy例例1 1 2 2 1 2 4 240 (1,2) 0,2( ) 4 4 ( ) 2 如圖

2、5-1所示，求曲線 與直線 的交點為 ，取 為積分變量較簡便， ， ，利用公式(17-3)可得所求面積為 yx xy y y yxg y y xgy 2 21 0 ( )( )Agyg y dy 2 2 0 4 24 yy dy 2 23 0 2 412 yy y 7 . 3 y 4 2 2O 240 xy (1,2) 2 4yx x 2 2(0, 4) 求拋物線 與其過點 的切線所圍成的平面 圖形的面積。 yxxA例例2 2 00 000 (0, 4) 22 (,) (22)() (0, 4) ( 2,8) (2,0) 6424 2,2 如圖5-2所示，先求出過點 與拋物線相切的切線 方程。

3、由于 ，所以 過拋物線上的點的切線 方程為， 因該切線過點，代入該 方程可求得兩個交點， 。這時切線與的方 程分別為 與 。根據(jù)題意，取 為積分 變量較為簡便，。 A yx xy yyxxx A B CABAC yxyxx x O C B A x y ( )()1、由曲線 ，直線 ，及 軸所圍成 的曲邊梯形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 yf xxaxb abx x 22 ( ) (5-6) bb aa Vy dxfx dx ( )()2、由曲線 ，直線 ，與 軸所圍成 曲邊梯形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 xyycyd cdy y 22 ( ) (5-7) dd cc Vx d

4、yy dy 在具體計算時，可直接利用以上公式求解旋轉(zhuǎn)體的體積。 22 22 1 求橢圓 繞 軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。 xy x ab 例例3 3 設(shè)所求體積為， x V 22 22 1由方程， xy ab 2 22 2 1解得 ， x yb a 2 222 2 4 1. 3 于是有 aa x aa x Vy dxbdxab a 2 222 2 4 1 3 (類似可求橢圓繞 軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積， ) bb y bb y y Vx dyadya b b y a b Ox x b a (0)() 求圓心在 ， ，半徑為 的圓繞 軸旋轉(zhuǎn)而成 的環(huán)狀體的體積。 ba bay例例4 4 222 (

5、)xbya O a a ( ,0)bx y 22 22 22 11 ( ) ( ) 顯然，此環(huán)狀體的體積等 于由右半圓周 和左半圓周 分別與直線 ，及 軸所成的曲邊梯形繞 軸 旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體之差(見圖5-4)，因此所求的環(huán)狀體 xybay xybay yayayy 的體積 22 21 ( )( ) aa aa Vy dyy dy 222222 ()() a a baybaydy 22 0 8 a bay dy 22 2.a b 222 0 1 . 4 注： 由幾何意義知其值為 a ay dya 22 ( )( ). (1) 明確旋轉(zhuǎn)軸是 軸或是 軸，若是 軸，則被積表達 式為 ；若是 軸，

6、則被積表達式為 xyx fx dxyy dy .(2) 畫出草圖，以幫助明確積分區(qū)間 .(3) 在求解時，注意利用對稱性，以簡化求解過程 ( ) , 前面已經(jīng)利用“微元法”求得平面光滑曲線 在 相應(yīng)區(qū)間上的弧長為 yf x a b 22 1 ()1 ( ) (5-8) bb aa lydxfxdx ( ) ( ) 若平面光滑曲線是由參數(shù)方程 ， 給出， xt t yt 22 ( )( ) 則所求的弧長為 (5-9)lttdt 12 ( )()若平面光滑曲線是由極坐標 ， 給出，rr 2 1 22 ( ) ( )則所求弧長為 (5-10)lrrd 3 2 2 (0) 3 求曲線 上相應(yīng)從 到 的

7、一段弧長。yxabab例例5 5 1 2 取 為積分變量，并且 ，利用公式(17-8)，xyx 則所求平面曲線弧長為 2 1 () b a lydx 1 b a xdx 3 2 2 (1) 3 b a x 33 22 2 (1)(1) 3 ba (1 cos ) 求心形線 的周長。ra例例6 6 ( )sin 取 為積分變量，且 ，利用公式(5-10) 及對稱性(見圖5-5)所求周長為 ra Ox y 2a 22 0 2 ( ) ( )lrrd 22 0 2(1cos )( sin )ad 0 222cosad 0 22 cos 2 ad 0 22cos 2 ad 0 8sin 2 a 8 .

8、 a 一般講，求平面曲線弧長應(yīng)注意以下兩點： 0,50. (1) 選變量，定區(qū)間 如圖5-6所示，取鏈條向上 拉動的距離 為積分變量，它的變化區(qū)間是x , () . (2) 取近似，定微元 任取一微小區(qū)間，與之 對應(yīng)的一小段鏈條的質(zhì)量為5.88 ，而將該小段 拉上建筑物頂所做的功，即功微元為 5.88 x xdx dxN dWxdx 50 50 2 0 0 (3) 求積分，算整量 所做的功為 5.88 5.887350.4(). 2 WxdxxW O x xdx x 一個邊長為 的正三角形薄板垂直地沉沒在水中，它 的一個邊與水面平齊，求薄板一側(cè)所受的壓力 (水的相對密 度為 )。 a 例例8

9、8 用定積分的微元法. O x x y 0, 2 a A xdx 3 ,0 2 Ba 3 23 3 0, 2 (1) 選變量，定區(qū)間 建 立如圖5-7所示的直角坐 標系，并畫出草圖，寫出的 直線方程 ，取 為 積分變量，為積分區(qū)間； AB a yxx a 設(shè)有一長度為 、線密度為 的均勻細桿，在桿的中垂 線上，并且距桿 個單位長度處有一個質(zhì)量為 的質(zhì)點。 求細桿對質(zhì)點的引力。 l amM 例例9 9 用定積分的微元法. , 2 2 (1) 取變量，定區(qū)間 取桿的中心為原點，桿位于 軸上，建立如圖5-8所示的坐 標系，取 為積分變量，積 分區(qū)間為 ； y y ll O x y y 2 l 2 l

10、 ydy M a r 2 121 2 ? 、在直角坐標系下由上，下兩條連續(xù)曲線， 及， 所 圍成的圖形的面積的計算公式是什么 yfx yfxfxfxxaxbab A 2 1 4 06 . 、設(shè)一物體作直線運動，求物體從 開始運動到任一時刻所經(jīng)過的路 以度 程 速 tt V ttt 2 ln1 .、求由曲線，所圍曲邊梯形的面積yxxxeS 23 3 1 . 、求曲，軸及所圍圖形繞旋轉(zhuǎn)一 周得到的旋轉(zhuǎn)體的體積 yxyxyxx V 2 4 1 . 、寫出求平面光滑曲線在相應(yīng)區(qū)間 0,1 上 的弧長的公式 yxx L 21 2.、 b a Afxfxdx 3 、首先應(yīng)先明確是繞軸還是軸旋轉(zhuǎn)從而選擇不同 的計算旋轉(zhuǎn)體體積公式；其次畫出草圖幫助明確積 分區(qū)間；最后在應(yīng)用積分求解時若能用對稱性化簡 方程