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1、廣 東 技 術(shù) 師 范 學(xué) 院 天 河 學(xué) 院教 案 2012 年 月 日第 周第三章投影變換換面法本章教學(xué)目的及基本要求:掌握換面法的基本概念,點的換面,直線的換面及空間幾何問題綜合練習本章教學(xué)內(nèi)容的重點和難點: 一、本章重點:1換面法的基本概念2點的換面,直線的換面3空間幾何問題綜合練習。二、本章難點:1換面法的基本概念2空間幾何問題綜合練習本章教學(xué)內(nèi)容的深化和拓寬: 養(yǎng)成良好的習慣,嚴謹?shù)墓ぷ髯黠L本章教學(xué)方法、方式: 講授法,演示法教學(xué)、習題集作業(yè)、手工繪圖本章主要參考資料: 1. 機械制圖(第六版)大連理工大學(xué)編高等教育出版社出版 2. 機械制圖(第三版)劉力主編高等教育出版社出版 3
2、. 畫法幾何學(xué)(第六版)大連理工大學(xué)編高等教育出版社出版單 元 教 案 首 頁 2012年 月 日第 周課題: 3.1換面法的基本概念 3.2點的換面 3.3直線的換面 課次:教學(xué)方法: 講授法,演示法 教具: 尺,規(guī)教學(xué)目的:掌握換面法的基本概念,點的換面,直線的換面 教學(xué)重點:1.點的換面2.直線的換面 教學(xué)難點:換面法的基本概念點的換面直線的換面教學(xué)過程時間分配(包括組織教學(xué):復(fù)習舊課、作業(yè)問題分析、講授新課、新課小結(jié)、布置作業(yè)) 講授新課: 80分鐘 小結(jié)、布置作業(yè): 10分鐘課后記: 第三章投影變換換面法第一節(jié) 換面法的基本概念一、 換面法的基本概念 空間幾何元素的位置保持不變,用新
3、的投影面來代替舊的投影面,使空間幾何元素對新的投影面的相對位置變成有利于解題的位置,然后找出其在新投影面上的投影。這種方法稱為換面法。 用換面解題時應(yīng)遵循下列兩原則:選擇新投影面時,應(yīng)使幾何元素處于有利于解題的位置;新投影面必須垂直于原投影面體系中不被變換的投影面,并與它組成新投影面體系,必要時可連續(xù)變換。(a) (b)圖3.1 將一般位置直線變換成投影面平行線如圖3.1,新投影面必須垂直于不變換的投影面,即V1H,X1為新投影軸。這時,不變換投影面上的投影a、b與V1面上的新投影a1、b1的投影連線a a1X1、b b1X1。并且a1、b1到X1的距離等于被代替的投影a、b到被代替的投影軸的
4、距離,即a1aX1aaXAaZA, b1bX1bbXBbZB。第二節(jié) 點的換面二、點的投影變換規(guī)律 (一)點的一次變換點是一切幾何形體的基本元素。因此,必須首先掌握點的投影變換規(guī)律?,F(xiàn)在來研究更換正立投影面時,點的投影變換規(guī)律。圖3表示點A在V/H體系中,正面投影為a,水平投影為a?,F(xiàn)在令H面不變,取一鉛垂面V1(V1H)來代替正立投影面V,形成新投影面體系V1/H。將點A向V1投影面投射,得到新投影面上的投影a1。這樣,點A在新、舊兩體系中的投影(a,a1)和(a,a)都為已知。其中a1為新投影,a為舊投影,而a為新、舊體系中共有的不變投影。它們之間有下列關(guān)系: 1. 由于這兩個體系具有公共
5、的水平面H,因此點A到H面的距離(即z坐標),在新舊體系中都是相同的,即aax=Aa=a1ax1。2. 當V1面繞X1軸重合到H面時,根據(jù)點的投影規(guī)律可知aa1必定垂直于X1軸。這和aaX軸的性質(zhì)是一樣的。根據(jù)以上分析,可以得出點的投影變換規(guī)律: 1. 點的新投影和不變投影的連線,必垂直于新投影軸。 2. 點的新投影到新投影軸的距離等于被更換的舊投影到舊投影軸的距離。根據(jù)上述規(guī)律,由V/H體系中的投影(a,a)求出V1/H體系中的投影的作圖法為: 首先按要求條件畫出新投影軸X1,新投影軸確定了新投影面在投影圖上的位置。然后過點a 作aa1X1,在垂線上截取a1ax1=aax,則a1即為所求的新
6、投影。水平投影a為新、舊兩投影體系所共有。 上圖表示更換水平投影面。取正垂面H1來代替H面,H1面和V面構(gòu)成新投影體系V/H1,求出其新投影a1。因新、舊兩體系具有公共的V面,因此a1ax1=Aa=aax。 (二)點的兩次變換在運用換面法去解決實際問題時,更換一次投影面,有時不足以解決問題,而必須更換兩次或更多次。右圖表示更換兩次投影面時,求點的新投影的方法,其原理和更換一次投影面是相同的。必須指出:在更換多次投影面時,新投影面的選擇除必須符合前述的兩個條件外,還必須是在一個投影面更換完以后,在新的兩面體系中交替地再更換另一個。如在圖6-4中先由V1面代替V面,構(gòu)成新體系V 1/H;再以這個體
7、系為基礎(chǔ),取H2面代替H面,又構(gòu)成新體系V 1/H2。第三節(jié) 直線的換面以上討論了換面法的基本原理和點的投影變換規(guī)律。這里再討論把一般位置直線或平面變?yōu)樘厥馕恢?。這是解題時經(jīng)常要遇到的問題。這類問題共有四個:把一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€;把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€;把一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵?;把一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻?。(一)把一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€ 如右圖所示,直線AB在V/H體系中為一般位置直線,取V1面代替V面,使V1面平行直線AB并垂直于H面。此時,AB在新體系V1/H中成為新投影面的平行線。求出AB在V1面上的投影a1b1,則a1b1反映線段AB的實長,并且a1b
8、1和X1軸的夾角即為直線AB和H面的夾角。表示把一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€的投影圖的作法。首先畫出新投影軸X1,X1必須平行于ab,但和ab間的距離可以任取。然后分別求出線段AB兩端點的投影a1和b1,連a1b1即為線段的新投影。假如不更換正立投影面,而更換水平投影面,同樣可以把它變成新投影面的平行線,右圖表示了投影圖的作法。 例 已知直線AB的兩面投影ab和ab,求作AB的實長及其對V面的傾角,如圖(二)把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€欲把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€,顯然,只換一次投影面是不行的。若選新投影面P直接垂直于一般位置直線AB,則平面P也是一般位置平面,它和原體系中的任一投影面不
9、垂直,因此不能構(gòu)成新的投影面體系。如果所給的是一條投影面平行線,要變?yōu)橥队懊娲怪本€,則更換一次投影面即可。如右圖所示,由于AB為正平線,因此所作垂直于直線AB的新投影面H1必垂直于原體系中的V面,這樣AB在V/H1體系中變?yōu)橥队懊娲怪本€。其投影圖作法見右圖,根據(jù)投影面垂直線的投影特性,取X1ab,然后求出AB在H1面上的新投影a1b1,a1b1必重合為一點。 要把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€,必須更換兩次投影面,見右圖。第一次把一般位置直線變?yōu)橥队懊鎂1的平行線;第二次再把投影面平行線變?yōu)橥队懊鍴2的垂直線。 單 元 教 案 首 頁 2012年 月 日第 周課題: 3.4平面的換面 課次:教學(xué)
10、方法: 講授法,演示法 教具: 尺,規(guī)教學(xué)目的:掌握平面的換面法 教學(xué)重點:. 平面的換面 教學(xué)難點:換面法的基本方法教學(xué)過程時間分配(包括組織教學(xué):復(fù)習舊課、作業(yè)問題分析、講授新課、新課小結(jié)、布置作業(yè)) 講授新課: 80分鐘 小結(jié)、布置作業(yè): 10分鐘課后記: 第四節(jié)平面的換面(一)把一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵嬗覉D表示把一般位置平面ABC變?yōu)橥队懊娲怪泵娴那闆r。為了使三角形變?yōu)橥队懊娲怪泵?,只需使屬于該平面的任意一條直線垂直于新投影面。我們知道,要把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€,必須更換兩次投影面,而把投影面平行線變?yōu)橥队懊娲怪本€只需更換一次投影面。因此,我們在面上任取一條投影面平行線(正
11、平線AI)為輔助線,取與它垂直的H1面為新投影面,三角形也就和新投影面垂直。 把ABC變?yōu)橥队懊娲怪泵娴淖鲌D過程。首先在ABC上取一條正平線AI(a1,a1),然后使新投影軸X1a1,這樣ABC在V/H1體系中就成為投影面垂直面。求出ABC三頂點的新投影a1、b1、c1,則a1b1c1必在同一直線上。并且a1b1c1和X1軸的夾角即為ABC對V面的夾角。 (二)把一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻嫫叫忻嫒绻岩话阄恢闷矫孀優(yōu)橥队懊嫫叫忻妫桓鼡Q一次投影面也是不行的。必須更換兩次投影面。第一次把一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵?,第二次再把投影面垂直面變?yōu)橥队懊嫫叫忻妗?圖表示把ABC變?yōu)橥队懊嫫叫忻娴淖?/p>
12、圖過程。第一次變?yōu)橥队懊娲怪泵?;第二次變?yōu)橥队懊嫫叫忻?,根?jù)投影面平行面投影特性,取軸X2b1a1c1,作出ABC三頂點在V2面的新投影a2b2c2,則a2b2c2便反映ABC的實形。 把投影面垂直面變?yōu)橥队懊嫫叫忻?,只需更換一次投影面求投影面垂直面的實形在適當位置作新投影軸X1abc;作出ABC各頂點的新投影a1b1c即為所求。(a) (b) 求垂直面的實形單 元 教 案 首 頁 2012年 11 月 日第 14 周課題:第五節(jié)空間幾何問題綜合分析 課次:19教學(xué)方法: 講授法,演示法 多媒體教學(xué)目的:掌握空間幾何問題綜合分析方法 教學(xué)重點:空間幾何問題綜合分析方法 教學(xué)難點:空間幾何問題綜
13、合分析方法教學(xué)過程時間分配(包括組織教學(xué):復(fù)習舊課、作業(yè)問題分析、講授新課、新課小結(jié)、布置作業(yè)) 講授新課: 80分鐘 小結(jié)、布置作業(yè): 10分鐘課后記: 第五節(jié)空間幾何問題綜合分析工程實際抽象出來的幾何問題,如距離、角度的度量;點、線、面的定位等,并不是單純的平行、相交、垂直問題,而多是較復(fù)雜的綜合問題,其突出特點是要受若干條件的限制,求解時往往要同時滿足幾個條件。解決此類問題的方法通常是:分析、確定解題方案及投影圖上實現(xiàn)。分析是十分重要的,首先根據(jù)給出已知條件和求解要求,想出已知空間幾何模型,然后進行空間思維,想象出最終結(jié)果的空間幾何模型,再分析確定從已知幾何模型到最終結(jié)果幾何模型的空間解
14、題步驟。如果最終結(jié)果幾何模型很難直接確定,則常用“軌跡法”,即逐個滿足限制條件,找出滿足每一個條件的無數(shù)解答的集合(通常稱之為該條件的軌跡),弄清該集合是什么形狀,在投影圖上如何實現(xiàn);多個條件則形成多個軌跡,這些軌跡的交集即為所求結(jié)果。解題中的常見軌跡如下:1、過定點與定直線相交的直線的軌跡為一平面。2、與定平面平行(等距)的直線的軌跡為其平行面。3、與兩相交直線或兩相交平面等距的點的軌跡為其角平分面。4、題目中若出現(xiàn)正方形、矩形、菱形、等腰三角形、等邊三角形、到兩點等距等,它們的軌跡通常為一直線的垂面。因為這些幾何圖形都具有垂直要素,例如:菱形的對角線垂直平分;等腰三角形底邊上的高垂直于底邊
15、等。5、與定直線等距的點的軌跡為一圓柱面。6、與定直線平行,且距離為定長的直線的軌跡為圓柱面。7、與定直線距離為定長的直線的軌跡為一圓柱面的切平面。8、過一點和定直線或定平面保持固定夾角的直線的軌跡為圓錐面。9、與定點等距的點的軌跡為圓球面。以下討論綜合問題的解法。在解法舉例中,一些典型例題采用了兩種解法( 在V/H投影體系中直接解題; 應(yīng)用換面法解題),只要將空間幾何元素之間的關(guān)系分析清楚,無論采用何種解法均可。綜合問題解法舉例(一)一、求實形及傾角1.直角三角形法,(最大斜度線)2.換面法二、距離和角度的度量 解決距離和角度的度量問題,主要基礎(chǔ)是根據(jù)直角投影定理作平面的法線或直線的垂面,并
16、求其實長或?qū)嵭?。(一)距離的度量常見的距離問題有點到點之間的距離、點到直線(包括兩平行直線)之間的距離、兩交叉直線之間的距離、點到面(包括直線平行平面和兩平行平面)之間距離。1、點到點之間的距離如圖所示,將點A及點B相連得線段AB,求出線段AB實長,即為所求點A到點B之間的距離。2、點到直線之間的距離如圖所示,過點E作平面P垂直于直線CD;求出直線CD與平面P的垂足F;連點和E點F得到直線段EF并求出其實長,即為所求點到直線之間的距離。例8. 求兩平行直線AB和CD之間的距離。 解題思路一: 解題思路二 3、兩交叉直線之間的距離如圖所示,包含直線CD作一平面P平行于直線AB;在直線AB上任取一
17、點M,過點M做平面P的法線MN,并求出垂足N;再求出直線段MN的實長,即為所求兩交叉直線之間的距離。 例求兩交叉直線AB和CD的距離,并定出它們的公垂線的位置。解法一解法二4、點到平面(包括直線平行平面和兩平行平面之間)的距離如圖所示,過點A作平面Q的法線AB;求出垂足B后,再求出直線段AB的實長,即為所求點到平面之間的距離。 5、直線到平行平面之間的距離。 關(guān)于平行于平面的直線到平面之間的距離,實質(zhì)仍是點到平面間的距離。在直線CD、平面P上任取一點A,問題就轉(zhuǎn)化為點到平面之間的距6、兩平行平面間的距離。 兩平行平面之間的距離,實質(zhì)仍是點到平面間的距離。在直線CD、平面P上任取一點A,問題就轉(zhuǎn)
18、化為點到平面之間的距離。(二)角度的度量常見的角度問題有兩相交直線間的夾角、直線與平面間的夾角及兩平面間的夾角。 1、兩相交直線間的夾角如圖所示,任作與兩相交直線AB、AC相交的直線EF,構(gòu)成AEF;再作出AEF的實形;AEF中的EAF便是所求兩相交直線間的夾角。2、直線與平面間的夾角初等幾何中曾定義:直線和它在平面上的投影所夾的銳角,稱為直線與平面間的夾角。如圖所示,任取屬于直線HG的一點H,由點H作平面P的法線HO;求出直線HO和HG的夾角;的余角便是直線與平面間的夾角。例 求直線HG與平面的夾角,平面由四邊形ABCD給定例 求直線AB與平面DEF之間的夾角 3、兩平面間的夾角兩平面的夾角就是兩平面形成的二面角的平面角。如圖所示,在空間任取一點L,過點L分別作平面P和Q的法線LM和LN,兩相交直線LM和LN所確定的平面S是P、Q兩平面的公垂面,即是平面角所在的平面;求出兩相交
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