數(shù)學(xué)建模課件03-1第三章 第1-8節(jié) 微分方程模型

1、第三章第三章 微分方程模型微分方程模型 1 微分方程的簡單應(yīng)用微分方程的簡單應(yīng)用 2 一、物體在液面上的浮沉振動(dòng)問題一、物體在液面上的浮沉振動(dòng)問題 問題：問題：一個(gè)邊長為一個(gè)邊長為3米的立方體浮于水面上，米的立方體浮于水面上， 已知立方體上下振動(dòng)的周期為已知立方體上下振動(dòng)的周期為2秒，試求物體沉秒，試求物體沉 浮振動(dòng)的規(guī)律和質(zhì)量。浮振動(dòng)的規(guī)律和質(zhì)量。 問題的分析：設(shè)水的密度為問題的分析：設(shè)水的密度為1000kg ，當(dāng)，當(dāng) 物體侵入水中時(shí)，它受到一個(gè)向上的浮力，由阿物體侵入水中時(shí)，它受到一個(gè)向上的浮力，由阿 基米德原理知：浮力的大小等于與物體侵入水中基米德原理知：浮力的大小等于與物體侵入水中 的

2、那部分同體積的水的重量。的那部分同體積的水的重量。 3 m 設(shè)物體的質(zhì)量為設(shè)物體的質(zhì)量為m，物體在，物體在t時(shí)刻相對(duì)于靜止時(shí)刻相對(duì)于靜止 位置的位移為位置的位移為x，即，即xx(t), 由阿基米德原理知，引起振動(dòng)的浮力為：由阿基米德原理知，引起振動(dòng)的浮力為： x331000g9000gx (N) 3 由牛頓第二定律得由牛頓第二定律得 )41 (9000 2 2 gx dt xd m 其中其中g(shù)9.8m 。 2 s 方程方程(1-4)就是物體沉浮振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型。就是物體沉浮振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型。 易得方程易得方程(1-4)的通解為的通解為 t m g ct m g cx 9000 sin 9000 c

3、os 21 于是周期為于是周期為 2 9000 2 m g T 解得解得 )(8937 9000 2 kg g m 4 二、液體的濃度稀釋問題二、液體的濃度稀釋問題 問題：有兩只桶內(nèi)各裝問題：有兩只桶內(nèi)各裝100加侖的鹽水，其濃度為加侖的鹽水，其濃度為 0.5磅鹽加侖。現(xiàn)用管子將凈水以磅鹽加侖?，F(xiàn)用管子將凈水以2加侖分鐘的速加侖分鐘的速 度輸送到第一只桶內(nèi)，攪拌均勻后，混合液又由管度輸送到第一只桶內(nèi)，攪拌均勻后，混合液又由管 子以子以2加侖分鐘的速度被輸送到第二只桶內(nèi)，再將加侖分鐘的速度被輸送到第二只桶內(nèi)，再將 混合液攪拌均勻，然后用管子以混合液攪拌均勻，然后用管子以1加侖分鐘的速度加侖分鐘的

4、速度 輸出，問在輸出，問在t時(shí)刻從第二只桶流出的鹽水濃度是多少？時(shí)刻從第二只桶流出的鹽水濃度是多少？ 解：解： 、設(shè)設(shè))( 11 tyy )( 22 tyy 分別表示分別表示t時(shí)刻第一只和第二只桶內(nèi)鹽的數(shù)量，時(shí)刻第一只和第二只桶內(nèi)鹽的數(shù)量， 單位為磅，單位為磅， 5 第一只桶在第一只桶在t到到t 內(nèi)鹽的改變量為內(nèi)鹽的改變量為t t ty ttytty2 100 )( 20)()( 1 11 50)0( 50 )( 1 11 y ty dt dy 50 1 50 t ey 故故 第二只桶在第二只桶在t到到t 內(nèi)鹽的改變量內(nèi)鹽的改變量 t 流出流出流入流入)()( 22 tytty t t ty

5、t ty 1 ) 12(100 )( 2 100 )( 21 6 50)0( 100 )( )( 50 1 2 2 1 2 y t ty ty dt dy 代代入入得得：將將 50 1 50 t ey 50)0( 100 )( 2 2 50 2 y t ty e dt dy t 解一階線性微分方程得解一階線性微分方程得 50 22 )150(5012500)( t ettyy 所以所以t時(shí)刻從第二只桶內(nèi)流出的鹽水的濃度為時(shí)刻從第二只桶內(nèi)流出的鹽水的濃度為 50 2 ) 100 150 (50 100 12500 100 t e t t tt y （磅鹽加侖）（磅鹽加侖） 7 2 鉛球擲遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)

6、模型鉛球擲遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)模型 問題、設(shè)鉛球初始速度為問題、設(shè)鉛球初始速度為V,出手高度為出手高度為h，出，出 手角度為手角度為 （與地面的夾角），建立投擲距離與（與地面的夾角），建立投擲距離與 V、h、 的關(guān)系式，并在的關(guān)系式，并在V、h一定的條件下求最一定的條件下求最 佳出手角度和最遠(yuǎn)距離。佳出手角度和最遠(yuǎn)距離。 模型模型1拋射模型拋射模型 在這個(gè)模型中，我們不考慮投擲者在投擲圓內(nèi)在這個(gè)模型中，我們不考慮投擲者在投擲圓內(nèi) 用力階段的力學(xué)過程，只考慮鉛球脫手時(shí)的初速度用力階段的力學(xué)過程，只考慮鉛球脫手時(shí)的初速度 和投擲角度對(duì)鉛球的影響。和投擲角度對(duì)鉛球的影響。 假設(shè)：假設(shè)： 1、鉛球被看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。

7、 、鉛球被看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。 2、鉛球運(yùn)動(dòng)過程中的空氣阻力不計(jì)。、鉛球運(yùn)動(dòng)過程中的空氣阻力不計(jì)。 8 3、投擲角和初速度是相互獨(dú)立的。、投擲角和初速度是相互獨(dú)立的。 4、設(shè)鉛球的質(zhì)量為、設(shè)鉛球的質(zhì)量為m， 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖 在在t時(shí)刻，鉛球的位置在時(shí)刻，鉛球的位置在M(x,y)點(diǎn)，則由力學(xué)點(diǎn)，則由力學(xué) 定律知，鉛球運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)微分方程是：定律知，鉛球運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)微分方程是： ),(yxM sin)0(cos)0( )0(0)0( 0 vyvx hyx mgym xm 9 解之得解之得 hvtgty vtx sin 2 1 cos 2 所以鉛球的運(yùn)動(dòng)軌跡為所以鉛球的運(yùn)動(dòng)軌跡為 ) 12(ta

8、n cos2 2 22 hxx v g y 令令y=0 ，鉛球落地的距離為，鉛球落地的距離為 )22(cos) 2 sin(sincos 2 1 2 2 22 v g h g v g v x 它描述了鉛球投擲的距離與投擲時(shí)的出手它描述了鉛球投擲的距離與投擲時(shí)的出手 速度和投擲角度的關(guān)系，這也是我們所要的鉛球速度和投擲角度的關(guān)系，這也是我們所要的鉛球 投擲模型。投擲模型。 10 由（由（2-1），關(guān)系式（），關(guān)系式（2-2）可表示為）可表示為 )tan(cos2 222 xhvgx ，由由0 d dx 得最佳出手角度為得最佳出手角度為 )(2 arcsin 2 * ghv v 投擲的最遠(yuǎn)距離投擲

9、的最遠(yuǎn)距離 ghv g v x2 2* 設(shè)設(shè)h=1.5米，米，v=10米米/秒秒 ，則，則 o 4 .41 * 米米4 .11 * x 11 模型模型2鉛球投擲模型鉛球投擲模型 下面將考慮鉛球的投擲過程建立鉛球投擲模型。下面將考慮鉛球的投擲過程建立鉛球投擲模型。 關(guān)于鉛球的投擲過程我們假設(shè)：關(guān)于鉛球的投擲過程我們假設(shè)： 1、滑步階段為水平運(yùn)動(dòng)，鉛球隨人的身體產(chǎn)生、滑步階段為水平運(yùn)動(dòng)，鉛球隨人的身體產(chǎn)生 一個(gè)水平的初速度一個(gè)水平的初速度 。 0 v 2、在用力階段，運(yùn)動(dòng)員從開始用力推鉛球到、在用力階段，運(yùn)動(dòng)員從開始用力推鉛球到 鉛球出手有一段時(shí)間鉛球出手有一段時(shí)間 。 0 t 3、在運(yùn)動(dòng)員用力的

10、時(shí)間內(nèi)，運(yùn)動(dòng)員作用在鉛球、在運(yùn)動(dòng)員用力的時(shí)間內(nèi)，運(yùn)動(dòng)員作用在鉛球 上的推力大小上的推力大小F是不變的，力的方向與鉛球的出手是不變的，力的方向與鉛球的出手 角度角度 相同。相同。 用這三個(gè)假設(shè)代替模型用這三個(gè)假設(shè)代替模型1中的假設(shè)中的假設(shè)3來進(jìn)一步組來進(jìn)一步組 建鉛球的投擲模型。建鉛球的投擲模型。 12 模型模型(2-2)很好地描述了鉛球出手以后的運(yùn)動(dòng)狀況，很好地描述了鉛球出手以后的運(yùn)動(dòng)狀況， 因此模型因此模型2主要在于建立描述鉛球出手速度的形成過主要在于建立描述鉛球出手速度的形成過 程以得到出手速度與出手角度之間的依賴關(guān)系。程以得到出手速度與出手角度之間的依賴關(guān)系。 若記若記x(t),y(t)

11、為開始用力后鉛球運(yùn)動(dòng)軌跡的水平和為開始用力后鉛球運(yùn)動(dòng)軌跡的水平和 鉛垂方向的坐標(biāo)。則根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定理，由假鉛垂方向的坐標(biāo)。則根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定理，由假 設(shè)設(shè)3我們有我們有 cos)(Ftxm )32(sin)( mgFtym 式中式中m為鉛球的質(zhì)量，為鉛球的質(zhì)量，F(xiàn)是對(duì)鉛球的推力，是對(duì)鉛球的推力， 為力的為力的 方向既鉛球的出手角度。方向既鉛球的出手角度。 根據(jù)假設(shè)根據(jù)假設(shè)2，令，令t=0時(shí)運(yùn)動(dòng)員開始用力推球，時(shí)運(yùn)動(dòng)員開始用力推球， 時(shí)鉛球出手，在區(qū)間時(shí)鉛球出手，在區(qū)間 上積分（上積分（2-3）可得）可得 0 tt )t , 0( 0 13 100 cos)(Ct m F tx 2000

12、sin)(Cgtt m F ty 其中其中 分別是分別是t=0時(shí)鉛球的水平與垂直的初速度。時(shí)鉛球的水平與垂直的初速度。 21,C C 由假設(shè)由假設(shè)1，有，有 0, 201 CvC 于是我們得到于是我們得到 000 cos)(vt m F tx 000 sin)(gtt m F ty 由此可以得到鉛球的合速度，即鉛球的出手速度由此可以得到鉛球的合速度，即鉛球的出手速度 2 00 2 00 2 0 2 0 )sin()cos()()(gtt m F vt m F tytxv 14 )42(cos 2 )sin 2 ( 00 0 2 0 2 2 2 vt m F vtg m F g m F 式中式中

13、 是推鉛球時(shí)力的作用時(shí)間。是推鉛球時(shí)力的作用時(shí)間。 0 t 將將(2-4)與與(2-2)合并就得到了鉛球擲遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)模型。合并就得到了鉛球擲遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)模型。 15 )22(cos) 2 sin(sincos 2 1 2 2 22 v g h g v g v x )42(cos 2 )sin 2 ( 00 0 2 0 2 2 2 vt m F vtg m F g m F v 分析出手速度模型分析出手速度模型(2-4)，不難看出，不難看出v隨著隨著F和和 的增加而增大，顯然的增加而增大，顯然v隨著隨著 的增加而增大。這與的增加而增大。這與 我們的常識(shí)也是一致的。由于我們的常識(shí)也是一致的。由于 ，由，由

14、(2-4)式式 還可以看出還可以看出v將隨著將隨著 的增加而減少。因此，當(dāng)?shù)脑黾佣鴾p少。因此，當(dāng) 推力推力F和作用時(shí)間和作用時(shí)間 不變時(shí)，運(yùn)動(dòng)員要提高鉛球不變時(shí)，運(yùn)動(dòng)員要提高鉛球 的出手角度的出手角度 ，就必須以降低出手速度為代價(jià)，就必須以降低出手速度為代價(jià)， 所以對(duì)于鉛球投擲來說，模型所以對(duì)于鉛球投擲來說，模型1所給出的所給出的“最佳出最佳出 手角度手角度”不一定是最佳的。不一定是最佳的。 0 t 0 v 2 0 0 t 16 進(jìn)一步分析鉛球投擲模型進(jìn)一步分析鉛球投擲模型2，我們還可以得到鉛球，我們還可以得到鉛球 投擲存在一個(gè)最佳出手角度，它要小于模型投擲存在一個(gè)最佳出手角度，它要小于模型1

15、所給出所給出 的最佳角度。對(duì)模型的最佳角度。對(duì)模型2還可以給出類似于模型還可以給出類似于模型1的全的全 部分析，這些我們留給讀者去完成。部分析，這些我們留給讀者去完成。 思考題：思考題：1、建立跳高的數(shù)學(xué)模型。、建立跳高的數(shù)學(xué)模型。 17 3 減肥的數(shù)學(xué)模型減肥的數(shù)學(xué)模型 問題：如何建立減肥的數(shù)學(xué)模型？問題：如何建立減肥的數(shù)學(xué)模型？ 問題分析：問題分析： “肥者肥者”從某種意義下說就是脂肪過多以至從某種意義下說就是脂肪過多以至 超過標(biāo)準(zhǔn)，數(shù)學(xué)建模就要由此入手。超過標(biāo)準(zhǔn)，數(shù)學(xué)建模就要由此入手。 模型假設(shè)：模型假設(shè)： (1)設(shè)某人每天從食物中攝取的熱量是設(shè)某人每天從食物中攝取的熱量是a焦耳，其焦耳

16、，其 中中b焦耳用于新陳代謝（即自動(dòng)消耗），而從事工作、焦耳用于新陳代謝（即自動(dòng)消耗），而從事工作、 生活每天每千克體重必須消耗生活每天每千克體重必須消耗焦耳的熱量，從事體焦耳的熱量，從事體 育鍛煉每千克體重消耗育鍛煉每千克體重消耗焦耳的熱量。焦耳的熱量。 (2)某人以脂肪形式儲(chǔ)存的熱量是百分之百地有某人以脂肪形式儲(chǔ)存的熱量是百分之百地有 效，而效，而1千克脂肪含熱量是千克脂肪含熱量是42000焦耳。焦耳。 18 (3)設(shè)體重設(shè)體重W是時(shí)間是時(shí)間t的連續(xù)可微函數(shù)，即的連續(xù)可微函數(shù)，即WW(t)。 數(shù)學(xué)建模：數(shù)學(xué)建模： 每天：體重的變化輸入輸出每天：體重的變化輸入輸出 輸入：指扣除了新陳代謝之外

17、的凈吸收量。輸入：指扣除了新陳代謝之外的凈吸收量。 輸出：就是進(jìn)行工作、生活以及體育鍛煉的總耗量。輸出：就是進(jìn)行工作、生活以及體育鍛煉的總耗量。 于是每天凈吸收量于是每天凈吸收量 42000 ba 每天凈輸出量每天凈輸出量 w 42000 所以在所以在t到到t t 時(shí)間內(nèi)體重的變化：時(shí)間內(nèi)體重的變化： ttwt ba twttw )( 4200042000 )()( 19 體重變化的數(shù)學(xué)模型：體重變化的數(shù)學(xué)模型： ) 13( )0( 42000 )()( 0 ww wba dt dw 應(yīng)用分離變量法，解方程應(yīng)用分離變量法，解方程(3-1)得得 )23( 42000 )()(ln 1 C t w

18、ba 利用初始條件得利用初始條件得 0 )()(ln 1 wbaC 從而得從而得 )33( )( 42000 )( 0 t e wbaba w 20 對(duì)對(duì)(3-3)式求導(dǎo)得式求導(dǎo)得 )43( 42000 )()( 42000 )( 0 t e wba dt dw 由由(3-1)、(3-3)及及(3-4)可以對(duì)減（增）肥分析如下：可以對(duì)減（增）肥分析如下： 、若、若ab ，即凈吸收大于總消耗，即凈吸收大于總消耗， 0， 則體重增加。則體重增加。 0 )(w dt dw 、若、若ab ，即凈吸收小于總消耗，即凈吸收小于總消耗， 0， 則體重減少。則體重減少。 0 )(w dt dw 、若、若ab

19、，即凈吸收等于總消耗，即凈吸收等于總消耗， =0 ， 則體重不變。則體重不變。 0 )(w dt dw 、當(dāng)、當(dāng)t時(shí)，由時(shí)，由(3-3)式知式知 ba tW)( 21 這表明只要適當(dāng)控制這表明只要適當(dāng)控制a（進(jìn)食）、（進(jìn)食）、b（新陳代（新陳代 謝）、謝）、 （工作、生活）、（工作、生活）、 （體育鍛煉），要使（體育鍛煉），要使 體重等于多少是體重等于多少是“可能可能”的的. 正確的減肥策略最主要是有一個(gè)良好的飲食、正確的減肥策略最主要是有一個(gè)良好的飲食、 工作和鍛煉的習(xí)慣，即要適當(dāng)控制工作和鍛煉的習(xí)慣，即要適當(dāng)控制a、。對(duì)于少。對(duì)于少 數(shù)肥胖者和運(yùn)動(dòng)員來說，研究不傷身體的新陳代謝數(shù)肥胖者和運(yùn)

20、動(dòng)員來說，研究不傷身體的新陳代謝 的改變也是必要的。的改變也是必要的。 22 思考題思考題： 某人每天由飲食獲取某人每天由飲食獲取10500焦耳的熱量，其中焦耳的熱量，其中 5040焦耳用于新陳代謝。此外每千克體重需支付焦耳用于新陳代謝。此外每千克體重需支付 67.2焦耳熱量作為運(yùn)動(dòng)消耗。其余熱量則轉(zhuǎn)化為脂焦耳熱量作為運(yùn)動(dòng)消耗。其余熱量則轉(zhuǎn)化為脂 肪。已知脂肪形式儲(chǔ)存的熱量利用率為肪。已知脂肪形式儲(chǔ)存的熱量利用率為100%，問，問 此人的體重如何隨時(shí)間變化？此人的體重如何隨時(shí)間變化？ 23 4 追蹤問題的數(shù)學(xué)模型追蹤問題的數(shù)學(xué)模型 問題：我輯私艦雷達(dá)發(fā)現(xiàn)距問題：我輯私艦雷達(dá)發(fā)現(xiàn)距d海里處有一艘

21、走私船海里處有一艘走私船 正以勻速正以勻速 沿直線行駛，輯私艦立即以最大的速沿直線行駛，輯私艦立即以最大的速 度度 （勻速）追趕。若用雷達(dá)進(jìn)行跟蹤，保持艦（勻速）追趕。若用雷達(dá)進(jìn)行跟蹤，保持艦 的瞬時(shí)速度方向始終指向走私船，試求輯私艦的運(yùn)的瞬時(shí)速度方向始終指向走私船，試求輯私艦的運(yùn) 動(dòng)軌跡及追上的時(shí)間。動(dòng)軌跡及追上的時(shí)間。 a v )(留作自學(xué)留作自學(xué) 24 5 萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)萬有引力定律的發(fā)現(xiàn) 歷史背景：歷史背景： 開普勒三定律：開普勒三定律： 、各顆行星分別在不同的橢圓軌道上繞太、各顆行星分別在不同的橢圓軌道上繞太 陽運(yùn)行，太陽位于這些橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。陽運(yùn)行，太陽位于這些橢圓的一個(gè)焦

22、點(diǎn)上。 、每顆行星運(yùn)行過程中單位時(shí)間內(nèi)太、每顆行星運(yùn)行過程中單位時(shí)間內(nèi)太 陽陽行星向徑掃過的面積是常數(shù)。行星向徑掃過的面積是常數(shù)。 、各顆行星運(yùn)行周期的平方與其橢圓軌、各顆行星運(yùn)行周期的平方與其橢圓軌 道長半軸的道長半軸的3次方成正比。次方成正比。 25 模型假設(shè)模型假設(shè) 開普勒三定律和牛頓第二定律是導(dǎo)出萬有引力開普勒三定律和牛頓第二定律是導(dǎo)出萬有引力 定律的基礎(chǔ)，所以需要將它們表述為這個(gè)模型的假定律的基礎(chǔ)，所以需要將它們表述為這個(gè)模型的假 設(shè)條件。設(shè)條件。 對(duì)于任意一顆行星的橢圓運(yùn)動(dòng)軌道建立極坐標(biāo)對(duì)于任意一顆行星的橢圓運(yùn)動(dòng)軌道建立極坐標(biāo) 系系(r,)，以太陽為坐標(biāo)原點(diǎn)，以太陽為坐標(biāo)原點(diǎn)r0，

23、以橢圓長半軸，以橢圓長半軸 方向?yàn)榉较驗(yàn)?，用向量，用向量 表示行星位置，如圖表示行星位置，如圖 r 26 (1)軌道方程為軌道方程為 ) 15( cos1 e p r 其中其中 a b p 2 )1 ( 222 eab a、b為橢圓的長、短半軸，為橢圓的長、短半軸，e為離心率。為離心率。 (2)單位時(shí)間內(nèi)向徑單位時(shí)間內(nèi)向徑 掃過的面積是常數(shù)，即掃過的面積是常數(shù)，即 r )25( 2 1 2 Ar (3)行星運(yùn)行周期行星運(yùn)行周期T滿足滿足 ) 35( 32 aT 其中其中是絕對(duì)常數(shù)，與哪一顆行星無關(guān)。是絕對(duì)常數(shù)，與哪一顆行星無關(guān)。 (4)行星運(yùn)動(dòng)時(shí)受的作用力等于行星加速度行星運(yùn)動(dòng)時(shí)受的作用力等

24、于行星加速度 和質(zhì)量和質(zhì)量m的乘積，即的乘積，即 r )45( rmf 27 模型建立模型建立 首先引入基向量（如圖）首先引入基向量（如圖） )55( cossin sincos jiu jiur 向徑向徑 可表示為可表示為 r )65( r urr 由由(5-5)式可以算出式可以算出 )75( r r uu uu 28 所以由所以由(5-6),(5-7)式得到行星運(yùn)動(dòng)的速度和加速度為式得到行星運(yùn)動(dòng)的速度和加速度為 )85( ururr r )95()2()( 2 urrurrr r 根據(jù)根據(jù)(5-2)式可得式可得 2 2 r A )105( 4 3 r r A 于是于是 (5-9)式右端第二

25、項(xiàng)式右端第二項(xiàng) 02 rr (5-9)式化為式化為 )115()( 2 r urrr 對(duì)對(duì)(5-1)式求導(dǎo)并利用式求導(dǎo)并利用(5-10)式式 的結(jié)果得的結(jié)果得 )125(sin 2 p Ae r 29 )135( )(4 cos 4 3 2 2 2 pr rpA pr eA r 將將(5-10)和和(5-13)代入代入(5-11)式得式得 )145( 4 2 2 r u pr A r 最后把最后把(5-14)和和(5-6)代入代入(5-4)式得式得 0 2 2 4 r pr mA f )155( 0 r r r 這里這里 是單位向徑，指示向徑方向。是單位向徑，指示向徑方向。 0 r (5-15

26、)式表明：式表明： (1)行星運(yùn)動(dòng)時(shí)受的力的方向與它的向徑方向行星運(yùn)動(dòng)時(shí)受的力的方向與它的向徑方向 相反，即在太陽相反，即在太陽行星連線方向，指向太陽；行星連線方向，指向太陽； 30 （2）力的大小與行星質(zhì)量）力的大小與行星質(zhì)量m成正比，與太陽成正比，與太陽 行星距離行星距離r的平方成反比，為太陽對(duì)行星的引力。的平方成反比，為太陽對(duì)行星的引力。 為了完成萬有引力的推導(dǎo)，只需證明為了完成萬有引力的推導(dǎo)，只需證明(5-15)式式 中的中的 是絕對(duì)常數(shù)，即它與哪一顆行星無關(guān)（是絕對(duì)常數(shù)，即它與哪一顆行星無關(guān)（A 和和 不是絕對(duì)常數(shù)）。不是絕對(duì)常數(shù)）。 p A2 p 因?yàn)橐驗(yàn)锳是單位時(shí)間內(nèi)向徑掃過的面

27、積，行星運(yùn)是單位時(shí)間內(nèi)向徑掃過的面積，行星運(yùn) 動(dòng)一個(gè)周期動(dòng)一個(gè)周期T向徑掃過的面積恰是以向徑掃過的面積恰是以a,b為長、短半為長、短半 軸的橢圓面積，所以軸的橢圓面積，所以 )165( abTA 由由(5-1),(5-3),(5-16)式容易算出式容易算出 )175( 22 p A 和和 是絕對(duì)常數(shù)。是絕對(duì)常數(shù)。 31 將將(5-17)代入代入(5-15)式有式有 )185( 4 0 2 2 r r m f (5-18)式表明：式表明： 太陽對(duì)行星的作用力的大小除了與行星質(zhì)量太陽對(duì)行星的作用力的大小除了與行星質(zhì)量m 成正比，與相互距離的平方成反比以外，余下的因成正比，與相互距離的平方成反比以外

28、，余下的因 子子 就只與太陽本身有關(guān)了。就只與太陽本身有關(guān)了。 2 4 查詢太陽質(zhì)量查詢太陽質(zhì)量M、地球運(yùn)行軌道（橢圓）的長半、地球運(yùn)行軌道（橢圓）的長半 軸、引力常數(shù)等數(shù)據(jù)可得軸、引力常數(shù)等數(shù)據(jù)可得 KM 2 4 k為萬有引力常數(shù)，為萬有引力常數(shù)，M為太陽質(zhì)量為太陽質(zhì)量 32 所以所以(5-18)式可寫為式可寫為 )195( 0 2 r r Mm kf 這就是我們熟知的形式這就是我們熟知的形式 評(píng)注：評(píng)注： 從發(fā)現(xiàn)萬有引力定律的過程中可以看出，在從發(fā)現(xiàn)萬有引力定律的過程中可以看出，在 正確假設(shè)的基礎(chǔ)上運(yùn)用數(shù)學(xué)演繹方法建模，對(duì)自正確假設(shè)的基礎(chǔ)上運(yùn)用數(shù)學(xué)演繹方法建模，對(duì)自 然科學(xué)的發(fā)展能夠發(fā)揮多

29、么巨大的作用，雖然我然科學(xué)的發(fā)展能夠發(fā)揮多么巨大的作用，雖然我 們大多數(shù)人發(fā)明不了什么定律，但是學(xué)習(xí)前輩如們大多數(shù)人發(fā)明不了什么定律，但是學(xué)習(xí)前輩如 何創(chuàng)造性地運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對(duì)于培養(yǎng)解決實(shí)際問題何創(chuàng)造性地運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對(duì)于培養(yǎng)解決實(shí)際問題 的能力是大有好處的能力是大有好處 33 7 核廢料的處理問題核廢料的處理問題 背景：背景： 問題：將放射性核廢料裝進(jìn)密封的圓桶里仍到問題：將放射性核廢料裝進(jìn)密封的圓桶里仍到 水深水深91米的海底，這個(gè)方案是否可行？米的海底，這個(gè)方案是否可行？ 已知數(shù)據(jù)及實(shí)驗(yàn)結(jié)果：已知數(shù)據(jù)及實(shí)驗(yàn)結(jié)果： 1、桶的重量、桶的重量 W=239.456kg 2、海水的浮力為、海水的浮力為

30、1025.94kg/ 3、圓桶的體積、圓桶的體積 V=0.208m 4、桶下沉?xí)r的阻力與速度成正比，比例系、桶下沉?xí)r的阻力與速度成正比，比例系 數(shù)數(shù) k=0.12 5、當(dāng)桶以、當(dāng)桶以12.2米米/秒與海底碰撞時(shí)，桶將會(huì)秒與海底碰撞時(shí)，桶將會(huì) 破裂。破裂。 3 m 34 問題的解決：問題的解決： 取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖 設(shè)設(shè)y(t)表示桶在表示桶在t時(shí)刻下沉的深度，時(shí)刻下沉的深度， 我們要知道在我們要知道在91米深速度是否大于米深速度是否大于12.2米。米。 當(dāng)桶下沉?xí)r，有三個(gè)力作用在它上面：當(dāng)桶下沉?xí)r，有三個(gè)力作用在它上面： 桶重力桶重力 W=239.456kg 浮力浮力 B=1025.94

31、V=213.396kg 桶下沉?xí)r阻力桶下沉?xí)r阻力 D=kv=0.12v=0.12 dt dy 即合力即合力 F=W-B-D=W-B-kv 由牛頓第二定律由牛頓第二定律 F=ma 得：得： W-B-kv=ma 35 即有即有 ) 17( 0)0()0( 0)0( 2 2 vy y dt yd m dt dy kBW 此微分方程可看作此微分方程可看作 類型類型.),(yxfy 由于由于v= ,則則 代入上方程得代入上方程得 dt dy dt dv dt yd 2 2 0)0(v dt dv mkvbW 解得解得)1 ()( t m k e k BW tv 36 至此至此,數(shù)學(xué)問題似乎有了結(jié)果數(shù)學(xué)問

32、題似乎有了結(jié)果,得到了速度與時(shí)得到了速度與時(shí) 間的表達(dá)式間的表達(dá)式.但實(shí)際問題遠(yuǎn)沒有解決但實(shí)際問題遠(yuǎn)沒有解決.因?yàn)閳A桶到達(dá)因?yàn)閳A桶到達(dá) 海底所需的時(shí)間海底所需的時(shí)間 t并不知道并不知道,因而也就無法算出速因而也就無法算出速 度度.這樣這樣,上述的表達(dá)式就沒有實(shí)際意義。上述的表達(dá)式就沒有實(shí)際意義。 有人會(huì)說有人會(huì)說,雖然無法算出精確值但我們可以估雖然無法算出精確值但我們可以估 計(jì)當(dāng)計(jì)當(dāng)t 時(shí)，時(shí)，v(t) 。只要。只要 不超過不超過 12.2米米/秒，方案就可行；秒，方案就可行； k BW k BW 但可惜但可惜 =217.2米米/秒，它太大了，問題秒，它太大了，問題 仍沒有解決。仍沒有解決。

33、k BW 而方程而方程(7-1)又可看作又可看作 類型，類型， ),(yyfy , dt dy v 令令, 2 2 dy dv v dt yd 方程方程(1)也可化為一個(gè)一階可分離變量的微分方程也可化為一個(gè)一階可分離變量的微分方程 37 )27( 0)0( 0)0( y v kvBW dy dv mv 解之得解之得 CkvBW k BW v k y m )ln( 11 2 由初始條件得由初始條件得 )ln( 2 BW k BW C 所以所以 ) 37()ln( 1 2 BW kvBW k BW k v y m 當(dāng)當(dāng) y=91米時(shí)，如何求速度米時(shí)，如何求速度v ? 38 下面用牛頓切線法求出速度

34、下面用牛頓切線法求出速度v的近似值。的近似值。 牛頓法介紹：牛頓法介紹： 若已知方程若已知方程g(v)=0,求求v的近似值的迭代格式為：的近似值的迭代格式為： )( )( 1 n n nn vg vg vv 在這里，在這里，(7-3)式可寫成式可寫成 0)ln( 1 2 BW kvBW k BW k v y m )ln()( BW kvBW k BW vy m k vg 取取 )ln( BW kvBW k BW v W yak 其中其中 a=9.8m / 。 2 s 39 ,167.217,447. 0 k BW b W yak d 記記 于是于是 )1ln()( b v bvdvg vb v

35、 b v b bvg 1 1 1)( 迭代格式為迭代格式為 )( )( 1 n n nn vg vg vv )1ln( b v bvd v vb v n n n n n )1ln( b v bd v vb v v vb v n n n n n n n 40 )47()1ln( b v bd v vb b n n n 只要選擇一個(gè)好的初始值只要選擇一個(gè)好的初始值 ，就能很快算出結(jié)果。，就能很快算出結(jié)果。 0 v 求求 的粗略近似值：的粗略近似值： 0 v 從從(7-2)中令中令k=0（即下沉?xí)r不記阻力）得（即下沉?xí)r不記阻力）得 CyBWmv)( 2 1 2 由初始條件得由初始條件得C=0 , s

36、my m BW v/93.132 22 以以 =13.93代入代入(7-4)得得 0 v 64061.13 1 v 41 63728.13 2 v 63728.13 3 v smsmv/2 .12/64.13所所以以 因此這種處理核廢料的方案是不可行的因此這種處理核廢料的方案是不可行的. 這一模型科學(xué)地論證了美國原子能委員會(huì)過去處這一模型科學(xué)地論證了美國原子能委員會(huì)過去處 理核廢料的方案是錯(cuò)誤的理核廢料的方案是錯(cuò)誤的,從而改變了美國政府過去的從而改變了美國政府過去的 錯(cuò)誤的做法錯(cuò)誤的做法,現(xiàn)在美國原子能委員會(huì)條例明確禁止把低現(xiàn)在美國原子能委員會(huì)條例明確禁止把低 濃度的放射性廢物拋到海里濃度的放

37、射性廢物拋到海里,并在一些廢棄的煤礦中修并在一些廢棄的煤礦中修 建置核廢料的深井建置核廢料的深井.這一模型為全世界其他國家處理核這一模型為全世界其他國家處理核 廢料提供了經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)廢料提供了經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn),我國政府決定在甘肅廣西等地修我國政府決定在甘肅廣西等地修 建三個(gè)深井放置核廢料建三個(gè)深井放置核廢料,防止放射性污染防止放射性污染. 42 8 傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型 模型一：最簡單的情況模型一：最簡單的情況 假設(shè)：假設(shè)： (1)每個(gè)病人在單位時(shí)間內(nèi)傳染的人數(shù)是常數(shù)每個(gè)病人在單位時(shí)間內(nèi)傳染的人數(shù)是常數(shù) ； 0 k (2)一人得病后，經(jīng)久不愈，人在傳染期不會(huì)死亡。一人得病后，經(jīng)久不愈，

38、人在傳染期不會(huì)死亡。 記記 表示表示t時(shí)刻病人數(shù)，時(shí)刻病人數(shù)， )(ti 表示每個(gè)病人單位時(shí)間內(nèi)傳染人數(shù)，表示每個(gè)病人單位時(shí)間內(nèi)傳染人數(shù)， 0 k ，即最初有即最初有 個(gè)傳染病人。個(gè)傳染病人。 0 )0(ii 0 i 則在則在t到到t t時(shí)間內(nèi)增加的病人數(shù)為時(shí)間內(nèi)增加的病人數(shù)為 ttiktitti)()()( 0 43 于是得微分方程于是得微分方程 ) 18( )0( )( )( 0 0 ii tik dt tdi 其解為其解為 tk eiti 0 0 )( 結(jié)果表明：傳染病的傳播是按指數(shù)函數(shù)增加的。結(jié)果表明：傳染病的傳播是按指數(shù)函數(shù)增加的。 這個(gè)結(jié)果與傳染病傳播初期比較吻合。這個(gè)結(jié)果與傳染病

39、傳播初期比較吻合。 但由但由(8-1)的解可以推出，當(dāng)?shù)慕饪梢酝瞥?，?dāng)t+時(shí)，時(shí)， +，這顯然是不符合實(shí)際情況的，問題在于，這顯然是不符合實(shí)際情況的，問題在于 兩條假設(shè)均不合理。兩條假設(shè)均不合理。 )(ti 44 模型二：模型二： 用用 表示表示t時(shí)刻傳染病人數(shù)和未被時(shí)刻傳染病人數(shù)和未被 傳染的人數(shù)，傳染的人數(shù)， ； )(),(tsti 0 )0(ii 假設(shè)：假設(shè)： (1)每個(gè)病人單位時(shí)間內(nèi)傳染的人數(shù)與這時(shí)每個(gè)病人單位時(shí)間內(nèi)傳染的人數(shù)與這時(shí) 未被傳染的人數(shù)成正比，即未被傳染的人數(shù)成正比，即 )( 0 tksk (2)一人得病后經(jīng)久不愈，人在傳染期不會(huì)死亡；一人得病后經(jīng)久不愈，人在傳染期不會(huì)死亡

40、； (3)總?cè)藬?shù)為總?cè)藬?shù)為n，即，即 ； ntits)()( 由以上假設(shè)得微分方程由以上假設(shè)得微分方程 )28( )0( )()( )()( )( 0 ii ntits titks dt tdi 45 用分離變量法得其解為用分離變量法得其解為 ) 38( ) 1(1 )( 0 knt e i n n ti 其圖形如圖其圖形如圖 模型模型(8-2)可以用來預(yù)報(bào)傳染較快的疾病前可以用來預(yù)報(bào)傳染較快的疾病前 期傳染病高峰到來的時(shí)間。期傳染病高峰到來的時(shí)間。 由由(8-3)式可得式可得 46 )48( ) 1(1 ) 1( 2 0 0 2 knte i n e i n kn dt di knt 其圖形

41、如圖其圖形如圖 醫(yī)學(xué)上稱醫(yī)學(xué)上稱 為傳染病曲線（它表示傳為傳染病曲線（它表示傳 染病人增加率與時(shí)間的關(guān)系）。染病人增加率與時(shí)間的關(guān)系）。 t dt di 47 ，令令0 )( 2 2 dt tid 得極大值點(diǎn)：得極大值點(diǎn)： )58( ) 1ln( 0 1 kn i n t 由此可知由此可知 1)當(dāng)傳染病強(qiáng)度當(dāng)傳染病強(qiáng)度k或總?cè)藬?shù)或總?cè)藬?shù)n增加時(shí)，增加時(shí)， 都將變小，都將變小， 即傳染病高峰來得快，這與實(shí)際情況吻合。即傳染病高峰來得快，這與實(shí)際情況吻合。 1 t 2)如果知道了傳染強(qiáng)度如果知道了傳染強(qiáng)度k（k由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得出），由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得出）， 即可預(yù)報(bào)傳染病高峰到來的時(shí)間即可預(yù)報(bào)傳染病高峰到來

42、的時(shí)間 ，這對(duì)于防治，這對(duì)于防治 傳染病是有益處的。傳染病是有益處的。 1 t 48 模型二的缺點(diǎn)是：模型二的缺點(diǎn)是： 當(dāng)當(dāng)t時(shí)，由時(shí)，由(8-3)式可知式可知 n，即最，即最 后人人都要生病，這顯然是不符合實(shí)際情況。造后人人都要生病，這顯然是不符合實(shí)際情況。造 成的原因是假設(shè)成的原因是假設(shè)(2)中假設(shè)了人得病后經(jīng)久不愈。中假設(shè)了人得病后經(jīng)久不愈。 )(ti 為了與實(shí)際問題更加吻合，我們對(duì)上面的數(shù)學(xué)為了與實(shí)際問題更加吻合，我們對(duì)上面的數(shù)學(xué) 模型再進(jìn)一步修改，這就要考慮人得病后有的會(huì)死模型再進(jìn)一步修改，這就要考慮人得病后有的會(huì)死 亡，另外不是每個(gè)人被傳染后都會(huì)傳染別人，因?yàn)橥?，另外不是每個(gè)人被傳

43、染后都會(huì)傳染別人，因?yàn)?其中一部分會(huì)被隔離。還要考慮人得了傳染病由于其中一部分會(huì)被隔離。還要考慮人得了傳染病由于 醫(yī)治和人的自身抵抗力會(huì)痊愈，并非象前面假設(shè)那醫(yī)治和人的自身抵抗力會(huì)痊愈，并非象前面假設(shè)那 樣人得病后經(jīng)久不愈。為此作出新的假設(shè)，建立新樣人得病后經(jīng)久不愈。為此作出新的假設(shè)，建立新 的模型。的模型。 49 模型三：模型三： 在此模型中，雖然要考慮比前面兩個(gè)模型復(fù)在此模型中，雖然要考慮比前面兩個(gè)模型復(fù) 雜得多的因素，但仍要把問題簡化。設(shè)患過傳染雜得多的因素，但仍要把問題簡化。設(shè)患過傳染 病而完全病愈的任何人具有長期的免疫力，并設(shè)病而完全病愈的任何人具有長期的免疫力，并設(shè) 傳染病的潛伏期

44、很短，可以忽略不計(jì)，即是一個(gè)傳染病的潛伏期很短，可以忽略不計(jì)，即是一個(gè) 人患了病之后立即成為傳染者。在這種情況下把人患了病之后立即成為傳染者。在這種情況下把 居民分成三類：居民分成三類： 第一類是有能夠把疾病傳染給別人的那些傳染第一類是有能夠把疾病傳染給別人的那些傳染 者組成的，用者組成的，用I(t)表示表示t時(shí)刻第一類人的人數(shù)。時(shí)刻第一類人的人數(shù)。 第二類是由并非傳染者但能夠得病而成為傳染第二類是由并非傳染者但能夠得病而成為傳染 者的那些人組成的，用者的那些人組成的，用S(t)表示表示t時(shí)刻第二類人的時(shí)刻第二類人的 人數(shù)。人數(shù)。 50 第三類是包括患病死去的人、病愈后具有長期第三類是包括患病死去的人、病愈后具有長期 免疫力的人以及在病愈并出現(xiàn)長期免疫力以前被隔免疫力的人以及在病愈并出現(xiàn)長期免疫力以前被隔 離起來的人，用離起來的人，用R(t)表示表示t時(shí)刻第三類人的人數(shù)。時(shí)刻第三類人的人數(shù)。 假設(shè)疾病傳染服從下列法則：假設(shè)疾病傳染服從下列法則： (1)在所考慮的時(shí)期內(nèi)人口總數(shù)保持在固定水在所考慮的時(shí)期內(nèi)人口總數(shù)保持在固定水 平平N，即不考慮出生及其它原因引起的死亡以及遷，即不考慮出生及其它原因引起的死亡以及遷 入、遷出情況。入、遷出情況。 (2)易受傳染者人數(shù)易受傳染者人數(shù)S(t)的變化率正比于第一類人的變化率正比于第一類人 的