電容元件和電感元件

1、電容元件和電感元件 電容元件電感元件 公式q(t)=cuc(t)伏安關系式功率p=uc(t)ic(t)p=uL(t)iL(t)貯能W(t)=cuc2(t)/2W(t)=LiL2(t)/2 電容電壓不能躍變電感電流不能躍變共同點：都是記憶元件，慣性元件。零輸入響應當外加激勵為零,僅有動態(tài)元件初始儲能所產生的電流和電壓,稱為動態(tài)電路的零輸入響應.RC電路的零輸入響應右圖(a) 所示的電路中，在t0后，電路中無電源作用，電路的響應均是由電容的初始儲能而產生，故屬于零輸入響應。換路后由圖（b）可知，根據KVL有-uR+uc=0,而uR=iR, 代入上式可得 上式是一階常系數齊次微分方程， 其通解形式為

2、uc=Aept （t0）式中A為待定的積分常數，可由初始條件確定。p為式對應的特征方程的根。將式代入式可得特征方程為RCp+1=0從而解出特征根為 則通解將初始條件uc(0+)=R0IS代入,求出積分常數A為 (t0)令=RC，它是具有時間的量綱 ，即 故稱為時間常數, 這樣兩式可分別寫為 (t0) (t0)由于為負，故uc和 i 均按指數規(guī)律衰減，它們的最大值分別為初始值 uc(0+)=R0IS 及 當t時，uc和 i 衰減到零。畫出uc及i的波形如圖所示。RL電路的零輸入響應一階RL電路如圖(a)所示，t=0- 時開關S閉合，電路已達穩(wěn)態(tài)，電感L相當于短路，流過L的電流為I0。即 iL(0

3、-)=I0，故電感儲存了磁能。在t=0時開關S打開，所以在t0時，電感L儲存的磁能將通過電阻R放電，在電路中產生電流和電壓，如圖 (b)所示。由于t0后，放電回路中的電流及電壓均是由電感L的初始儲能產生的，所以為零輸入響應。換路后由圖（b）可知，根據KVL有uR+uL=0,將代入上式可得上式是一階常系數齊次微分方程，其通解形式為iL=Ae pt (t0)將2式代入1式，得特征方程為 LP+R=0 故特征根為 則通解 (t0)若令 ，是RL電路的時間常數，仍具有時間量綱，上式可寫為 (t0) 將初始條件代入,求出積分常數A為 iL (0+)=A=I0 這樣得到滿足初始條件的微分方程的通解為 (t

4、0) 電阻及電感的電壓分別是 (t0) (t0)分別作出 iL 、uR 和、uL的波形如圖(a)、(b)所示。 由圖可知，iL、uR及uL的初始值（亦是最大值）分別為iL(0+)=I0、 uR(0+)=RI0、uL(0+)= -RI0，它們都是從各自的初始值開始，然后按同一指數規(guī)律逐漸衰減到零。衰減的快慢取決于時間常數，這與一階RC零輸入電路情況相同。從以上求得的RC和RL電路零輸入響應進一步分析可知，對于任意時間常數為非零有限值的一階電路，不僅電容電壓、電感電流，而且所有電壓、電流的零輸入響應，都是從它的初始值按指數規(guī)律衰減到零的。且同一電路中，所有的電壓、電流的時間常數相同。若用f (t)

5、表示零輸入響應，用f (0+)表示其初始值，則零輸入響應可用以下通式表示為 (t0) 應該注意的是: RC電路與RL電路的時間常數是不同的，前者=RC，后者=L/R。例 如圖 (a)所示電路，t=0- 時電路已處于穩(wěn)態(tài)，t=0時開關S打開。求t0時的電壓uc、uR和電流ic。解 由于在t=0- 時電路已處于穩(wěn)態(tài)，在直流電源作用下，電容相當于開路。所以由換路定律，得 作出t=0+等效電路如圖(b)所示，電容用4V電壓源代替，由圖(b)可知 換路后從電容兩端看進去的等效電阻如圖 (C)所示，為： 時間常數為計算零輸入響應，得 V （t0 ）V （t0 ） A （t0 ） 也可以由 求出 i C =

6、 -0.8e -t A （t0 ）零狀態(tài)響應在激勵作用之前，電路的初始儲能為零僅由激勵引起的響應叫零狀態(tài)響應。RC電路的零狀態(tài)響應 如a圖所示一階RC電路，電容先未充電，t=0時開關閉合，電路與激勵US 接通，試確定k閉合后電路中的響應。 在k閉合瞬間，電容電壓不會躍變，由換路定律uc(0+)=uc(0-)= 0，t=0+ 時電容相當于短路，uR(0+)=US，故電容開始充電。隨著時間的推移，uC將逐漸升高，uR則逐漸降低，iR（等于ic） 逐漸減小。當t時，電路達到穩(wěn)態(tài)，這時電容相當于開路，充電電流 ic()=0，uR ()=0，uc=()=Us。由kVL uR+uc=US 而uR=RiR=

7、RiC=，代入上式可得到以uc為變量的微分方程 （t0 ） 1式 初始條件為 uC(0+)=01式為一階常系數非齊次微分方程，其解由兩部分組成：一部分是它相應的齊次微分方程的通解uCh，也稱為齊次解；另一部分是該非齊次微分方程的特解uCP，即 uc=uch + ucp 1式相應的齊次微分方程與RC零輸入響應式完全相同, 因此其通解應為式中A為積分常數。特解ucp取決于激勵函數，當激勵為常量時特解也為一常量，可設ucp=k，代入1式得ucp=k=Us1式的解（完全解）為 將初始條件uc(0+)=0代入上式，得出積分常數A=-US，故由于穩(wěn)態(tài)值 uc ()=US，故上式可寫成 （t0 ） 2式由2

8、式可知，當t=0時，uc(0)=0，當 t=時，uc() =US（1-e1）=63.2%US，即在零狀態(tài)響應中，電容電壓上升到穩(wěn)態(tài)值uc=()=US的63.2%所需的時間是。而當t=45時，u c上升到其穩(wěn)態(tài)值US的98.17%99.3%，一般認為充電過程即告結束。電路中其他響應分別為 根據uc、ic、iR及uR的表達式，畫出它們的波形如(b)、(c)所示，其變化規(guī)律與前面敘述的物理過程一致。 RL電路的零狀態(tài)響應 對于圖(a)所示的一階RL電路，US為直流電壓源，t0時，電感L中的電流為零。t=0時開關s閉合，電路與激勵US接通，在s閉合瞬間，電感電流不會躍變，即有iL(0+)= iL(0-

9、)=0, 選擇iL為首先求解的變量，由KVL有：uL+uR=US 將 , uR=RiL , 代入上式，可得初始條件為 iL(0+)=0 1式也是一階常系數非齊次微分方程，其解同樣由齊次方程的通解iLh 和非齊次方程的特解iLP兩部分組成，即 iL=iLh+iLp其齊次方程的通解也應為 式中時間常數=L/R，與電路激勵無關。非齊次方程的特解與激勵的形式有關，由于激勵為直流電壓源，故特解iLP為常量，令iLP =K，代入1式得iLP=K=Us/R 因此完全解為 代入t=0時的初始條件iL(0+)=0得A=-Us/R 于是由于iL的穩(wěn)態(tài)值，故上式可寫成： （t0 ）電路中的其他響應分別為 （t0 ）

10、（t0 ） （t0 ）它們的波形如圖 (b)、(c)所示。其物理過程是，S閉合后，iL(即 iR)從初始值零逐漸上升，uL從初始值 uL(0+)=US 逐漸下降，而uR從 uR(0+)=0逐漸上升，當 t=，電路達到穩(wěn)態(tài)，這時L相當于短路，iL()=USR，uL()= 0，uR()= US。從波形圖上可以直觀地看出各響應的變化規(guī)律。全響應 由電路的初始狀態(tài)和外加激勵共同作用而產生的響應，叫全響應。如圖所示，設 uC =uC(0-)=U0，S在t=0時閉合，顯然電路中的響應屬于全響應。對t0的電路，以uC為求解變量可列出描述電路的微分方程為 （1） 1式與描述零狀態(tài)電路的微分方程式比較，僅只有初

11、始條件不同，因此，其解答必具有類似的形式，即 代入初始條件 uC (0+)=U0 得K= U0 - US從而得到通過對1式分析可知，當US=0時，即為RC零輸入電路的微分方程。而當U0=0時，即為RC零狀態(tài)電路的微分方程。這一結果表明，零輸入響應和零狀態(tài)響應都是全響應的一種特殊情況。上式的全響應公式可以有以下兩種分解方式。1、全響應分解為暫態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應之和。如2式中第一項為齊次微分方程的通解，是按指數規(guī)律衰減的，稱暫態(tài)響應或稱自由分量（固有分量）。2式中第二項US = uC()受輸入的制約，它是非齊次方程的特解，其解的形式一般與輸入信號形式相同，稱穩(wěn)態(tài)響應或強制分量。這樣有全響應=暫態(tài)響應

12、+穩(wěn)態(tài)響應2、全響應分解為零輸入響應和零狀態(tài)響應之和。將2式改寫后可得： 3式等號右邊第一項為零輸入響應，第二項為零狀態(tài)響應。因為電路的激勵有兩種，一是外加的輸入信號，一是儲能元件的初始儲能，根據線性電路的疊加性，電路的響應是兩種激勵各自所產生響應的疊加，即全響應=零輸入響應+零狀態(tài)響應 求解一階電路三要素法如用 f (t) 表示電路的響應，f (0+)表示該電壓或電流的初始值，f () 表示響應的穩(wěn)定值，表示電路的時間常數，則電路的響應可表示為：上式稱為一階電路在直流電源作用下求解電壓、電流響應的三要素公式。式中f (0+)、 f () 和稱為三要素，把按三要素公式求解響應的方法稱為三要素法

13、。由于零輸入響應和零狀態(tài)響應是全響應的特殊情況，因此，三要素公式適用于求一階電路的任一種響應，具有普遍適用性。用三要素法求解直流電源作用下一階電路的響應，其求解步驟如下：一、 確定初始值 f (0+)初始值f(0+)是指任一響應在換路后瞬間t=0+ 時的數值，與本章前面所講的初始值的確定方法是一樣的。(1) 先作t=0- 電路。確定換路前電路的狀態(tài) uC(0-)或iL(0-), 這個狀態(tài)即為t0階段的穩(wěn)定狀態(tài)，因此，此時電路中電容C視為開路，電感L用短路線代替。(2) 作t=0+ 電路。這是利用剛換路后一瞬間的電路確定各變量的初始值。若uC(0+)=uC(0-)=U0，iL(0+)=iL(0-

14、)=I0，在此電路中C用電壓源U0代替，L用電流源I0代替。若uC(0+)=uC(0-)=0 或 iL(0+)=iL(0-)=0，則C用短路線代替，L視為開路?？捎孟聢D說明。作t=0+ 電路后，即可按一般電阻性電路來求解各變量的u (0+)、i (0+)。二、確定穩(wěn)態(tài)值f()作t=電路。瞬態(tài)過程結束后，電路進入了新的穩(wěn)態(tài)，用此時的電路確定各變量穩(wěn)態(tài)值u()、i()。在此電路中，電容C視為開路，電感L用短路線代替，可按一般電阻性電路來求各變量的穩(wěn)態(tài)值。三、求時間常數RC電路中，=RC；RL電路中，=L/R；其中，R是將電路中所有獨立源置零后，從C或L兩端看進去的等效電阻，(即戴維南等效源中的R0)。例5 圖(a)所示電路中，t=0時將S合上，求t0時的 i1、iL、uL。 解 (1)先求iL(0-)。作t=0 電路，見圖(b)，電感用短路線代替，則 i(0-)=12/(3+6)=4/3 A (2)求 f(0+)。作t=0電路，見圖(C), i(0+)=i(0-)=4/3 A圖中電感用4/3A的電流源代替，流向與圖(b)中iL(0-)一致。因為題意要求i、i、u，所以相應地需先求i1(0)和uL(0)。椐KVL，圖(C)左邊回路中有3 i (0+) +6