2021屆山東高考數(shù)學(xué)教學(xué)案：第11章　第講　直接證明與間接證明含解析

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2021屆山東高考數(shù)學(xué)一輪創(chuàng)新教學(xué)案：第11章第4講直接證明與間接證明含解析第4講直接證明與間接證明考綱解讀1.掌握直接證明的兩種基本方法:分析法與綜合法(重點(diǎn)）2能夠用反證法證明問題，掌握反證法的步驟：反設(shè);歸謬；結(jié)論(難點(diǎn))3綜合法、反證法證明問題是高考中的一個熱點(diǎn)，主要在知識交匯處命題，如數(shù)列、不等式等考向預(yù)測 從近三年高考情況來看，本講是高考中的一個熱點(diǎn)預(yù)測2021年將會以不等式、立體幾何、數(shù)列等知識為載體，考查分析法、綜合法與反證法的靈活應(yīng)用，題型為解答題中的一問，試題難度中等對應(yīng)學(xué)生用書p203 1。直接證明內(nèi)容綜合法分析法定義利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、

2、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到最后把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等)實(shí)質(zhì)由因?qū)Ч麍?zhí)果索因框圖表示文字語言因?yàn)樗曰蛴傻靡C只需證即證2.間接證明間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法，反證法是一種常用的間接證明方法(1）反證法的定義:假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾,因此說明假設(shè)錯誤，從而證明原命題成立的證明方法（2）用反證法證明的一般步驟:反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立;歸謬根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，直到推出矛盾為止;結(jié)論斷言假設(shè)不

3、成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立1。概念辨析(1）綜合法是直接證明，分析法是間接證明()(2）分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件(）(3)反證法是指將結(jié)論和條件同時否定，推出矛盾()(4)在解決問題時，常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程()答案(1）（2)(3）（4)2。小題熱身（1）要證明2,可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是(）a.綜合法 b分析法 c類比法 d反證法答案b解析用分析法證明如下：要證明2，需證（)2(2)2，即證10220，即證5，即證2125,顯然成立,故原結(jié)論成立用綜合法證明：因?yàn)椋?2(2）2102202（5)0，故c

4、，且abc0，求證： a”索的因應(yīng)是（）a.ab0 bac0c。（ab)(ac）0 d(ab）(ac）0,即證2a(ab）(ac）0,即證（ab）（ac)0，故索的因應(yīng)是(ab）(ac）0.2.(2019天水一中模擬）(1）已知實(shí)數(shù)a，b滿足a|2，|b|2，證明：2|ab|4ab。(2）已知a0,證明： a2。證明(1）要證2|ab|4ab|，只需要4a28ab4b2168aba2b2，只需證4a24b20,即(4a2）(4b2）0，因?yàn)閨a|2，|b|2，所以a20成立所以要證明的不等式成立(2）要證 a2，只需證 2a，只需證a244a222a2,即證2a。只需證4a22a22，即證a2

5、2,由基本不等式知此式顯然成立,所以原不等式成立。1。分析法證明問題的策略(1)逆向思考是用分析法證題的主要思想(2）證明較復(fù)雜的問題時，可以采用兩頭湊的辦法,即通過分析法找出某個與結(jié)論等價(jià)(或充分）的中間結(jié)論，然后通過綜合法證明這個中間結(jié)論，從而使原命題得證.2.分析法的適用范圍及證題關(guān)鍵（1)適用范圍已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接證明過程中所需要用的知識不太明確、具體含有根號、絕對值的等式或不等式，從正面不易推導(dǎo)見舉例說明2。（2）證題關(guān)鍵：保證分析過程的每一步都是可逆的已知abc的三個內(nèi)角a，b，c成等差數(shù)列，a，b，c的對邊分別為a，b，c。求證：。證明要證，即證3,也就是1，

6、只需證c(bc)a（ab)（ab）(bc),需證c2a2acb2,又abc三內(nèi)角a，b，c成等差數(shù)列，故b60,由余弦定理，得b2c2a22accos60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立。題型 二綜合法的應(yīng)用設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,且（3m)sn2manm3(nn)其中m為常數(shù)，且m3.（1)求證：an是等比數(shù)列;(2）若數(shù)列an的公比qf（m）,數(shù)列bn滿足b1a1，bnf（bn1)（nn，n2)，求證：為等差數(shù)列證明(1）由(3m）sn2manm3，得(3m）sn12man1m3。兩式相減,得（3m)an12man,m3，an是等比數(shù)列(2）（3m)sn2ma

7、nm3，（3m）a12ma1m3，a11.又b1a11,qf(m)，當(dāng)nn且n2時,bnf(bn1）bnbn13bn3bn1.是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列。1.利用綜合法證題的策略用綜合法證題是從已知條件出發(fā)，逐步推向結(jié)論，綜合法的適用范圍:(1)定義明確的問題（2)已知條件明確,并且容易通過分析和應(yīng)用條件逐步逼近結(jié)論的題型.2.綜合法證明問題的常見類型及方法（1)與不等式有關(guān)的證明:充分利用函數(shù)、方程、不等式間的關(guān)系，同時注意函數(shù)單調(diào)性、最值的應(yīng)用,尤其注意導(dǎo)數(shù)思想的應(yīng)用（2）與數(shù)列有關(guān)的證明：充分利用等差、等比數(shù)列的定義通項(xiàng)及前n項(xiàng)和公式證明見舉例說明求證拋物線y22px(p0)，以過焦點(diǎn)

8、的弦為直徑的圓必與x相切證明如圖，作aa，bb垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)a，b，取ab的中點(diǎn)m，作mm垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)m。要證明以ab為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，只需證|mm|ab|，由拋物線的定義得aaaf|，bb|bf|，所以ab|aa|bb，所以只需證mm|（aa|bb|），由梯形的中位線定理知上式是成立的所以，以過焦點(diǎn)的弦為直徑的圓必與x相切.題型 三反證法的應(yīng)用1.(2019衡水模擬)利用反證法證明：若0，則xy0，假設(shè)為()a.x，y都不為0 bx，y不都為0c。x，y都不為0，且xy dx，y至少有一個為0答案b解析xy0的否定為x0或y0，即x，y不都為0。2.設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列（1)推導(dǎo)

9、an的前n項(xiàng)和公式；（2)設(shè)q1，證明:數(shù)列an1不是等比數(shù)列解（1)設(shè)an的前n項(xiàng)和為sn，則當(dāng)q1時，sna1a1a1na1；當(dāng)q1時，sna1a1qa1q2a1qn1，qsna1qa1q2a1qn,得，（1q）sna1a1qn，sn,sn(2）證明：假設(shè)an1是等比數(shù)列，則對任意的kn,(ak11)2(ak1)(ak21），a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，2a1qka1qk1a1qk1,a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10,q1,這與已知矛盾假設(shè)不成立，故an1不是等比數(shù)列.1。反證法證明問題的三個步驟-2。反證法

10、的適用范圍（1）否定性命題；（2)命題的結(jié)論中出現(xiàn)“至少“至多“唯一等詞語的；（3)當(dāng)命題成立非常明顯，而要直接證明所用的理論太少，且不容易說明，而其逆否命題又是非常容易證明的；(4）要討論的情況很復(fù)雜，而反面情況很少1已知xr，ax2，b2x，cx2x1,試證明a,b,c至少有一個不小于1。證明假設(shè)a，b，c均小于1，即a1,b1,c1,則有abc0，所以ex1，00,即f（x)0，所以f(x）在(0，）上是增函數(shù)他使用的證明方法是（）a綜合法 b分析法c反證法 d以上都不是答案a解析由證明過程可知，他使用的方法是綜合法3分析法又稱執(zhí)果索因，已知x0,用分析法證明1時，索的因是()ax22

11、bx24 cx20 dx21答案c解析11x1x0x20.4設(shè)x0，p2x2x，q(sinxcosx)2，則（)apq bp0,所以p2；又(sinxcosx）21sin2x，而sin2x1，所以q2。于是pq.故選a。5在等比數(shù)列an中，a1a2a3是數(shù)列an遞增的（)a充分不必要條件 b必要不充分條件c充要條件 d既不充分也不必要條件答案c解析當(dāng)a1a2a3時，設(shè)公比為q，由a1a1q0,則1q1,此時，顯然數(shù)列an是遞增數(shù)列，若a1q2，即0q1,此時,數(shù)列an也是遞增數(shù)列，反之，當(dāng)數(shù)列an是遞增數(shù)列時，顯然a1a20,則f(x1）f(x2）的值（)a恒為負(fù)值 b恒等于零c恒為正值 d無

12、法確定正負(fù)答案a解析由f(x)是定義在r上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時，f(x)單調(diào)遞減，可知f（x)是r上的單調(diào)遞減函數(shù),由x1x20，可知x1x2，f（x1）f（x2)f(x2)，則f（x1)f(x2）bc，則使恒成立的最大的正整數(shù)k為（）a2 b3 c4 d5答案c解析abc,ab0，bc0,ac0，且acabbc.又2224,當(dāng)且僅當(dāng)abbc時等號成立k,k4，故k的最大整數(shù)為4。故選c.8用反證法證明“若x210，則x1或x1”時，應(yīng)假設(shè)_答案x1且x1解析根據(jù)反證法的定義,應(yīng)首先假設(shè)命題的結(jié)論不成立,對本題而言即x1且x1.9.2與的大小關(guān)系是_答案2解析假設(shè)2，由分析法可得,要證2,只需

13、證2，即證132134，即2。因?yàn)?240，所以2成立10已知點(diǎn)an(n,an)為函數(shù)y圖象上的點(diǎn),bn(n，bn)為函數(shù)yx圖象上的點(diǎn)，其中nn*，設(shè)cnanbn,則cn與cn1的大小關(guān)系為_答案cn1cn解析點(diǎn)an(n，an)為函數(shù)y圖象上的點(diǎn)，bn(n，bn）為函數(shù)yx圖象上的點(diǎn)，因此an，bnn,cnn,因此數(shù)列cn為遞減數(shù)列，所以cn10，且yx1，則，的值滿足（)a.,都大于1b.，中至少有一個小于1c.,都小于1d以上說法都不正確答案b解析x0，y0，且yx1，xy1，y1,x1y，1。x1，31，可小于1，可等于1,也可大于1，故，中至少有一個小于1.故選b。2(2019涼山州

14、模擬)十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出猜想:“當(dāng)整數(shù)n2 時，關(guān)于x,y，z的方程xnynzn沒有正整數(shù)解”經(jīng)歷三百多年，于二十世紀(jì)九十年中期由英國數(shù)學(xué)家安德魯 懷爾斯證明了費(fèi)馬猜想，使它終成費(fèi)馬大定理，則下面說法正確的是()a存在至少一組正整數(shù)組（x,y,z)使方程x3y3z3有解b關(guān)于x,y的方程x3y31有正有理數(shù)解c關(guān)于x，y的方程x3y31沒有正有理數(shù)解d當(dāng)整數(shù)n3時,關(guān)于x，y的方程xnynzn沒有正實(shí)數(shù)解答案c解析由于b，c兩個命題是對立的,故正確選項(xiàng)是這兩個中的一個假設(shè)關(guān)于x，y 的方程x3y31有正有理數(shù)解，故x，y可寫成整數(shù)比值的形式,不妨設(shè)x，y，其中m,n為互質(zhì)的正整數(shù),a，

15、b為互質(zhì)的正整數(shù)代入方程得1，兩邊乘以a3n3得(am)3(bn)3(an）3,由于am,bn，an都是正整數(shù)，這與費(fèi)馬大定理矛盾,故假設(shè)不成立，所以關(guān)于x，y的方程x3y31沒有正有理數(shù)解3用反證法證明命題“若實(shí)數(shù)a,b，c,d滿足abcd1，acbd1，則a，b，c，d中至少有一個是非負(fù)數(shù)時，第一步要假設(shè)結(jié)論的否定成立，那么結(jié)論的否定是：_。答案a,b,c，d全是負(fù)數(shù)解析“至少有一個”的否定是“一個也沒有”，故結(jié)論的否定是“a，b，c，d中沒有一個是非負(fù)數(shù),即a，b,c，d全是負(fù)數(shù)4在abc中,角a，b，c的對邊分別為a，b，c,已知sinasinbsinbsinccos2b1.(1）求證

16、：a，b，c成等差數(shù)列；(2）若c，求證:5a3b.證明（1)由已知得sinasinbsinbsinc2sin2b，因?yàn)閟inb0,所以sinasinc2sinb，由正弦定理，有ac2b，即a，b，c成等差數(shù)列(2）由c,c2ba及余弦定理得(2ba）2a2b2ab，即有5ab3b20，又b0，所以5a3b.5已知數(shù)列an各項(xiàng)均為正數(shù),且不是常數(shù)列（1)若數(shù)列an是等差數(shù)列,求證:2；（2)若數(shù)列an是等比數(shù)列,求證：1an，1an1，1an2不可能成等比數(shù)列證明（1)要證2，只要證a1a324a2,因?yàn)閿?shù)列an是等差數(shù)列，所以a1a32a2，只要證 a2，只要證a1a3a2,因?yàn)閿?shù)列an各項(xiàng)均為正數(shù)，且不是常數(shù)列，所以a1a3a2