2021屆山東高考數(shù)學(xué)教學(xué)案：第2章　第10講　導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算含解析

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精2021屆山東高考數(shù)學(xué)一輪創(chuàng)新教學(xué)案：第2章第10講導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算含解析第10講導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算考綱解讀1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景,能通過(guò)函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義2能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)yc(c為常數(shù)），yx,yx2，yx3，y，y的導(dǎo)數(shù)3能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)考向預(yù)測(cè)從近三年高考情況來(lái)看,本講是高考中的必考內(nèi)容預(yù)測(cè)2021年高考將會(huì)涉及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義以客觀題的形式考查導(dǎo)數(shù)的定義，求曲線的切線方程導(dǎo)數(shù)的幾何意義也可能會(huì)作為解答題中的一問(wèn)進(jìn)行考查，試題難度屬中低檔對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)p0421。變化率與導(dǎo)數(shù)(1)平均

2、變化率概念對(duì)于函數(shù)yf（x)，叫做函數(shù)yf（x）從x1到x2的平均變化率幾何意義函數(shù)yf（x)圖象上兩點(diǎn)（x1，f（x1),（x2,f（x2）)連線的斜率物理意義若函數(shù)yf(x）表示變速運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，則就是該質(zhì)點(diǎn)在x1，x2上的平均速度(2）導(dǎo)數(shù)定義一般地，函數(shù)yf（x)在xx0處的瞬時(shí)變化率 ,稱(chēng)它為函數(shù)yf(x）在xx0處的導(dǎo)數(shù),記為f(x0)或yxx0，即f(x0) 幾何意義函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xx0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)就是函數(shù)圖象在該點(diǎn)處切線的斜率曲線yf(x)在點(diǎn)（x0,f(x0）)處的切線方程是yf(x0）f(x0)（xx0）續(xù)表物理意義函數(shù)yf(x)表示變速運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方

3、程，則函數(shù)在xx0處的導(dǎo)數(shù)就是質(zhì)點(diǎn)在xx0時(shí)的瞬時(shí)速度2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算常用導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)特例或推廣常數(shù)函數(shù)c0（c為常數(shù)）-冪函數(shù)(x)x1（q*）三角函數(shù)(sinx)cosx，(cosx)sinx偶(奇）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇（偶)函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是周期函數(shù)指數(shù)函數(shù)（ax）axln_a（a0，且a1)(ex)ex對(duì)數(shù)函數(shù)（logax）(x0，a0,且a1)(ln x)(x0）四則運(yùn)算法則加減f(x）g(x)f_(x）g（x）-乘法f（x)g（x)f（x)g(x）f（x）g(x）cf（x)cf (x）除法1。概念辨析（1）f（x0）與（f（x0)表示的意義相同（)(2)與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直

4、線一定是曲線的切線（）（3）曲線yf(x)在點(diǎn)p（x0，y0)處的切線與過(guò)點(diǎn)p(x0，y0)的切線相同()（4）函數(shù)f（x）sin的導(dǎo)數(shù)f(x)cos。（）答案(1)（2）（3）(4)2。小題熱身(1）下列函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)為（)(3x)3xlog3e；（log2x）;（x2ex）2xex；x.a.1 b2 c3 d4答案a解析中，（3x)3xln 3，錯(cuò)誤；中，(log2x),正確;中，（x2ex)（x2）exx2（ex）（2xx2)ex，錯(cuò)誤;中，,錯(cuò)誤，因此求導(dǎo)運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)為1.（2）有一機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程為st2（t是時(shí)間,s是位移)，則該機(jī)器人在時(shí)刻t2時(shí)的瞬時(shí)速度為（)a. b

5、。 c. d.答案d解析s2t，當(dāng)t2時(shí)，s22，所以該機(jī)器人在t2時(shí)的瞬時(shí)速度為.(3)函數(shù)f（x）x34x5的圖象在x1處的切線在x軸上的截距為(）a。10 b5 c1 d答案d解析f(x)x34x5，f(x)3x24,f(1）7，即切線的斜率為7，又f(1）10，故切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,10)，切線的方程為y107（x1)，當(dāng)y0時(shí)，x，切線在x軸上的截距為.(4）已知直線yx1是函數(shù)f(x）ex圖象的切線，則實(shí)數(shù)a_。答案e2解析設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0)，則f(x0）ex01，ex0a，又ex0x01,x02,ae2.對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)p043題型 一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 1.(2019華中師范大學(xué)第一附中模

6、擬)設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)，且f(x）x3x2x,則f(1)_.答案0解析因?yàn)閒(x）x3x2x，所以f(x)3x22x1。所以f3221.解得f1。所以f(x）3x22x1，所以f(1)0。2。求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）y（2x21）(3x1）；（2)yxsincos；(3)yexcosx;(4)y。解（1）因?yàn)閥（2x21)(3x1）6x32x23x1，所以y18x24x3。（2)因?yàn)閥xsincos，所以yxsinx,所以y1cosx。（3）y（excosx）（ex）cosxex（cosx)excosxexsinxex（cosxsinx)（4)y。1.謹(jǐn)記一個(gè)原則先化簡(jiǎn)解析式，使之

7、變成能用求導(dǎo)公式求導(dǎo)的函數(shù)的和、差、積、商，再求導(dǎo)。2.熟記求導(dǎo)函數(shù)的五種形式及解法(1）連乘積形式:先展開(kāi)化為多項(xiàng)式的形式，再求導(dǎo)，如舉例說(shuō)明2(1)(2）分式形式:觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,先化為整式函數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)；（3）對(duì)數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導(dǎo)；（4)根式形式:先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo);（5)三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式,再求導(dǎo)如舉例說(shuō)明2（2）.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yln x；（2)y；（3)yx2cosx.解(1）y(ln x).（2）y。（3)y（x2）cosxx2(cosx)2xcosxx2(sinx)2xcosxx2sinx.

8、題型 二導(dǎo)數(shù)的幾何意義角度1求切線方程1。過(guò)點(diǎn)（1，2）且與yx33x相切的直線方程為（)a。y2或9x4y10b.y2c.9x4y10d.y0或9x4y10答案a解析y3x23，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，x3x0），此時(shí)在切點(diǎn)處的斜率為yxx03x3，所以切線方程為y(x3x0）(3x3)(xx0),將點(diǎn)(1，2）代入切線方程，整理得2x3x10，即(x01）2(2x01）0，解得x01或x0，分別代入切線方程可得y2或9x4y10。2。(2019全國(guó)卷)曲線y3（x2x）ex在點(diǎn)(0，0)處的切線方程為_(kāi)答案y3x解析y3(2x1)ex3（x2x）exex（3x29x3)，斜率ke033,切線方

9、程為y3x.角度2求切點(diǎn)坐標(biāo)3.（2019廣州模擬）設(shè)函數(shù)f（x）x3ax2，若曲線yf（x)在點(diǎn)p(x0，f(x0）)處的切線方程為xy0，則點(diǎn)p的坐標(biāo)為(）a.（0,0) b（1,1）c。（1，1） d（1，1)或（1，1)答案d解析f（x)(x3ax2）3x22ax,由題意得f(x0）1,x0f(x0)0，所以由知x00，故可化為1xax00，所以ax01x代入得3x2(1x)1，即x1，解得x01。當(dāng)x01時(shí)，a2,f（x0）xax1；當(dāng)x01時(shí),a2，f（x0）xax1，所以點(diǎn)p的坐標(biāo)為(1，1）或（1,1）.角度3求參數(shù)的值（范圍)4。（2019全國(guó)卷)已知曲線yaexxln x在

10、點(diǎn)（1，ae）處的切線方程為y2xb，則（)a.ae，b1 bae，b1c.ae1，b1 dae1，b1答案d解析yaexln x1，kyx1ae1，切線方程為yae(ae1）(x1)，即y(ae1）x1。又切線方程為y2xb，即ae1，b1。故選d。5。若曲線yf（x)ln xax2（a為常數(shù))不存在斜率為負(fù)數(shù)的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()a. b。c.(0，） d0,）答案d解析f（x）2ax（x0)，根據(jù)題意有f(x）0(x0)恒成立，所以2ax210（x0）恒成立，即2a(x0）恒成立，所以a0，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為0，）.求切線方程問(wèn)題的兩種類(lèi)型及方法（1)求“在”曲線yf（x）上

11、一點(diǎn)p（x0，y0)處的切線方程：點(diǎn)p（x0，y0）為切點(diǎn)，切線斜率為kf(x0），有唯一的一條切線，對(duì)應(yīng)的切線方程為yy0f(x0)(xx0）如舉例說(shuō)明2。（2）求“過(guò)”曲線yf（x）上一點(diǎn)p(x0，y0）的切線方程：切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)p,點(diǎn)p可能是切點(diǎn)，也可能不是切點(diǎn),這樣的直線可能有多條如舉例說(shuō)明1,解決問(wèn)題的關(guān)鍵是設(shè)切點(diǎn)，利用“待定切點(diǎn)法”，即：設(shè)切點(diǎn)a（x1,y1)，則以a為切點(diǎn)的切線方程為yy1f（x1)(xx1)；根據(jù)題意知點(diǎn)p(x0，y0)在切線上，點(diǎn)a(x1,y1)在曲線yf（x）上，得到方程組求出切點(diǎn)a(x1，y1）,代入方程yy1f(x1）(xx1），化簡(jiǎn)即得所求的切線方程1.若

12、直線yax是曲線y2ln x1的一條切線,則實(shí)數(shù)a（）a。e b2e ce d2e答案b解析依題意，設(shè)直線yax與曲線y2ln x1的切線的橫坐標(biāo)為x0，則有yxx0,于是有解得x0，則a2e，故選b.2.(2019長(zhǎng)沙模擬)已知f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí),f（x），則曲線f（x）在x1處的切線方程是()a。2xy10 bx2y20c。2xy10 dx2y20答案a解析當(dāng)x0時(shí),x0，所以f(x).因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以f（x)(x0)所以f（x），所以曲線f（x)在x1處的切線的斜率kf（1）2.切點(diǎn)為（1，1),所以曲線f(x）在x1處的切線方程為y12(x1)，即2xy10.3。已知

13、直線l為曲線y在點(diǎn)(1，a）處的切線，當(dāng)直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為時(shí)，實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)答案0或解析因?yàn)閥，所以切線l的斜率為1a，則切線l的方程為ya(1a)(x1)，令x0得y2a1。令y0得x。所以直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為|2a1,即2a1|2|a1|。則4a24a11a或4a24a1a1,由方程解得a0或a,方程無(wú)解所以a0或a。對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)p232 組基礎(chǔ)關(guān)1.設(shè)f(x）x(2019ln x)，若f（x0）2020，則x0等于(）a。e2 b1 cln 2 de答案b解析f（x)2019ln x12020ln x,由f(x0）2020，得2020ln x02020,則ln

14、x00,解得x01。2.（2020寧夏中衛(wèi)月考）函數(shù)yf（x)的圖象在點(diǎn)p（5，f（5）)處的切線方程是yx8，則f(5）f（5)()a.1 b2 c3 d4答案b解析由條件知f(5)1,又在點(diǎn)p處的切線方程為yf（5）(x5）,yx5f（5)，即yx8，5f（5）8，f（5)3,f(5)f(5）2.3。若點(diǎn)p是曲線yx2ln x上任意一點(diǎn),則點(diǎn)p到直線yx2的最小距離為(）a.1 b。 c。 d.答案b解析設(shè)p（x0,y0)，當(dāng)點(diǎn)p處的切線與直線yx2平行時(shí)，點(diǎn)p到直線yx2的距離最小又y2x，則yxx02x01,解得x01或x0（舍去)，則y01,即p(1,1），所以最小距離為。4已知函數(shù)

15、f(x)的圖象如圖，f（x)是f（x)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是()a。0f（2)f（3)f（3)f(2)b。0f（3)f(2）f(3）f（2)c。0f(3）f（3)f(2）f(2)d.0f（3)f(2)0且a1，f（x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),若f（1）3，則a的值為_(kāi)答案3解析因?yàn)閒（x)axln x，所以f（x)ln aaxln x.又f（1）3，所以a3.10。已知yf(x）是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線ykx2是曲線yf（x)在x3處的切線，令g（x)xf(x）,g(x）是g（x)的導(dǎo)函數(shù),則g（3）_.答案0解析由題圖可知曲線yf(x)在x3處切線的斜率等于，f（3）。g（x)xf(x)

16、，g(x）f(x)xf（x），g(3）f（3）3f（3)，又由題圖可知f（3）1,g（3）130.組能力關(guān)1.已知函數(shù)f(x)x3sinx，其導(dǎo)函數(shù)為f（x），則f（2020)f（2020)f（2020)f（2020）的值為（)a。4040 b4 c2 d0答案b解析函數(shù)f（x）x3sinxf(x)f(x)4，因?yàn)閒（x）3x2cosx為偶函數(shù)，所以f（x)f（x）0,所以f（2020)f（2020)f（2020）f(2020）4。2.（2019蚌埠模擬）已知函數(shù)f（x)x，若曲線yf（x）存在兩條過(guò)點(diǎn)（1,0)的切線,則a的取值范圍是（）a.（，1)(2，) b（，1）(2，)c.(,0)（

17、2,) d(，2)(0，)答案d解析f(x)1，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程為yx0（xx0)，又切線過(guò)點(diǎn)(1，0），可得x0(1x0)，整理得2x2ax0a0，曲線存在兩條切線，故方程有兩個(gè)不等實(shí)根，即滿(mǎn)足4a28（a)0，解得a0或a2.3.設(shè)函數(shù)f（x）ax，曲線yf（x)在點(diǎn)（2，f（2)處的切線方程為7x4y120。(1）求f（x）的解析式；(2）證明：曲線yf(x）上任一點(diǎn)處的切線與直線x0和直線yx所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值解（1)方程7x4y120可化為yx3。當(dāng)x2時(shí)，y.又f(x)a，于是解得故f(x)x。（2）設(shè)p（x0，y0)為曲線上任一點(diǎn)，由y1,知曲線在點(diǎn)p

18、（x0，y0）處的切線方程為yy0(xx0），即y（xx0）令x0，得y，從而得切線與直線x0的交點(diǎn)坐標(biāo)為.令yx，得yx2x0，從而得切線與直線yx的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,2x0)所以點(diǎn)p(x0，y0)處的切線與直線x0,yx所圍成的三角形的面積為s|2x0|6.故曲線yf（x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x0，yx所圍成的三角形的面積為定值,且此定值為6.4。已知函數(shù)f（x）x3x16.（1）求曲線yf（x)在點(diǎn)（2,6）處的切線方程；(2）直線l為曲線yf（x）的切線，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)解（1)可判定點(diǎn)(2,6)在曲線yf(x）上因?yàn)閒（x)(x3x16)3x21,所以f（x)在點(diǎn)（2，6）處的切線的斜率為f（2)13。所以切線