熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理習(xí)題

1、第六章作業(yè)6.9題由提示知，在晶體中形出現(xiàn)個(gè)Schottky缺陷時(shí)，在正常位置中出現(xiàn)個(gè)缺位，這樣由于缺位位置的不同，可能得微觀狀態(tài)數(shù)為所以其熵S為假設(shè)形成缺陷后固體的體積不變，溫度為T時(shí)平衡態(tài)的自由能為極小要求由自由能F及熵S的公式，可得或表示為當(dāng)時(shí)，上式可以近似為6.13 題：以任意速度在單位時(shí)間內(nèi)打到小孔處單位面積上的總分子數(shù)為（見課本136頁(yè)），而在小孔處速率為的分子數(shù)為，由（6.85）式，單位時(shí)間內(nèi)碰到法線方向沿Z軸的單位面積器壁上，速度在范圍內(nèi)的分子數(shù)為在球坐標(biāo)上式可表示為：對(duì)和積分，從0到，從0到，則有單位時(shí)間內(nèi)碰到法線方向沿Z軸的單位面積器壁上，速率介于之間的分子數(shù)為所以，一個(gè)分

2、子以速率由小孔中射出的概率為（利用（6，82）式）：故射出的分子速中，分子的平均速率同理，6.16 題：轉(zhuǎn)子的配分函數(shù)Z為（只考慮轉(zhuǎn)動(dòng)，則有），所以有內(nèi)能U為從而推得， 6.18 題：由所給能譜知其相面積是設(shè)：推得所以可見與E成正比。 第七章作業(yè)7.1 題：(1) 解釋Boltzmann統(tǒng)計(jì)、Fermi統(tǒng)計(jì)和Bose統(tǒng)計(jì),特別是它們之間的差別。它同全同粒子不可分辨性有什么聯(lián)系？（2）為什么在高溫極限下，上述三種類型的統(tǒng)計(jì)之間的差別變得不重要？多高的溫度才行？（3）對(duì)于散布在二維平面上的中子集合，溫度在什么范圍內(nèi)必需用量子統(tǒng)計(jì)？設(shè)單位面積上的中子數(shù)。（1）Boltzmann統(tǒng)計(jì)：對(duì)定域系，粒子是

3、可分辨的，每一個(gè)單粒子量子態(tài)上所能容納的粒子數(shù)不受限制。能級(jí)上的平均粒子數(shù)是其中，為第能級(jí)的簡(jiǎn)并度，F(xiàn)ermi統(tǒng)計(jì)：對(duì)于費(fèi)米子組成的非定域體系，粒子不可分辨，滿足泡利不相容原理，能級(jí)上的平均粒子數(shù)為Bose統(tǒng)計(jì)：對(duì)于玻色子組成的非定域體系，粒子不可分辨，每一個(gè)單粒子量子態(tài)上所能容納的粒子數(shù)不受限制，能級(jí)上的平均粒子數(shù)為由上可見：Fermi分布和Bose分布均用于由不可分辨粒子（即全同粒子）組成的系統(tǒng)，Bose分布中每個(gè)量子態(tài)能容納的粒子數(shù)不受限制，其統(tǒng)計(jì)相關(guān)性是占據(jù)某個(gè)量子態(tài)的粒子數(shù)愈多，就促使其他粒子占據(jù)該量子態(tài)；Fermi分布認(rèn)為系統(tǒng)的粒子存在相關(guān)性，放在一個(gè)量子態(tài)上只能有一個(gè)粒子，遵從P

4、auli不相容原理。 Boltzmann分布中認(rèn)為粒子是可區(qū)別的，N個(gè)粒子放在可區(qū)別的個(gè)格子中，認(rèn)為調(diào)換不同格子里的粒子產(chǎn)生不同的微觀狀態(tài)。當(dāng)粒子是全同時(shí)，不同格子間調(diào)換粒子、不產(chǎn)生新的微觀狀態(tài)。（2）由（1）的結(jié)果可知，當(dāng)費(fèi)米統(tǒng)計(jì)和玻色統(tǒng)計(jì)過渡到玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)，三者之間的差別消失。由為粒子數(shù)密度。可知，當(dāng)時(shí)，上述條件滿足。所以，在高溫低密度極限下，三種統(tǒng)計(jì)的差別變得不重要。在物理上可做如下理解：當(dāng)時(shí)，顯然有，任一量子態(tài)上的平均粒子數(shù)遠(yuǎn)小于1。這是因?yàn)樵诟邷氐兔芏认?，可供粒子占?jù)的微觀狀態(tài)數(shù)目很大，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過粒子總數(shù)。這樣，二個(gè)粒子同處在一個(gè)量子態(tài)的概率是很小的，泡利不相容原理自動(dòng)滿足，使費(fèi)米子和

5、玻色子統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的差別消失。（3）用量子統(tǒng)計(jì)處理二維體系的必要性，體現(xiàn)為兩點(diǎn)：一個(gè)是粒子的不可分辨及泡利不相容原理，這要求不是遠(yuǎn)小于1（簡(jiǎn)并）；另一個(gè)是能級(jí)量子化，這要求能級(jí)間隔不是遠(yuǎn)小于kT(能級(jí)離散)。對(duì)于二維中子體系，由，得L為體系尺度。取，則所以一般溫度下能級(jí)都是準(zhǔn)連續(xù)的，因此用量子統(tǒng)計(jì)的必要性主要由強(qiáng)簡(jiǎn)并條件決定。將各量數(shù)值代入，計(jì)算得時(shí)，必須用量子統(tǒng)計(jì)。7. 11題解： 總粒子數(shù) （Fermi分布取“+”，Bose分布“-”）其中g(shù)為粒子可能具有自旋而引入的簡(jiǎn)并度。內(nèi)能 令，上式可改寫為 （）兩式被積函數(shù)的分母可以表示為 在小的情形下，是一個(gè)小量，可將展開，只取頭兩項(xiàng)得，若只保留第一

6、項(xiàng)相當(dāng)于近似為Boltzmann分布，弱簡(jiǎn)并情形，我們保留兩項(xiàng)，從而可得 基于上兩式化簡(jiǎn)可得： 由于很小，上式第二項(xiàng)中的用零級(jí)近似，即用Boltzmann分布的結(jié)果 ，代入可得 結(jié)合7.9題的結(jié)論 從而有式中對(duì)于Bose氣體取“-”，對(duì)于Fermi氣體取“+”命題得證。第八章作業(yè)8.8解：粒子數(shù)漲落則玻色分布：，則得到費(fèi)米分布：，則得么8.12題 解： 由 體系平均粒子數(shù) 平均能量 按巨正則分布，體系的熵表達(dá)式為 從而 8.13題證明： 對(duì)Debye晶體，在低溫即時(shí)，由（7.22）式有 由第139頁(yè)(6.98)式得：由麥?zhǔn)详P(guān)系（2.33-4）式有在低溫即，為常數(shù)所以對(duì)Debye晶體，在低溫即時(shí)，與溫度成