強大導(dǎo)數(shù)知識點各種題型歸納方法總結(jié)

1、導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識一導(dǎo)數(shù)的定義：2.利用定義求導(dǎo)數(shù)的步驟：求函數(shù)的增量：；求平均變化率：；取極限得導(dǎo)數(shù)：（下面內(nèi)容必記）二、導(dǎo)數(shù)的運算：（1）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及常用導(dǎo)數(shù)運算公式：； ； 法則1：；(口訣：和與差的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的和與差).法則2：(口訣：前導(dǎo)后不導(dǎo)相乘，后導(dǎo)前不導(dǎo)相乘，中間是正號)法則3：(口訣：分母平方要記牢，上導(dǎo)下不導(dǎo)相乘，下導(dǎo)上不導(dǎo)相乘，中間是負(fù)號)（2）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法：換元，令，則分別求導(dǎo)再相乘回代題型一、導(dǎo)數(shù)定義的理解題型二：導(dǎo)數(shù)運算1、已知，則 2、若，則 3.=ax3+3x2+2 ，則a=（）三導(dǎo)數(shù)的物理意義1.求瞬時速度：物體在時刻時的瞬時速度就是物體運動規(guī)

2、律在 時的導(dǎo)數(shù)，即有。2.vs/(t)表示即時速度。a=v/(t) 表示加速度。四導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在點處切線的斜率是。于是相應(yīng)的切線方程是：。題型三用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線注意兩種情況：（1）曲線在點處切線：性質(zhì)：。相應(yīng)的切線方程是：（2）曲線過點處切線：先設(shè)切點，切點為 ,則斜率k=，切點 在曲線上，切點在切線上，切點坐標(biāo)代入方程得關(guān)于a,b的方程組，解方程組來確定切點，最后求斜率k=，確定切線方程。例題在曲線y=x3+3x2+6x-10的切線中，求斜率最小的切線方程；解析：（1）當(dāng)x0=-1時，k有最小值3，此時p的坐標(biāo)為（-1，-14）故所求切線的方程為3x-y-1

3、1=0五函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，（1）該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)； （2）該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；注意：當(dāng)在某個區(qū)間內(nèi)個別點處為零，在其余點處為正（或負(fù)）時，在這個區(qū)間上仍是遞增（或遞減）的。（3）在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增在該區(qū)間內(nèi)恒成立；（4）在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減在該區(qū)間內(nèi)恒成立；題型一、利用導(dǎo)數(shù)證明（或判斷）函數(shù)f(x)在某一區(qū)間上單調(diào)性：步驟： （1）求導(dǎo)數(shù) (2)判斷導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的符號(3)下結(jié)論該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)； 該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；題型二、利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟為：（1）分析 的定義域； （2）求導(dǎo)數(shù) （3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)

4、的部分為減區(qū)間題型三、利用單調(diào)性求參數(shù)的取值（轉(zhuǎn)化為恒成立問題）思路一.（1）在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增在該區(qū)間內(nèi)恒成立；（2）在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減在該區(qū)間內(nèi)恒成立；思路二.先求出函數(shù)在定義域上的單調(diào)增或減區(qū)間，則已知中限定的單調(diào)增或減區(qū)間是定義域上的單調(diào)增或減區(qū)間的子集。注意：若函數(shù)f（x）在（a，c）上為減函數(shù)，在（c，b）上為增函數(shù)，則x=c兩側(cè)使函數(shù)（x）變號，即x=c為函數(shù)的一個極值點，所以例題若函數(shù)，若則( ) a. a b c b. c b a c. c a b d. b a 0,ex-a0,exa,xlna.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(lna,+).（2）f（x）在r內(nèi)單調(diào)遞增，0在r上恒

5、成立.ex-a0，即aex在r上恒成立.a（ex）min，又ex0，a0.（3） 由題意知，x=0為f(x)的極小值點.=0,即e0-a=0,a=1.例2. 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線y=f(x）在點x=1處的切線為l:3x-y+1=0，若x=時，y=f(x）有極值.（1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在-3，1上的最大值和最小值.解 （1）由f(x)=x3+ax2+bx+c,得=3x2+2ax+b,當(dāng)x=1時，切線l的斜率為3，可得2a+b=0 當(dāng)x=時，y=f(x)有極值，則=0,可得4a+3b+4=0 由解得a=2,b=-4.由于切點的橫坐標(biāo)為x=1,f(1)

6、=4.1+a+b+c=4.c=5.（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,=3x2+4x-4,令=0,得x=-2,x=.當(dāng)x變化時，y,y的取值及變化如下表：x-3(-3,-2)-21 y+0-0+y8單調(diào)遞增13單調(diào)遞減單調(diào)遞增4 y=f（x）在-3，1上的最大值為13，最小值為例3.當(dāng) ，證明不等式.證明：，則，當(dāng)時。在內(nèi)是增函數(shù)，即，又，當(dāng)時，在內(nèi)是減函數(shù)，即，因此，當(dāng)時，不等式成立.點評：由題意構(gòu)造出兩個函數(shù)，.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或求最值，從而導(dǎo)出是解決本題的關(guān)鍵.七定積分求值1定積分的概念 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則2.用定義求定積分的一般方法是：分割：等分區(qū)間；近似代

7、替：取點；求和：；取極限：3.曲邊圖形面積：；在軸上方的面積取正，下方的面積取負(fù) 變速運動路程； 變力做功 4定積分的性質(zhì)性質(zhì)1 （其中k是不為0的常數(shù)） 性質(zhì)2 性質(zhì)3 （定積分對積分區(qū)間的可加性）5.定理 函數(shù)是上的一個原函數(shù)，即則導(dǎo)數(shù)各種題型方法總結(jié)（一）關(guān)于二次函數(shù)的不等式恒成立的主要解法：1、分離變量；2變更主元；3根分布；4判別式法5、二次函數(shù)區(qū)間最值求法：（1）對稱軸（重視單調(diào)區(qū)間）與定義域的關(guān)系 （2）端點處和頂點是最值所在（二）分析每種題型的本質(zhì)，你會發(fā)現(xiàn)大部分都在解決“不等式恒成立問題”以及“充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想”，創(chuàng)建不等關(guān)系求出取值范圍。（三）同學(xué)們在看例題時，請注意尋

8、找關(guān)鍵的等價變形和回歸的基礎(chǔ)一、基礎(chǔ)題型：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值；不等式恒成立；1、此類問題提倡按以下三個步驟進行解決：第一步：令得到兩個根；第二步：畫兩圖或列表；第三步：由圖表可知；其中不等式恒成立問題的實質(zhì)是函數(shù)的最值問題，2、常見處理方法有三種：第一種：分離變量求最值-用分離變量時要特別注意是否需分類討論（0,=0,0）第二種：變更主元（即關(guān)于某字母的一次函數(shù)）-（已知誰的范圍就把誰作為主元）；例1：設(shè)函數(shù)在區(qū)間d上的導(dǎo)數(shù)為，在區(qū)間d上的導(dǎo)數(shù)為，若在區(qū)間d上，恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間d上為“凸函數(shù)”，已知實數(shù)m是常數(shù)，（1）若在區(qū)間上為“凸函數(shù)”，求m的取值范圍；（2）若對滿足的任何一

9、個實數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)”，求的最大值.解:由函數(shù) 得 （1） 在區(qū)間上為“凸函數(shù)”，則 在區(qū)間0,3上恒成立 解法一：從二次函數(shù)的區(qū)間最值入手：等價于 解法二：分離變量法： 當(dāng)時, 恒成立, 當(dāng)時, 恒成立等價于的最大值（）恒成立，而（）是增函數(shù)，則(2)當(dāng)時在區(qū)間上都為“凸函數(shù)” 則等價于當(dāng)時 恒成立 變更主元法 再等價于在恒成立（視為關(guān)于m的一次函數(shù)最值問題）-22 例2：設(shè)函數(shù) （）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值； （）若對任意的不等式恒成立，求a的取值范圍. （二次函數(shù)區(qū)間最值的例子）解：（） 3aaa3a令得的單調(diào)遞增區(qū)間為（a,3a）令得的單調(diào)遞減區(qū)間為（，a）和（3a，

10、+）當(dāng)x=a時，極小值= 當(dāng)x=3a時，極大值=b. （）由|a，得：對任意的恒成立則等價于這個二次函數(shù) 的對稱軸 （放縮法）即定義域在對稱軸的右邊，這個二次函數(shù)的最值問題：單調(diào)增函數(shù)的最值問題。上是增函數(shù). （9分）于是，對任意，不等式恒成立，等價于 又點評：重視二次函數(shù)區(qū)間最值求法：對稱軸（重視單調(diào)區(qū)間）與定義域的關(guān)系第三種：構(gòu)造函數(shù)求最值題型特征：恒成立恒成立；從而轉(zhuǎn)化為第一、二種題型例3；已知函數(shù)圖象上一點處的切線斜率為，（）求的值；（）當(dāng)時，求的值域；（）當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)t的取值范圍。解：（）， 解得 （）由（）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減又 的值域是（）令

11、思路1：要使恒成立，只需，即分離變量思路2：二次函數(shù)區(qū)間最值二、已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍解法1：轉(zhuǎn)化為在給定區(qū)間上恒成立， 回歸基礎(chǔ)題型解法2：利用子區(qū)間（即子集思想）；首先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間，然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集； 做題時一定要看清楚“在（m,n）上是減函數(shù)”與“函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（a,b）”，要弄清楚兩句話的區(qū)別：前者是后者的子集例4：已知，函數(shù)（）如果函數(shù)是偶函數(shù)，求的極大值和極小值；（）如果函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍解：. （） 是偶函數(shù)， . 此時， 令，解得：. 列表如下：(,2)2(2,2)2(2,+)+00+遞增極大值遞減極小值遞增

12、可知：的極大值為， 的極小值為. （）函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，在給定區(qū)間r上恒成立判別式法則 解得：. 綜上，的取值范圍是. 例5、已知函數(shù) （i）求的單調(diào)區(qū)間； （ii）若在0，1上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。子集思想（i） 1、 當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”號，單調(diào)遞增。 2、 a-1-1單調(diào)增區(qū)間： 單調(diào)增區(qū)間：（ii）當(dāng) 則是上述增區(qū)間的子集：1、時，單調(diào)遞增 符合題意2、， 綜上，a的取值范圍是0，1。 三、根的個數(shù)問題提型一 函數(shù)f(x)與g(x)（或與x軸）的交點=即方程根的個數(shù)問題解題步驟第一步：畫出兩個圖像即“穿線圖”（即解導(dǎo)數(shù)不等式）和“趨勢圖”即三次函數(shù)的大致趨勢“是先增后減再增”還是“

13、先減后增再減”；第二步：由趨勢圖結(jié)合交點個數(shù)或根的個數(shù)寫不等式（組）；主要看極大值和極小值與0的關(guān)系；第三步：解不等式（組）即可；例6、已知函數(shù)，且在區(qū)間上為增函數(shù)（1） 求實數(shù)的取值范圍；（2） 若函數(shù)與的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍解：（1）由題意 在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上恒成立（分離變量法）即恒成立，又，故的取值范圍為 （2）設(shè)，令得或由（1）知，當(dāng)時，在r上遞增，顯然不合題意當(dāng)時，隨的變化情況如下表：極大值極小值由于，欲使與的圖象有三個不同的交點，即方程有三個不同的實根，故需，即 ，解得綜上，所求的取值范圍為根的個數(shù)知道，部分根可求或已知。例7、已知函數(shù)（1）若是的極值點且

14、的圖像過原點，求的極值；（2）若，在（1）的條件下，是否存在實數(shù)，使得函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒有含的三個不同交點？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；否則說明理由。高1考1資1源2網(wǎng)解：（1）的圖像過原點，則 ，又是的極值點，則-1 （2）設(shè)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒存在含的三個不同交點，等價于有含的三個根，即：整理得：即：恒有含的三個不等實根（計算難點來了：）有含的根，則必可分解為，故用添項配湊法因式分解， 十字相乘法分解：恒有含的三個不等實根等價于有兩個不等于-1的不等實根。題型二：切線的條數(shù)問題=以切點為未知數(shù)的方程的根的個數(shù)例7、已知函數(shù)在點處取得極小值4，使其導(dǎo)數(shù)的的取值范圍為，求：（1）的解

15、析式；（2）若過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍（1）由題意得：在上；在上；在上因此在處取得極小值，由聯(lián)立得：， （2）設(shè)切點q，過令，求得：，方程有三個根。需：故：；因此所求實數(shù)的范圍為：題型三：已知在給定區(qū)間上的極值點個數(shù)則有導(dǎo)函數(shù)=0的根的個數(shù)解法：根分布或判別式法例8、解：函數(shù)的定義域為（）當(dāng)m4時，f (x) x3x210x，x27x10，令 ， 解得或.令 ， 解得可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和（5，），單調(diào)遞減區(qū)間為（）x2(m3)xm6, 1要使函數(shù)yf (x)在（1，）有兩個極值點,x2(m3)xm6=0的根在（1，）根分布問題：則， 解得m3例9、已知函數(shù)，（1）

16、求的單調(diào)區(qū)間；（2）令x4f（x）（xr）有且僅有3個極值點，求a的取值范圍解：（1） 當(dāng)時，令解得，令解得，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.當(dāng)時，同理可得的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2）有且僅有3個極值點=0有3個根，則或，方程有兩個非零實根，所以或而當(dāng)或時可證函數(shù)有且僅有3個極值點其它例題：（一）最值問題與主元變更法的例子.已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上的最大值是5，最小值是11.（）求函數(shù)的解析式；（）若時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（） 令=0,得 因為，所以可得下表：0+0-極大 因此必為最大值,因此， ， 即， （），等價于， 令，則問題就是在上恒成立時，求實數(shù)的取值范圍，為此只需，

17、即， 解得，所以所求實數(shù)的取值范圍是0，1.（二）根分布與線性規(guī)劃例子例：已知函數(shù)() 若函數(shù)在時有極值且在函數(shù)圖象上的點處的切線與直線平行, 求的解析式；() 當(dāng)在取得極大值且在取得極小值時, 設(shè)點所在平面區(qū)域為s, 經(jīng)過原點的直線l將s分為面積比為1:3的兩部分, 求直線l的方程.解： (). 由, 函數(shù)在時有極值 , 又 在處的切線與直線平行, 故 . 7分 () 解法一: 由 及在取得極大值且在取得極小值, 即 令, 則 故點所在平面區(qū)域s為如圖abc, 易得, , , , , 同時de為abc的中位線, 所求一條直線l的方程為: 另一種情況設(shè)不垂直于x軸的直線l也將s分為面積比為1:

18、3的兩部分, 設(shè)直線l方程為,它與ac,bc分別交于f、g, 則 , 由 得點f的橫坐標(biāo)為: 由 得點g的橫坐標(biāo)為: 即 解得: 或 (舍去) 故這時直線方程為: 綜上,所求直線方程為: 或 .12分() 解法二: 由 及在取得極大值且在取得極小值, 即 令, 則 故點所在平面區(qū)域s為如圖abc, 易得, , , , , 同時de為abc的中位線, 所求一條直線l的方程為: 另一種情況由于直線bo方程為: , 設(shè)直線bo與ac交于h , 由 得直線l與ac交點為: , , 所求直線方程為: 或 （三）根的個數(shù)問題例 已知函數(shù)的圖象如圖所示。（）求的值；（）若函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，求函數(shù)f ( x )的解析式；（）若方程有三個不同的根，求實數(shù)a的取值范圍。解：由題知：（）由圖可知函數(shù)f ( x )的圖像過點( 0 , 3 )，且= 0得 （）依題意= 3 且f ( 2 ) = 5解得a = 1 , b = 6 所以f ( x ) = x3 6x2 + 9x + 3（）依題意f ( x ) = ax3 + bx2 ( 3a + 2b )x + 3 ( a0 )= 3ax2 + 2bx 3a 2b 由= 0b = 9a 若方程f ( x ) = 8a有三個不同的根，當(dāng)且僅當(dāng) 滿足f ( 5 )8af ( 1 ) 由 得 25a + 38a7a + 3a3