自動(dòng)控制 第6章-4 根軌跡校正法

1、1 6.4 根軌跡法串聯(lián)校正根軌跡法串聯(lián)校正 6.4.1 根軌跡法設(shè)計(jì)的基本思想根軌跡法設(shè)計(jì)的基本思想 6.4.2 超前校正裝置的根軌跡設(shè)計(jì)超前校正裝置的根軌跡設(shè)計(jì) 6.4.3 滯后校正裝置的根軌跡設(shè)計(jì)滯后校正裝置的根軌跡設(shè)計(jì) 2 6.4.1 根軌跡法設(shè)計(jì)的基本思想根軌跡法設(shè)計(jì)的基本思想 性能指標(biāo)以時(shí)域量形式給出時(shí)，適合于采用根 軌跡法設(shè)計(jì)串聯(lián)校正裝置。給出的時(shí)域指標(biāo)如 n % s t 阻尼比 自然振蕩頻率 最大超調(diào)量 調(diào)整時(shí)間 設(shè)計(jì)時(shí)一般根據(jù)性能指標(biāo)要求確定閉環(huán)主導(dǎo)極 點(diǎn)，設(shè)計(jì)校正裝置，使校正后的根軌跡通過(guò)期望的 閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn) 3 1.性能指標(biāo)的轉(zhuǎn)換 根據(jù)性能指標(biāo)要求確定閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。 1)

2、如果給定的期望指標(biāo)是阻尼比和自然振蕩頻率， 則閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)為 2 2, 1 1 nn js j n 2 1 n n 1 s 對(duì)于閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)s1,有 arccos n s 1 4 %100% 2 1 e n s t 5 . 3 2）如果給定超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間，則有 n 2 2, 1 1 nn js 閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)為 5 2.串聯(lián)超前校正網(wǎng)絡(luò)的影響 j c p c z s p z 超前網(wǎng)絡(luò)傳函為 c c cc ps zs KsG )( 補(bǔ)充一個(gè)零點(diǎn)和一個(gè)極點(diǎn) 0 cc zp極點(diǎn)總在零點(diǎn)左側(cè) 超前網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生的相角0 pzc c 不宜太大，否則難以實(shí)現(xiàn) 超前網(wǎng)絡(luò)會(huì)使系統(tǒng)根軌跡向左移動(dòng) 6 3.串聯(lián)滯后校正

3、網(wǎng)絡(luò)的影響 滯后網(wǎng)絡(luò)傳函為 c c cc ps zs KsG )( 補(bǔ)充一個(gè)零點(diǎn)和一個(gè)極點(diǎn) j c p c z s z p 0 cc pz零點(diǎn)總在極點(diǎn)左側(cè) 滯后網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生的相角0 pzc 5 c 一般 靠近原點(diǎn)，構(gòu)成偶極子 cc pz , 偶極子對(duì)s處的根軌跡影響很小 7 6.4.2 超前校正裝置的根軌跡設(shè)計(jì)超前校正裝置的根軌跡設(shè)計(jì) 超前網(wǎng)絡(luò)與系統(tǒng)串聯(lián)后，使根軌跡向左移動(dòng)， 以增大系統(tǒng)的阻尼比 和自然振蕩頻率 n 設(shè)計(jì)步驟： 1）做出原系統(tǒng)的根軌跡，分析性能，確定校正形式 2）根據(jù)性能指標(biāo)要求，確定期望閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)位置s1 3）若原系統(tǒng)根軌跡不通過(guò)s1，說(shuō)明單靠調(diào)整放大系數(shù) 無(wú)法獲得期望的閉環(huán)主

4、導(dǎo)極點(diǎn)，必須引入超前校正。 8 4）計(jì)算超前網(wǎng)絡(luò)需要提供的相角 c )(sGc )( 0 sG原系統(tǒng)的傳函 超前網(wǎng)絡(luò)的傳函 串聯(lián)校正后的系統(tǒng)開環(huán)傳函為 )()()( 0 sGsGsG c 由根軌跡的相角條件有 ) 12()()( 101 ksGsGc )() 12()( 101 sGksGc c 9 5）根據(jù)計(jì)算的 ，用圖解法確定超前網(wǎng)絡(luò)的零極點(diǎn) 位置，得網(wǎng)絡(luò)的傳函 c 6）繪制校正后的根軌跡，由幅值條件確定校正后的 根軌跡增益 g K (圖解法在例題中詳細(xì)介紹) 10 【例6.4.1】某典型二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 %20% sts2 )2( 4 )( 0 ss sG 要求性能指標(biāo)： 試用根

5、軌跡法確定串聯(lián)超前校正裝置 解：1）繪制原系統(tǒng)的根軌跡 11 原系統(tǒng)的根軌跡 例6.4.1 超前校正 Real Axis Imaginary Axis -3-2.5-2-1.5-1-0.500.5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Exam6_4_1.m % 例6.4.1 超前校正 num=1; den=1,2,0; rlocus(num,den); title(例6.4.1 超前校正) axis(-3,0.5,-5,5); 程序繪制根軌跡 使用函數(shù)rlocus 12 2）根據(jù)性能指標(biāo)計(jì)算閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn) 456. 0%20%5 . 0取 %100% 2 1 e 5 . 32

6、5 . 3 n n s st 4 n 取 期望主導(dǎo)極點(diǎn)A、B位置 jjjs nn 46. 323221 2 2, 1 60 13 -3-2.5-2-1.5-1-0.500.5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0.5 0.5 4 4 例6.4.1 超前校正 Real Axis Imaginary Axis 4 n Exam6_4_10.m 5 . 0 虛線圓周代表 直線代表 直線與圓周交點(diǎn)即 為期望閉環(huán)極點(diǎn) A B O 原根軌跡不可能通過(guò)期望閉環(huán)極點(diǎn)，必 須采用超前校正 14 % 例6.4.1 超前校正 clc; clear; num=1; den=1,2,0; rlocu

7、s(num,den); sgrid(0.5,4) title(例6.4.1 超前校正) axis(-3,0.5,-5,5); -3-2.5-2-1.5-1-0.500.5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0.5 0.5 4 4 例6.4.1 超前校正 Real Axis Imaginary Axis Sgrid（Z,Wn）繪制等阻尼比線和等Wn線，Z 和Wn 是一維數(shù)組 15 3）計(jì)算 c 30)() 12( 10 sGk c 322 1 js 150)2()()( 1110 sssG )2( 4 )( 0 ss sG 取點(diǎn) 所以 16 4）用圖解法確定校正網(wǎng)絡(luò)的零極點(diǎn)

8、在未提出穩(wěn)態(tài)誤差要求時(shí)，一般方法是： DCE A A O c p c z (1)過(guò)極點(diǎn)A作水平線A， 連AO，作 的角平分 線AC OAA (2)在AC兩側(cè)分別做張角為 的兩條直線AD和AE c 5 . 0 3)AD和AE與實(shí)軸的交點(diǎn)為 校正網(wǎng)絡(luò)的極點(diǎn)和零點(diǎn) 9 . 2 4 . 5 c c z p 17 9 . 2 4 . 5 c c z p 4 . 5 9 . 2 )( s s ps zs sG c c c 超前校正網(wǎng)絡(luò)為 5）串聯(lián)校正網(wǎng)絡(luò)后的系統(tǒng)開環(huán)傳函為 )4 . 5)(2( )9 . 2( )()()( 0 sss sK sGsGsG g c )2( 4 )( 0 ss sG 原傳函中

9、的增益4融入Kg,由幅值條件求Kg 18 -3-2.5-2-1.5-1-0.500.5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0.5 0.5 4 4 例6.4.1 超前校正 Real Axis Imaginary Axis 校正前后的根軌跡 Exam6_4_11.m 校正后的根軌跡通過(guò)期望閉環(huán)極點(diǎn) % 例6.4.1 超前校正 clc; clear; num=1; den=1,2,0; sys1=tf(num,den); num=1,2.9; den=conv(1,2,0,1,5.4); sys2=tf(num,den); rlocus(sys1,sys2); sgrid(0.5

10、,4) title(例6.4.1 超前校正) axis(-3,0.5,-5,5); Conv用于兩個(gè)多項(xiàng)式相乘 Tf用于定義傳函系統(tǒng) 19 )4 . 5)(2( )9 . 2( )( sss sK sG g 322 1 js 6）計(jì)算Kg 8 .18 0325. 07916.18 )9 . 2( )4 . 5)(2( 1 111 j s sss K g 原系統(tǒng)增益4 0 g K 故校正裝置根軌跡增益為7 . 4 4 8 .18 0 g g gc K K K 4 . 5 9 . 2 7 . 4)( s s ps zs KsG c c cc 超前校正網(wǎng)絡(luò)為 20 )9 . 2(8 .18)4 .

11、5)(2( )9 . 2(8 .18 )(1 )( )( ssss s sG sG s 4)2( 4 )(1 )( )( 0 0 0 sssG sG s 7)時(shí)域響應(yīng)對(duì)比 校正前的閉環(huán)傳函 校正后的閉環(huán)傳函 )2( 4 )( 0 ss sG )4 . 5)(2( )9 . 2(8 .18 )( sss s sG 21 0123456 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 例6.4.1 單位階躍響應(yīng) Time (sec) Amplitude 校正前 校正后 Exam6_4_12.m clc; clear; num=4; den=1,2,4; sys1=tf(num,den);

12、%校正前 num2=18.8*1,2.9; den2=conv(1,2,0,1,5.4); den2=den2+0,0,num2; sys2=tf(num2,den2); step(sys1,sys2)% 階躍響應(yīng) legend(校正前,校正后) title(例6.4.1 單位階躍響應(yīng)) 校正后的系統(tǒng)響應(yīng)快 22 0123456 0 1 2 3 4 5 6 例6.4.1 單位斜坡輸入響應(yīng) Time (sec) Amplitude 校正前 校正后 Exam6_4_13.m clc; clear; num=4; den=1,2,4; sys1=tf(num,den); %校正前 num2=18.8

13、*1,2.9; den2=conv(1,2,0,1,5.4); den2=den2+0,0,num2; sys2=tf(num2,den2); t=0:0.1:6; u=t; lsim(sys1,sys2,u,t) % 斜坡輸入 legend(校正前,校正后) title(例6.4.1 單位斜坡輸入響應(yīng)) 校正后的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差小 23 作業(yè)6-3：?jiǎn)挝环答佅到y(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 )4( 80 )( 0 ss sG 要求性能指標(biāo)： 試用根軌跡法確定串聯(lián)超前校正裝置 10,707. 0 n 【可用手工計(jì)算，也可用Matlab輔助計(jì)算】 24 6.4.3 滯后校正裝置的根軌跡設(shè)計(jì)滯后校正裝置的根軌跡設(shè)計(jì)

14、 滯后校正引入一對(duì)靠近原點(diǎn)的開環(huán)負(fù)實(shí)數(shù)偶 極子，使根軌跡形狀基本不改變，但大幅提高系 統(tǒng)開環(huán)放大倍數(shù)，從而改善系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能 滯后校正主要用于系統(tǒng)根軌跡已通過(guò)期望的 閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，但不能滿足穩(wěn)態(tài)要求的場(chǎng)合 設(shè)計(jì)步驟： 1）繪制原系統(tǒng)的根軌跡，根據(jù)動(dòng)態(tài)性能要求確 定期望主導(dǎo)極點(diǎn)（A點(diǎn)） 2）用幅值條件求出A點(diǎn)的根軌跡增益K Kg g及其對(duì)應(yīng) 的開環(huán)放大倍數(shù)K K 25 3）根據(jù)靜態(tài)指標(biāo)要求，確定所需放大倍數(shù)D D 4）選擇滯后校正網(wǎng)絡(luò)的零點(diǎn)-z-zc c和極點(diǎn)-p-pc c,使 cc pDz 并要求-z-zc c和-p-pc c相對(duì)與A點(diǎn)是一對(duì)偶極子,靠近 原點(diǎn)，為易于實(shí)現(xiàn)，一般 3)()( cc

15、 zApA 5)畫出校正后的根軌跡，調(diào)整放大器增益，使閉 環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)位于期望位置 6）校驗(yàn)各項(xiàng)性能指標(biāo) 26 【例6.4.2】設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) )6)(4( )( 0 sss K sG g 開環(huán)放大系數(shù) 15K 要求串聯(lián)校正裝置后5 . 0,45. 0 n 試設(shè)計(jì)校正裝置 解：1）繪制原系統(tǒng)的根軌跡 5 . 0取 阻尼角 60cos 27 -7-6-5-4-3-2-101 -6 -4 -2 0 2 4 6 0.5 0.5 2.456 例6.4.2 滯后校正 Real Axis Imaginary Axis A B 1 . 22 . 1 2, 1 js 5 . 04 . 2 n 阻尼

16、比和自然振蕩頻率都滿足要求 Exam6_4_2.m % 例6.4.2 滯后校正 clc clear; num=1; den=conv(1,4,0,1,6); rlocus(num,den); sgrid(0.5,2.4,5,6) title(例6.4.2 滯后校正) axis(-7,1,-6,6); 28 2)計(jì)算A點(diǎn)處的Kg )6)(4( )( 0 sss K sG g 1 . 22 . 1 1 js 44)6)(4( 111 sssK g 相應(yīng)的開環(huán)傳函系數(shù) 83. 1 64 0 g K K 15K 開環(huán)傳函系數(shù)不滿足要求 3) 加入滯后校正，校正網(wǎng)絡(luò)的零極點(diǎn)之比為 2 . 8 83. 1

17、 15 0 K K p z D c c 取 10D 29 4) 考慮減小校正裝置零極點(diǎn)對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)的影響及校 正裝置的可實(shí)現(xiàn)性，取 05. 0,005. 0 cc zp 10 c c p z D 005. 0 05. 0 )( s s ps zs sG c c c 滯后校正網(wǎng)絡(luò)為 5)校正后的開環(huán)傳函為 )005. 0)(6)(4( )05. 0( )( ssss sK sG g 30 -7-6-5-4-3-2-101 -6 -4 -2 0 2 4 6 0.5 0.5 2.456 例6.4.2 滯后校正 Real Axis Imaginary Axis -0.12-0.1-0.08 -0.06

18、-0.04 -0.0200.02 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.5 0.5 例6.4.2 滯后校正 Real Axis Imaginary Axis 校正前后根軌跡 偶極子處放大 Exam6_4_20.m 31 % 例6.4.2 滯后校正 clc; clear; num=1; den=conv(1,4,0,1,6); sys1=tf(num,den); %原系統(tǒng) num=conv(num,1,0.05); den=conv(den,1,0.005); sys2=tf(num,den); rlocus(sys1,sys2); sgrid(0.5,2.4,5,6) t

19、itle(例6.4.2 滯后校正) axis(-7,1,-6,6); %校正網(wǎng)絡(luò)的相角 s1=-1.2+j*2.1; s=(s1+0.05)/(s1+0.005) faic=180*phase(s)/pi % 校正后在閉環(huán)極點(diǎn)處的Kg s=s1*(s1+4)*(s1+6)*(s1+0.005)/(s1+0.05) Kg=abs(s) 程序繪制校正前后系統(tǒng)的 根軌跡。 j是Matlab中的虛數(shù)符號(hào) phase求一個(gè)虛數(shù)的相角 abs求一個(gè)虛數(shù)的模 32 )005. 0)(6)(4( )05. 0( )( ssss sK sG g 005. 0 05. 0 )( s s sGc 6)滯后網(wǎng)絡(luò)在閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)處的相角為 1 . 2