金融工程復習寶典

1、單元一：金融工程概述無套利定價法案例假設種不支付紅利的股票目前的市價為10元，3 個月后該股票價格或為 11元或為9 元。假設現(xiàn)在的無風險連續(xù)復利年利率為10%，如何為一份 3 個月期協(xié)議價格為元的該股票歐式看漲期權定價？構建一個由一單位歐式看漲期權空頭和 單位標的股票多頭組成的組合。 為了使該組合 在期權到期時無風險， 必須滿足下式： 11 0.5 90.25該 組合 在 期權 到期時 價值 恒 等 于 2.25 9 ，所 以無 風 險組 合 的 現(xiàn)值 應為：0.1*0.252.25e 0.1*0.252.19元由于該組合中有一單位看漲期權空頭和單位股票多頭，而目前股票市價為 10 元，因此

2、 10* 0.25 f 2.19f 0.31 元，當該期權價格為元時，市場就不存在無風險套利機會，市場處于無套利 均衡。風險中性定價法案例 : 為了用風險中性定價法求案例的期權價格，假定在風險中性世界中，該股票上升0.1*0.25的概率為 P，下跌的概率為 1-P 。則根據(jù)風險中性定價原理， e 11P 9(1 P ) 10 P 0.6266由于該期權到期回報為元(股票上升時)和0(股票下跌時) ，再次運用風險中性定價原理，求出該期權的價值：0. 1 0 .25 f e 0.1 0.25 (0.5 0.6266 0 0.3734) 0.31元連續(xù)復利假設數(shù)額為 A的資產(chǎn)以利率 r 投資 n 年

3、。 每年計一次復利，投資終值為： A(1 r )如果每年計 m次復利，則終值為： A(1 rm )mnmr m mnrn當 m趨于無窮大時，就稱為連續(xù)復利，終值為：lim A(1)mn AernmA元現(xiàn)值的 n 年現(xiàn)值為 Ae rn 連續(xù)復利的年利率： r mln(1 rm )mr與之等價每年計 m次復利年利率： rm m(em 1)單元二：遠期與期貨1、遠期與期貨的比較交易場所；標準化程度；違約風險；合約雙方關系；價格確定方式；結(jié)算方式；結(jié)清方 式不同2、無收益資產(chǎn)、支付已知收益資產(chǎn)、支付已知收益率證券的遠期(或期貨)合約價值、價 格的計算(定價) 。遠期價值 f ： 遠期合約本身的市場合理

4、價值。. 一個交割價格為 10 元，交易數(shù)量為 100 單位、距離到期日還有 1 年的遠期合約， 如果標的資產(chǎn)當前的市場價格為 15 元，市場無風險連續(xù)復利年利率為 10%，則對多頭來說， 該遠期合約的價值為 (15 10 e 10% 1) 100 595 元，對于空頭來說，該遠期合約的價值 為 -595 元。遠期價格 F：使遠期合約價值為 0 的交割價格。. (15 F e 10% 1) 100 0 F= 元，當交割價格為元時，該遠期價值等于0。遠期價格與交割價格的差異的貼現(xiàn)決定了遠期價值。當無風險利率恒定且對所有到期日都相同時，交割日相同的遠期價格和期貨價格應相等。 當標的資產(chǎn)價格與利率呈

5、正相關時，期貨價格高于遠期價格。無收益資產(chǎn)遠期合約定價： (貼現(xiàn)債券)組合 A：一份遠期合約多頭 f 加上一筆數(shù)額為 Ke r(T t) 的現(xiàn)金。組合 B：一單位標的資產(chǎn) S。t 時刻： f Ke r (T t) S合約現(xiàn)值： f S Ke r (T t)無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨 - 遠期平價定理：由于遠期價格 F就是使遠期價值 f 為0的交割價格 K，即當 f=0 時， K=F。據(jù)此令上式 f=0， 則： F Ser (T t)假設 K Ser(T t) ，即交易對手報出的交割價格大于現(xiàn)貨的終值。在這種情況下，套利者可 以按無風險利率 r 借入 S 現(xiàn)金，期限為 T-t 。然后用 S購買一單位標的資

6、產(chǎn)，同時賣出一份 該資產(chǎn)的遠期合約， 交割價格為 K。在 T 時刻，套利者可將一單位標的資產(chǎn)交割換得K現(xiàn)金，并歸還借款本息 Ser(T t) ,從而實現(xiàn) K Ser(T t) 的無風險利潤。若 KSe. ，即交割價格小于現(xiàn)貨價格的終值。 套利者可以進行反向操作， 即賣空標的資產(chǎn)， 將所得收入以無風險利率 r 進行投資，期限為 T-t 。同時買進一份該標的資產(chǎn)的遠期合約， 交割價格為 K。在 T 時刻，套利者將收到投資本息 Ser(T t)，并以 K 現(xiàn)金購買一單位標的資 產(chǎn)，用于歸還賣空時借入的標的資產(chǎn)，從而實現(xiàn)Se.-K 的利潤。案例無收益資產(chǎn)遠期合約的價值：目前，6 個月期的無風險年利率為

7、 %。市場上正在交易一份標的證券為一年期貼現(xiàn)債券、剩余期限為 6 個月的遠期合約多頭，其交割價格為 970 元，該債券的現(xiàn)價為 960 元。請問：對該遠期合約的多頭和空頭來說，遠期價值分別是多少？S=960,K=970 ，r=%，T-t= ，該遠期合約多頭的遠期價值 f 為：f S Ke r(T t) 960 970 e 4.17% 0.5 10.02 元該遠期合約空頭的遠期價值為 -f= 元案例：無收益資產(chǎn)遠期合約的遠期價格目前， 3 個月期的無風險年利率為 %，市場上正在交易一個期限為3 個月的股票遠期合約，標的股票不支付紅利且當時市價為40元。那么根據(jù) F Ser(T t) ，這份遠期合

8、約的合理交割價格應為 F 40 e3.99% 0.25 40.40 元假設市場上該合約的交割價格為元， 則套利者可以賣空股票并將所得收入以無風險利率 進行投資，期末可以獲得無風險利潤元。反之，如果市場上遠期合約的交割價格大于元，如元，套利者可以借入 40 元買入股票 并以元的價格賣出遠期合約，期末也可以獲得無風險利潤元。遠期價格的期限結(jié)構F Fer (T t) r (T t)案例：無收益資產(chǎn)遠期合約的遠期價格期限結(jié)構目前，3 個月期與 6 個月期的無風險年利率分別為 %與%。某不支付紅利的股票 3個月遠 期合約的遠期價格為 20 元，該股票 6個月期的遠期價格應為多少？F Fer (T t )

9、 r(T t)支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)遠期合約的定價： (附息債券、 支付已知現(xiàn)金紅利的股票、 黃金白銀) 組合 A：一份遠期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke r (T t) 的現(xiàn)金。組合 B：一單位標的證券加上利率為無風險利率、期限為從當前時刻到現(xiàn)金收益派發(fā)日、本金為 I 的負債。f Ke r (T t) S If S I Ke r(T t )案例：支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)遠期合約的價值目前， 6 個月期與 1 年期的無風險年利率分別為 %和%。市場上一種 10 年期國債現(xiàn)貨價 格為 990 元，該證券一年期遠期合約的交割價格為 1001 元，該債券在 6 個月和 12 個月后都 將收到 60 元的利息，

10、且第二次付息在遠期合約交割之前，求該合約的價值。計算該債券已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值： I 60 e 4.17% 0.5 60 e 4.11% 1 116.35元( I 要 貼現(xiàn))計算該遠期合約多頭的價值為：f S I Ke r(T t) 990 116.35 1001 e 4.11% 1 87.04 元 該合約空頭的遠期價值為元支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨 - 遠期平價定理：F (S I)er(T t) 案例：支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的期貨價格：假設黃金現(xiàn)價為每盎司 733美元， 其存儲成本為每年每盎司 2美元，一年后支付， 美元 一年期無風險利率為 4%。則一年期黃金期貨的理論價格為F (S I)er(

11、T t) (733 I ) e4%1 式中， I 2 e 4% 1 1.92(I 要貼現(xiàn) ) 故， F (733 1.92) e4% 1 764.91 (美元 /盎司) 支付已知收益率資產(chǎn)遠期合約的定價： 組合 A:一份遠期合約多頭加上一筆數(shù)額為 Ke r(T t) 的現(xiàn)金。 組合 B: e q(T t) 單位證券并且所有收入都再投資于該證券，其中 q為該資產(chǎn)按連續(xù)復利計算 得已知收益率。f Ke r(T t) Se q(T t) f Se q(T t) Ke r(T t) 支付已知收益率資產(chǎn)的現(xiàn)貨 - 遠期評價公式： F Se(r q)(T t) 課后習題 1、假設一種無紅利支付的股票目前的

12、市價為20 元，無風險連續(xù)復利年利率為 10%，求該股票 3 個月期遠期價格。如果 3 個月后該股票的市價為 15 元，求這份交易數(shù)量為 100 單位的遠期合約多頭方的價值。r(T t) 0.1 0.25 F Ser(T t) 20 e0.1 0.25 20.51三個月后，對于多頭來說，該遠期合約的價值為 (15 20.51) 100 551 2、假設一種無紅利支付的股票目前的市價為20 元，無風險連續(xù)復利年利率為 10%，市場上該股票的 3個月遠期價格為 23 元，請問應如何進行套利？F Ser(T t) 20 e0.1 0.25 20.51 23，在這種情況下，套利者可以按無 風險利率 1

13、0%借入現(xiàn)金 X 元三個月， 用以購買 X 單位的股票， 同20 時賣出相應份數(shù)該股票的遠期合約，交割價格為 23 元。三個月 后，該套利者以 X 單位的股票交割遠期， 得到 23X 元，并歸還借20 20 款本息 X e0.1 0.25元，從而實現(xiàn) 23X Xe0.1 0.25 0元的無風險利潤。20 4、某股票預計在 2個月和 5個月后每股分別派發(fā) 1 元股息，該股票目前市價等于 30 元，所 有期限的無風險連續(xù)復利年利率均為6%，某投資者剛?cè)〉迷摴善?6 個月期的遠期合約空頭，交易單位為 100。請問： 1 該遠期價格等于多少？若交割價格等于遠期價格，則遠期合約的 初始價值等于多少？(

14、2)3 個月后，該股票價格漲到 35 元，無風險利率仍為 6%，此時遠期 價格和該合約空頭價值等于多少？?2/12 ?5/121)2個月和 5 個月后派發(fā)的 1元股息的現(xiàn)值 = + =元。遠期價格 =?=元。 若交割價格等于遠期價格，則遠期合約的初始價值為0。?2/122)在 3 個月后的這個時點， 2 個月后派發(fā)的 1 元股息的現(xiàn)值 =元。?3/12遠期價格 =()=元。?3/12此時空頭遠期合約價值 =100)=-556 元。3、遠期與期貨的三大運用領域：套期保值、套利、投機。 基差風險：bHGb 特定時刻的基差， H 是需要進行套期保值的現(xiàn)貨價格， G是用以進行套期保值的期貨價格。 在

15、1 單位現(xiàn)貨空頭用 1 單位期貨多頭進行套期保值的情況下，投資者的套期保值收益： b0 b1 (H0 H1) (G1 G0) (H 0 G0) (H1 G1)在 1 單位現(xiàn)貨多頭而用 1 單位期貨空頭進行套期保值的情況下，投資者的套期保值收益：b1 b0當前時刻的基差 b0 是已知的， b1是否確定則決定了套期保值收益是否確定，是否能夠完全 消除價格風險?？梢赃M一步將 b1分解為 b1 H1 G1 (S1 G1) (H1 S1)S1 表示套期保值結(jié)束時，期貨標的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價格。源自 b1 的不確定性就被稱為基差風險。 多頭套期保值的受益來源：基差減小 條件：(1)現(xiàn)貨價格的漲幅小于期貨價格的漲幅 (2)現(xiàn)貨價格的跌幅大于期貨價格的跌幅(3)現(xiàn)貨價格下跌而期貨價格上漲 套期保值比率：指用于套期保值的資產(chǎn)(如遠期和期貨 ) 頭寸對被套期保值的資產(chǎn)頭寸的比率，即套期保值資產(chǎn)頭寸數(shù)量 衍生品被套期保值資產(chǎn)頭寸數(shù) 量 現(xiàn)貨在 1 單位現(xiàn)貨