有答案-數(shù)列綜合練習(xí)(錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法)

1、n (q1)(1)公式：s 11nn1522 51 1s a1(125)s11051s6s11ss1數(shù)列綜合練習(xí)（一）1等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式：na1(1q ) a1anq 1q 1qna (q1).(2)注意：應(yīng)用該公式時(shí)，一定不要忽略 q1 的情況a2若a 是等比數(shù)列，且公比 q1，則前 n 項(xiàng)和 s (1qn1q)a(qn1)其中aa .q13 推導(dǎo)等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和的方法叫錯(cuò)位相減法一般適用于求一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等 比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)積的前 n 項(xiàng)和4 拆項(xiàng)成差求和經(jīng)常用到下列拆項(xiàng)公式：1 1 1(1) ；n(n1) n n1一、選擇題s1設(shè) s 為等比數(shù)列a 的前 n 項(xiàng)和，8a a

2、0，則 等于( )n n 2 5 sa11 b5c8 d11答案 d解析由 8a a 0 得 8a qa q40，q2，則 5 11.2 a (122)s2記等比數(shù)列a 的前 n 項(xiàng)和為 s ，若 s 2，s 18，則 等于( )n n 3 6 sa3 b5c31 d33答案 da (1q6)解析1q由題意知公比 q1， 3 a (1q3) 1q1q39，a (1q10)1qq2， 10 1q5 a (1q5)1q512533.42a2q4 1 2 3 42 2 2得 4 1qq 22142 14(1q)q2nn2 435n2 4331 1q2q1 2 31 12 31q21251 311 2

3、5421 nnnn1 1n n n1n1n1 42 31 42 3s3設(shè)等比數(shù)列a 的公比 q2，前 n 項(xiàng)和為 s ，則 等于( )n n aa2 b415 17c. d.2 2答案 c解析 方法一 由等比數(shù)列的定義，s a a a a a a qa q2，s 1 15a q 2.方法二a (1q4)s ，a a q， 1qs 1q4 15 a 2.4設(shè)a 是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，s 為其前 n 項(xiàng)和，已知 a a 1，s 7，則 s 等 于( )15 31a. b.2 433 17c. d.4 2答案 b解析a 是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且 a a 1，設(shè)an的公比為 q，則 q0，且 a2

4、1，即 a 1.s37，a a a 17，即 6q2q10. 故 q 或 q (舍去)， a 4.s514(1 ) 8(1 ) . 15在數(shù)列a 中，a ca (c 為非零常數(shù))，且前 n 項(xiàng)和為 s 3 ( )nk，則實(shí)數(shù) k 的值為a0 b1 c1 d2 答案 c解析當(dāng) n1 時(shí)，a s 3k，當(dāng) n2 時(shí)，as s (3nk)(3n1k)3n3n123n1.由題意知a k1.為等比數(shù)列，所以 a 3k2，6在等比數(shù)列a 中，公比 q 是整數(shù)，a a 18，a a 12，則此數(shù)列的前 8 項(xiàng)和 為( )a514 b513 c512 d510答案 d解析由 a a 18 和 a a 12，1

5、 11 11 11218nnnt，t3 3nn16 3411634 1n 1nn1 nnn 1nn nn1 11 11n n n1 nn1n n1nn1 n3 n2n3 n2 1 n 1 n將代入 s，可得 q ，2nn 11 nn 得方程組a a q318 a qa q212，解得a 2q2a 16或q.q 為整數(shù)，q2，a 二、填空題2(281) 2，s 29212510.7若a 是等比數(shù)列，且前 n 項(xiàng)和為 s 3n1答案 31t，則 t_.解析 顯然 q1，此時(shí)應(yīng)有 s a(qn1)，又 sn1 1 3n .8設(shè)等比數(shù)列a 的前 n 項(xiàng)和為 s ，若 a 1，s 4s ，則 a _.

6、答案 3解析a (1q6) 4 a (1q3s 4s 1q 1q)q33(q31 不合題意，舍去)aa q3133.9若等比數(shù)列a 中，a 1，a 512，前 n 項(xiàng)和為 s 341，則 n 的值是_ 答案 10解析a a q 1512q s ，341 ，1q 1qq2，又a a qn1，512(2)n1，n10.10如果數(shù)列a 的前 n 項(xiàng)和 s 2a 1，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式 a _. 答案 2n1解析當(dāng) n1 時(shí)，s 2a 1，a 2a 1，a 1.當(dāng) n2 時(shí)，as s (2a 1)(2a 1)a2a ，a 是等比數(shù)列，an2n1，nn*.三、解答題11在等比數(shù)列a 中，a a 66，a

7、 a 128，s 126，求 n 和 q.a1an128，解 a a a a ，a a 128，解方程組a1an66，a164， 得 a12， 或 an2， an64.a1anq 1 1q由 aa qn1 可解得 n6.a a q將代入 s ，可得 q2，1q12n 1nnn2n3nn 2n n 3n 2n33n3n1n2n111q18 933nnnn n 2 nnnnn n n11 1nnn n 2 nnnn35 7nnn nnnnnn135 72nnnn1 1 1 1n由 aa qn1 可解得 n6.故 n6，q 或 2.12已知 s 為等比數(shù)列a 的前 n 項(xiàng)和，s 54，s 60，求

8、s .解方法一 由題意 s ，s s ，s s 成等比數(shù)列，6254(s18260)，s .方法二a (1qn由題意得 a1，s 1q)54s a (1q2n 1q)60由得 1qn10 1 a 954 ， qn ， ，s 9 9 8 3na (1q3n 1q) 954 1 182 (1 ) .13已知數(shù)列a 的前 n 項(xiàng)和 s 2n24. (1)求數(shù)列a 的通項(xiàng)公式；(2)設(shè) b a log a ，求數(shù)列b 的前 n 項(xiàng)和 t .解(1)由題意，s 2n24，n2 時(shí)，a s s 2n22n12n1，當(dāng) n1 時(shí)，as 2344，也適合上式，數(shù)列a的通項(xiàng)公式為 a 2n1，nn*.(2)b

9、a log a (n1)2n1，tn222323424n2n(n1)2n1， 2t 223324425n2n1(n1)2n2.得，t 232324252n1(n1)2n2223(12n1)3 (n1)2 12n22323(2n11)(n1)2n2(n1)2n2232n1(n1)2n22n2n2n2.14已知等差數(shù)列a 滿足：a 7，a a 26，a 的前 n 項(xiàng)和為 s . (1)求 a 及 s ；1(2)令 b (nn *)，求數(shù)列b 的前 n 項(xiàng)和 t .a21解(1)設(shè)等差數(shù)列a 的首項(xiàng)為 a ，公差為 d.a12d7，因?yàn)?a 7，a a 26，所以2a110d26，a13， n(n1

10、)解得 所以 a 32(n1)2n1，s 3n 2n22n. d2.所以，an2n1，s n22n.(2)由(1)知 a 2n1，所以 b a2n1 (2n1)21 4 n(n1)1 14 n1 (1 n11 1 n4nn1n 1 nnn nnnn11 n11nn n2 1nnn nnnn19n1 n n1nnnn1 n n1 n nn1n n1n 1 2 13 24 3n41 11 114 4 4n n n1 nn1(a2a2n n1n n1 n n1n n1 n n1n n1n n1n n1n1 n ，所以 t1 1 1 1 1 1 n 4 2 2 3 n)(1 ) ， n1 4(n1)即

11、數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和 t n.4(n1)15設(shè)數(shù)列a 滿足 a 2，a a 322n(1) 求數(shù)列a 的通項(xiàng)公式；(2) 令 b na ，求數(shù)列b 的前 n 項(xiàng)和 s .1.解(1)由已知，當(dāng) n1 時(shí)，a (a a )(a a )(a a )a 3(22n122n32)222(n1)1.而 a12，符合上式，所以數(shù)列a 的通項(xiàng)公式為 a 22n1.(2)由 b na n22n1 知s 12223325n22n1， 從而 22 s 123225327n22n1.得(122)s 2232522n1n22n1，即 s (3n1)22n1216在數(shù)列a 中，a 2，a a ln11 ，則 a 等于

12、( )a2ln n b2(n1)ln n c2nln n d1nln n 答案 a解析a a ln11，aa ln 1n1ln ln(n1)ln n. n又 a12，aa (a a )(a a )(a a )(a a )2ln 2ln 1ln 3ln 2ln 4ln 3ln nln(n1)2ln nln 12ln n.117已知正項(xiàng)數(shù)列a 的前 n 項(xiàng)和 s (a 1)2n n 4 n，求a 的通項(xiàng)公式解1當(dāng) n1 時(shí)，a s ，所以 a (a 1)2，解得 a 1.當(dāng) n2 時(shí)，a1 1 1 s s (a 1)2 (a 1)2n n12a 2a )，a2a2 2(a a )0，(aaaa )

13、(a a 2)0. a 0，a a 20. a 2.a是首項(xiàng)為 1，公差為 2 的等差數(shù)列an12(n1)2n1.n1n1 nnnnnn1 n n2n1n1 1nnannnnnnn1nn n112122n2n21 1 12 2 22 1 12n 21 32 22 2 2 2n1n1 1 1 1nn n11 1 1 1b b b b b bnn n1( 1 2 2 3 3 4 n1 n18(12 分)在數(shù)列a 中，a 1，a 2a 2a(1)設(shè) b .證明：數(shù)列b 是等差數(shù)列；2n1n.(2)求數(shù)列a 的前 n 項(xiàng)和(1)證明 由已知 a 2a 2n，得 bn1an1 2an2n a 2n 2n n11bn1.bbb 1，又 b a 1.是首項(xiàng)為 1，公差為 1 的等差數(shù)列(2)解由(1)知，b n，b2n1n.a n2n1.sn1221322n2n1兩邊乘以 2 得：2s121222(n1)2n1n2n，兩式相減得：sn121222n1n2n2n1n2n(1n)2n1，sn(n1)2n1.119(12 分)已知數(shù)列a 的前 n 項(xiàng)和為 s ，且 a 1，a s (n1,2,3，)n n 1 n1 2 n(1)求數(shù)列a 的通項(xiàng)公式；3 1 n(2)當(dāng) b log (3a )時(shí)，求證：數(shù)列 的前 n