數(shù)學(xué)圓錐曲線對(duì)稱題型

1、y圓錐曲線之對(duì)稱問題包括兩種情形：、中心對(duì)稱問題：常利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解；、軸對(duì)稱問題：主要抓住以下兩個(gè)條件去處理-垂直，即已知點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸垂直；中點(diǎn)，即連 結(jié)已知點(diǎn)和對(duì)稱點(diǎn)的線段的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上1（本小題滿分 14 分）設(shè) a, b 是橢圓 w :x 2 y 2+4 3=1 上不關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，直線 ab 交 x 軸于點(diǎn) m（與點(diǎn) a, b不重合），o 為坐標(biāo)原點(diǎn)（i）如果點(diǎn) m 是橢圓 w 的右焦點(diǎn)，線段 mb 的中點(diǎn)在 軸上，求直線 ab 的方程；（ii）設(shè) n 為x軸上一點(diǎn)，且uuur uuur om on =4，直線 an 與橢圓 w 的另外一個(gè)交點(diǎn)為 c ，證明

2、：點(diǎn) b 與點(diǎn) c 關(guān)于 x 軸對(duì)稱2. 在平面直角坐標(biāo)系xoy1中，動(dòng)點(diǎn) p 到定點(diǎn) f (0, )41的距離比點(diǎn) p 到 x 軸的距離大 ，設(shè)動(dòng)4點(diǎn) p 的軌跡為曲線 c ，直線l : y =kx +1交曲線 c 于 a, b兩點(diǎn)，m 是線段 ab 的中點(diǎn)，過點(diǎn) m作 x 軸的垂線交曲線 c 于點(diǎn) n （）求曲線 c 的方程；（）證明：曲線 c 在點(diǎn) n 處的切線與 ab 平行；（）若曲線 c 上存在關(guān)于直線 l對(duì)稱的兩點(diǎn)，求 k 的取值范圍解析1.（本小題滿分 14 分）（）解：橢圓 w 的右焦點(diǎn)為 m (1,0)， 1 分因?yàn)榫€段 mb 的中點(diǎn)在 y 軸上，所以點(diǎn) b 的橫坐標(biāo)為 -1

3、 因?yàn)辄c(diǎn) b 在橢圓 w 上，將x =-13代入橢圓 w 的方程，得點(diǎn) b 的坐標(biāo)為 ( -1, )2 3分所以直線 ab （即 mb ）的方程為 3 x -4 y -3 =0或 3 x +4 y -3 =0 5分（）證明：設(shè)點(diǎn) b關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)為 b （在橢圓 w 上），1要證點(diǎn) b 與點(diǎn) c 關(guān)于 x 軸對(duì)稱，只要證點(diǎn)b1與點(diǎn) c 重合，又因?yàn)橹本€ an 與橢圓 w 的交點(diǎn)為 c（與點(diǎn) a 不重合）， 所以只要證明點(diǎn) a ， n ， b 三點(diǎn)共線1 7分以下給出證明：由 題 意 ， 設(shè) 直 線 ab 的 方 程 為 y = k x+ m( k0 ),a( x , y ) 1 1,b

4、( x , y ) 2 2， 則b ( x ,- y ) 1 2 2由3x 2 +4 y 2 =12, y =kx +m,得(3 +4 k2 ) x 2 +8kmx +4 m 2-12 =0， 9分所以d=(8km ) 2 -4(3 +4 k 2 )(4 m 2 -12) 0，x +x =- 1 28km3 +4 k2，x x =1 24m 2 -12 3 +4 k 2 104 kx y +1na nb1m1121 22 1 11 2 22 111 22m1分在 y =kx +m 中，令 y =0 ，得點(diǎn) m 的坐標(biāo)為 ( -4 k由 om on =4 ，得點(diǎn) n 的坐標(biāo)為 ( - ,0) ，

5、mmk,0)， 11分設(shè)直線 na ， nb 的斜率分別為 k ， k ，y +x y +y y -y 2 1 1 1 2 2則 k -k = 1 - 2 =na nb 4k 4k 4k 4 kx4k+ x + 4k ( x + )( x + )因?yàn)?x y +y +mxy +y m m m m m4 k 4k=x (kx +m ) +( kx +m ) +x ( kx +m ) +( kx +m ) m m4k 2=2 kx x +( m + )( x +x ) +8k1 2 1 24m 2 -12 4 k 2 8km=2 k ( ) +( m + )( - ) +8k3 +4 k 2 m

6、3 +4 k 24 km，12 分=8m2k -24 k -8m 2 k -32 k3 +4 k 23+24k +32 k3=0， 13分所以kna-knb=0，所以點(diǎn) a ， n ， b 三點(diǎn)共線，1即點(diǎn) b 與點(diǎn) c 關(guān)于 x 軸對(duì)稱 分2.19（共 13 分）1（）解：由已知，動(dòng)點(diǎn) p 到定點(diǎn) f (0, )4的距離與動(dòng)點(diǎn) p 到直線 y =-14 14的距離相等1 1由拋物線定義可知，動(dòng)點(diǎn) p 的軌跡為以 (0, ) 為焦點(diǎn)，直線 y =- 為準(zhǔn)線的拋物線4 4所以曲線 c 的方程為 y =x23 分（）證明：設(shè) a( x , y ) ， b( x , y )1 1 2 2y =x 2

7、, 由 y =kx +1,得 x2-kx -1 =0所以 x +x =k 1 2， x x =-11 2設(shè) m ( x , y ) ，則 x = 0 0 0因?yàn)?mn x 軸，k2k所以 n 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 2由 y =x 2 ，可得y=2x所以當(dāng) x =k2時(shí)，y =k所以曲線 c 在點(diǎn) n 處的切線斜率為 k ，與直線 ab 平行8 分 （）解：由已知， k 0 設(shè)直線 l 的垂線為 l1： y =- x +b k代入 y =x 2 ，可得 x2+1kx -b =0 （*）若存在兩點(diǎn) d ( x , y ), e ( x , y )3 3 4 4關(guān)于直線 l 對(duì)稱，則x +x 1 y +y 1 3 4 =- ， 3 4 =2 2k 2 2k2+b又 (x +x y +y 3 4 , 3 42 2)在 l上，