林壽數(shù)學(xué)史第八講：19世紀(jì)的代數(shù)（經(jīng)典實(shí)用）

1、林壽數(shù)學(xué)史第八講：19世紀(jì)的代數(shù) 第八講第八講 1919世紀(jì)的代數(shù)世紀(jì)的代數(shù) 代數(shù)學(xué)的新生代數(shù)學(xué)的新生 林壽數(shù)學(xué)史第八講：19世紀(jì)的代數(shù) 代數(shù)代數(shù) 方程與根方程與根 數(shù)系擴(kuò)張數(shù)系擴(kuò)張 行列式與矩陣行列式與矩陣 布爾代數(shù)布爾代數(shù) 代數(shù)數(shù)論代數(shù)數(shù)論 突破傳統(tǒng)突破傳統(tǒng) 林壽數(shù)學(xué)史第八講：19世紀(jì)的代數(shù) 高斯(聯(lián)邦德國(guó), 1955) v1799年高斯(德, 1777-1855)代數(shù)基本定理代數(shù)基本定理 )r-(x)r-)(xr-a(xP(x) n21 代數(shù)方程根式解代數(shù)方程根式解 v高斯，數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家高斯，數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家 v17951795年進(jìn)入哥廷根大學(xué)年進(jìn)入哥廷根大學(xué) v

2、正正1717邊形尺規(guī)作圖法（邊形尺規(guī)作圖法（17961796） v數(shù)論、代數(shù)、非歐幾何、復(fù)變函數(shù)和數(shù)論、代數(shù)、非歐幾何、復(fù)變函數(shù)和 微分幾何等方面做出了開(kāi)創(chuàng)性的貢獻(xiàn)微分幾何等方面做出了開(kāi)創(chuàng)性的貢獻(xiàn) v近代數(shù)學(xué)奠基者之一，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，“數(shù)學(xué)王子數(shù)學(xué)王子” v“寧可少些，但要好些。寧可少些，但要好些?！?” 林壽數(shù)學(xué)史第八講：19世紀(jì)的代數(shù) 高斯和正十七邊形 (民主德國(guó), 1977) 代數(shù)方程根式解代數(shù)方程根式解 林壽數(shù)學(xué)史第八講：19世紀(jì)的代數(shù) 代數(shù)方程根式解代數(shù)方程根式解 高斯墓 林壽數(shù)學(xué)史第八講：19世紀(jì)的代數(shù) n 1824年阿貝爾(挪, 1802-1829)定理 拉格朗日 n 17

3、70年拉格朗日(法, 1736-1813)關(guān)于代數(shù)方程解的思考：預(yù)解式 代數(shù)方程根式解代數(shù)方程根式解 n 1799年魯菲尼(意, 1765-1822)定理 魯菲尼 阿貝爾 伽羅瓦 n 18291831年伽羅瓦(法, 1811-1832)理論 林壽數(shù)學(xué)史第八講：19世紀(jì)的代數(shù) 代數(shù)方程根式解代數(shù)方程根式解 阿貝爾 v阿貝爾（挪，18021829）貢獻(xiàn)：方程 論、無(wú)窮級(jí)數(shù)和橢圓函數(shù)論 v16歲開(kāi)始閱讀牛頓、歐拉、拉格朗日、 高斯的著作 v1821年，阿貝爾進(jìn)入奧斯陸大學(xué)，1824 年，證明了一般五次方程根式解的不可 能性 v1825.5到柏林，五次方程論文發(fā)表于克 雷勒雜志、完成了橢圓函數(shù)的論文

4、v1826.7到巴黎，論文提交法國(guó)科學(xué)院 v1827.5回到奧斯陸 v1841年橢圓函數(shù)論論文發(fā)表 1908年維格蘭(挪, 1869- 1943)雕塑的阿貝爾塑像 林壽數(shù)學(xué)史第八講：19世紀(jì)的代數(shù) 數(shù)學(xué)獎(jiǎng) 阿貝爾獎(jiǎng)(2003- ) 1898年挪威數(shù)學(xué)家李(1842-1899)提議設(shè) 立阿貝爾獎(jiǎng)。 挪威政府撥款2億挪威克郎(約合人民幣 2.73億元)設(shè)立阿貝爾紀(jì)念基金，在阿貝爾 誕辰200周年之際設(shè)立阿貝爾獎(jiǎng), 從2003年 起每年頒發(fā)一次。 阿貝爾獎(jiǎng)?lì)C發(fā)給那些在數(shù)學(xué)領(lǐng)域做出杰 出貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家，獎(jiǎng)金額為600萬(wàn)挪威克朗。 阿貝爾的塑 像 (挪威, 1983) 林壽數(shù)學(xué)史第八講：19世紀(jì)的代數(shù) 數(shù)

5、學(xué)獎(jiǎng) 阿貝爾獎(jiǎng)(2003- ) 20032003年塞爾年塞爾( (法法, , 1926- )1926- )關(guān)于代數(shù)拓關(guān)于代數(shù)拓 撲、代數(shù)幾何獲獎(jiǎng)?chuàng)?、代?shù)幾何獲獎(jiǎng) 林壽數(shù)學(xué)史第八講：19世紀(jì)的代數(shù) 數(shù)學(xué)獎(jiǎng) 阿貝爾獎(jiǎng)(2003- ) 20032003年塞爾年塞爾( (法法, 1926- ), 1926- )關(guān)于代數(shù)拓?fù)洹⒋鷶?shù)幾何獲獎(jiǎng)關(guān)于代數(shù)拓?fù)?、代?shù)幾何獲獎(jiǎng) 林壽數(shù)學(xué)史第八講：19世紀(jì)的代數(shù) 伽羅瓦(法,1811-1832) (法國(guó), 1984) 代數(shù)方程根式解代數(shù)方程根式解 v伽羅瓦貢獻(xiàn)：群論，宣告方程根式解這 一經(jīng)歷了300年問(wèn)題的徹底解決，及尺 規(guī)作圖中“三等分任意角”問(wèn)題和“倍 立方”問(wèn)題

6、不可能 v在中學(xué)讀書(shū)時(shí)，已經(jīng)熟悉歐拉、高斯、 雅可比（德，18041851年）的著作 v1829年進(jìn)入巴黎高等師范學(xué)校 v18291831年提交法國(guó)科學(xué)院的數(shù)學(xué) 獎(jiǎng)?wù)撐?，分別交柯西、傅里葉、泊松 v1831年1月被校方開(kāi)除，兩次入獄，死 于為“愛(ài)情與榮譽(yù)”的決斗 v1846年論文發(fā)表 伽羅瓦的遺書(shū) 我請(qǐng)求我的愛(ài)國(guó)同胞們，我的朋友們，不要指責(zé)我不是為我的國(guó)家而死。 我是作為一個(gè)不名譽(yù)的風(fēng)騷女人和她的兩個(gè)受騙者的犧牲品而死的。我將在可 恥的誹謗中結(jié)束我的生命。噢！為什么要為這么微不足道的，這么可鄙的事去死呢？ 我懇求蒼天為我作證，只有武力和強(qiáng)迫才使我在我曾想方設(shè)法避開(kāi)的挑釁中倒下。 我親愛(ài)的朋友，

7、我已經(jīng)得到分析學(xué)方面的一些新發(fā)現(xiàn)。 在我一生中，我常常敢于預(yù)言當(dāng)時(shí)我還不十分有把握的一些命題。但是我在這 里寫(xiě)下的這一切已經(jīng)清清楚楚地在我的腦海里一年多了，我不愿意使人懷疑我宣布 了自己未完全證明的定理。 請(qǐng)公開(kāi)請(qǐng)求雅可比或高斯就這些定理的重要性（不是就定理的正確與否）發(fā)表 他們的看法。然后，我希望有人會(huì)發(fā)現(xiàn)將這些整理清楚會(huì)是很有益處的一件事。 熱烈地?fù)肀恪?伽羅瓦 林壽數(shù)學(xué)史第八講：19世紀(jì)的代數(shù) 代數(shù)方程根式解代數(shù)方程根式解 有限置換群 1849-1854年凱萊(英, 1821-1895)引入抽象群 伽羅瓦域 1893年韋伯(德, 1842-1913)抽象域 抽象化嘗試 林壽數(shù)學(xué)史第八講

8、：19世紀(jì)的代數(shù) )log- n 1 3 1 2 1 (1 lim n n n 1811 1811，18311831年高斯年高斯( (德德, 1777-1855), 1777-1855)討論了復(fù)數(shù)幾何表示討論了復(fù)數(shù)幾何表示 n 1797 1797年威塞爾年威塞爾( (挪挪, 1745-1818), 1745-1818)、18061806年阿甘德年阿甘德 ( (瑞瑞, 1768-1822), 1768-1822)討論了復(fù)數(shù)幾何表示討論了復(fù)數(shù)幾何表示 數(shù)系擴(kuò)張數(shù)系擴(kuò)張 n 17471747年達(dá)朗貝爾年達(dá)朗貝爾( (法法, 1717-1783), 1717-1783)斷言復(fù)數(shù)表示為斷言復(fù)數(shù)表示為a+

9、iba+ib， 17771777年歐拉年歐拉( (瑞瑞, 1701-1783), 1701-1783)支持用支持用i i表示虛數(shù)單位表示虛數(shù)單位 n 1737 1737年年歐拉歐拉( (瑞瑞, 1701-1783), 1701-1783)證明證明了了e e是無(wú)理數(shù)是無(wú)理數(shù) n 17611761年蘭伯特年蘭伯特( (法法, 1728-1777), 1728-1777)證明了證明了 是無(wú)理數(shù)是無(wú)理數(shù) n 18441844年劉維爾年劉維爾( (法法, 1809-1882), 1809-1882)第一次顯示了超越數(shù)的存在第一次顯示了超越數(shù)的存在 n 18731873年和年和18821882年埃爾米特年

10、埃爾米特( (法法, 1822-1901), 1822-1901)和林德曼和林德曼( (德德, 1852-1939), 1852-1939) 分別證明了分別證明了e e和和 是超越數(shù)，是超越數(shù)，“化圓為方化圓為方”問(wèn)題的不可能問(wèn)題的不可能 n 歐拉常數(shù)歐拉常數(shù) 是否是無(wú)理數(shù)是否是無(wú)理數(shù)? ? 實(shí)數(shù) 復(fù)數(shù) 林壽數(shù)學(xué)史第八講：19世紀(jì)的代數(shù) 1837年哈密頓(愛(ài)爾蘭, 1805-1865)表示復(fù)數(shù)為有序?qū)崝?shù)對(duì) 1843年哈密頓(愛(ài)爾蘭, 1805-1865)定義了四元數(shù) 數(shù)系擴(kuò)張數(shù)系擴(kuò)張 1844年格拉斯曼(德, 1809-1877)引進(jìn)了n個(gè)分量的超復(fù)數(shù) dkcjbia -1kji 222 j-

11、ikki i,-kjjk k,-jiij 1847年凱萊(英, 1821-1895)定義了八元數(shù) 麥克斯韋(英, 1831-1879)創(chuàng)造了向量分析 林壽數(shù)學(xué)史第八講：19世紀(jì)的代數(shù) 哈密頓的四元數(shù) (愛(ài)爾蘭, 1983) 數(shù)系擴(kuò)張數(shù)系擴(kuò)張 v哈密頓（愛(ài)爾蘭，哈密頓（愛(ài)爾蘭，1805180518651865年年 ），光），光 學(xué)、力學(xué)和代數(shù)學(xué)、力學(xué)和代數(shù) v自幼聰明，具有非凡的語(yǔ)言能力，自幼聰明，具有非凡的語(yǔ)言能力，“神神 童童” v18201820年已閱讀牛頓年已閱讀牛頓自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原 理理，拉普拉斯的，拉普拉斯的天體力學(xué)天體力學(xué)，18231823 年進(jìn)入劍橋大學(xué)三一學(xué)院年

12、進(jìn)入劍橋大學(xué)三一學(xué)院 v18341834年發(fā)表論文年發(fā)表論文“一種動(dòng)力學(xué)的普遍方一種動(dòng)力學(xué)的普遍方 法法” v18431843年年1010月月1616日定義了四元數(shù)日定義了四元數(shù)“思思 想電路接通之火花想電路接通之火花” v1837183718451845年任愛(ài)爾蘭皇家科學(xué)院院長(zhǎng)年任愛(ài)爾蘭皇家科學(xué)院院長(zhǎng) v英國(guó)聲譽(yù)僅次于牛頓的數(shù)學(xué)家，物理學(xué)英國(guó)聲譽(yù)僅次于牛頓的數(shù)學(xué)家，物理學(xué) 家家 林壽數(shù)學(xué)史第八講：19世紀(jì)的代數(shù) 1683年關(guān)孝和(日, 1642-1708，“算圣”)完成解伏題之法提出行列式 理論和代數(shù)方程變換理論 1750年克萊姆(瑞, 1704-1752)法則 1772年范德蒙(法, 17

13、35-1796)、拉普拉斯(法, 1749-1827)行列式展開(kāi)定理 1841年凱萊(英, 1821-1895)行列式記號(hào) 1852年西爾維斯特(英, 1814-1897)慣性定理 1854年埃爾米特(法, 1822-1910)使用了正交矩陣 1858年凱萊證明了凱萊-哈密頓(愛(ài)爾蘭, 1805-1865)定理 1870年若爾當(dāng)(法, 1838-1921)建立了若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 1879年弗羅貝尼斯(德, 1849-1917)引入矩陣的秩 行列式與矩陣行列式與矩陣 林壽數(shù)學(xué)史第八講：19世紀(jì)的代數(shù) 凱萊 西爾維斯特 埃爾米特 弗羅貝尼斯 若爾當(dāng) 行列式與矩陣行列式與矩陣 克萊姆 拉普拉斯 關(guān)孝和

14、林壽數(shù)學(xué)史第八講：19世紀(jì)的代數(shù) 布爾代數(shù)布爾代數(shù) 來(lái)源于對(duì)數(shù)學(xué)和邏輯基礎(chǔ)的探討, 萊布尼茨(德, 1646-1716)提出思 維演算和邏輯的數(shù)學(xué)化思想 德 摩根(英, 1806-1871)1847年形式邏輯首創(chuàng)關(guān)系邏輯研究 德 摩根 布布 爾爾 施羅 施羅 德德 施羅德(德, 1841-1902)邏輯代數(shù)講義(1890-1905)把布爾的邏 輯代數(shù)推向頂峰 布爾(英, 1815-1864)用代數(shù)方法建立了邏輯代數(shù), 1847年和1854年 布爾出版邏輯的數(shù)學(xué)分析和思維規(guī)律研究 林壽數(shù)學(xué)史第八講：19世紀(jì)的代數(shù) 布爾代數(shù)布爾代數(shù) 全稱肯定命題 所有 X 是 Y x(1-y)=0 全稱否定命題

15、所有 X 不是 Y xy=0 特稱肯定命題 有些 X 是 Y xy0 特稱否定命題 有些 X 不是 Y x(1-y)0 布爾布爾( (英英, 1815-1864), 1815-1864)，數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)家，數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)家，5050篇學(xué)術(shù)論文和兩部教篇學(xué)術(shù)論文和兩部教 科書(shū)，科書(shū)，1919世紀(jì)數(shù)理邏輯的最杰出代表世紀(jì)數(shù)理邏輯的最杰出代表 “自學(xué)成才自學(xué)成才”著稱于世，掌握了拉丁語(yǔ)、希臘語(yǔ)、意大利語(yǔ)、法著稱于世，掌握了拉丁語(yǔ)、希臘語(yǔ)、意大利語(yǔ)、法 語(yǔ)和德語(yǔ)，自學(xué)了牛頓語(yǔ)和德語(yǔ)，自學(xué)了牛頓自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理，拉格朗日，拉格朗日解解 析函數(shù)論析函數(shù)論和拉普拉斯和拉普拉斯天體力學(xué)天體力學(xué)

16、 18391839年申請(qǐng)進(jìn)劍橋大學(xué)，年申請(qǐng)進(jìn)劍橋大學(xué)，18441844年發(fā)表年發(fā)表“關(guān)于分析中的一般方法關(guān)于分析中的一般方法” 18491849年愛(ài)爾蘭科克皇后學(xué)院數(shù)學(xué)教授，年愛(ài)爾蘭科克皇后學(xué)院數(shù)學(xué)教授，18571857年英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員年英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員 林壽數(shù)學(xué)史第八講：19世紀(jì)的代數(shù) v費(fèi)馬費(fèi)馬 v律師律師 v解析幾何解析幾何 v微積分微積分 v概率論概率論 v數(shù)論數(shù)論 l 費(fèi)馬小定理費(fèi)馬小定理: 1640年年10月月18日日 l 費(fèi)馬大定理費(fèi)馬大定理 “業(yè)余數(shù)學(xué)家之王業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”費(fèi)馬費(fèi)馬 （法，（法，1601160116651665年）年） l 平方數(shù)問(wèn)題平方數(shù)問(wèn)題 l 費(fèi)馬數(shù)費(fèi)馬

17、數(shù): 1640年給梅森年給梅森(法法, 1588-1648)的信的信 17世紀(jì)的數(shù)論世紀(jì)的數(shù)論 a-a|p ,pa ,p p 則互素與是素?cái)?shù)如果 無(wú)非零整數(shù)解的自然數(shù)對(duì)大于n 2 zy x nnn 22222 435 ,125 , 14n I 如表示為兩個(gè)平方數(shù)之和 能以一種方式的素?cái)?shù)和它的平方都只形如： 個(gè)平方數(shù)之和超過(guò)每個(gè)正整數(shù)可表示成不：4 II 形形如如 12F n 2 n 的的數(shù)數(shù)永永遠(yuǎn)遠(yuǎn)是是素素?cái)?shù)數(shù) 林壽數(shù)學(xué)史第八講：19世紀(jì)的代數(shù) l1732年歐拉(瑞, 1701-1783)證明F5不是素?cái)?shù) l1736年歐拉證明了費(fèi)馬小定理 l1742年哥德巴赫(德, 1690-1764)猜想

18、l1753年歐拉宣布證明了n=3時(shí)的費(fèi)馬大定理(1770發(fā)表) l1754年歐拉證明了費(fèi)馬平方數(shù)I問(wèn)題 l1770年拉格朗日(法，1736-1813)證明了費(fèi)馬平方數(shù)II問(wèn)題 l1770年華林(英, 1734-1798)問(wèn)題 18世紀(jì)的數(shù)論世紀(jì)的數(shù)論 無(wú)解 有解 ) (mod 1,- ) (mod 1, )( 2 2 pax pax p a 2 1-q 2 1-p (-1) p q )( q p ( l 1743年歐拉發(fā)現(xiàn)二次互反律: 代數(shù)數(shù)論 . ,19 ,9 ,4 等等個(gè)四次方數(shù)之和或者是 個(gè)立方數(shù)之和或者是個(gè)平方數(shù)之和每個(gè)自然數(shù)或者是 林壽數(shù)學(xué)史第八講：19世紀(jì)的代數(shù) 高斯高斯算術(shù)研究算

19、術(shù)研究（18011801） 同余理論，復(fù)整數(shù)理論和型的理論同余理論，復(fù)整數(shù)理論和型的理論 “數(shù)學(xué)，科學(xué)的女皇；數(shù)論，數(shù)學(xué)的女皇。數(shù)學(xué)，科學(xué)的女皇；數(shù)論，數(shù)學(xué)的女皇?！?” 開(kāi)創(chuàng)德國(guó)數(shù)學(xué)成為世界數(shù)學(xué)的中心之路開(kāi)創(chuàng)德國(guó)數(shù)學(xué)成為世界數(shù)學(xué)的中心之路 代數(shù)數(shù)論代數(shù)數(shù)論 德國(guó)馬克上的高斯 (1989) 高斯和哥廷根(尼加拉瓜，1994) 林壽數(shù)學(xué)史第八講：19世紀(jì)的代數(shù) 代數(shù)數(shù)論代數(shù)數(shù)論 l1801年高斯(德, 1777-1855)出版算術(shù)研究：二次互反律 l 1871年戴德金(德, 1831-1916)創(chuàng)立代數(shù)數(shù) )5-)(15-(1326 因式分解 2)/5-(1,2)/5-(1,2,6 2121 2

20、 其中 希爾伯特希爾伯特 戴德 戴德 金金 庫(kù)默爾庫(kù)默爾 l 1844-1847年庫(kù)默爾(德, 1810-1893)提出理想數(shù) l 1897年希爾伯特(德, 1862-1943)“代數(shù)數(shù)域理論” 林壽數(shù)學(xué)史第八講：19世紀(jì)的代數(shù) 戴德金 (民主德國(guó), 1981) 代數(shù)數(shù)論代數(shù)數(shù)論 林壽數(shù)學(xué)史第八講：19世紀(jì)的代數(shù) 素?cái)?shù)判定素?cái)?shù)判定 林壽數(shù)學(xué)史第八講：19世紀(jì)的代數(shù) 梅 森 n 梅森(法, 1588-1648)數(shù): 物理數(shù)學(xué)隨 感(1644), 2p-1=Mp , p是 素?cái)?shù). n 1772年歐拉(瑞, 1701-1783)證明第8個(gè)梅森素?cái)?shù)M31, 有10位數(shù)字. n 1996年美國(guó)數(shù)學(xué)家及程序設(shè)計(jì)師喬治沃特曼編制了因特網(wǎng)梅森素 數(shù)大搜索程序(GIMPS項(xiàng)目), 將其放置在因特網(wǎng)上供數(shù)學(xué)愛(ài)好者使用。 目前有150多個(gè)國(guó)家的9萬(wàn)多名志愿者、超過(guò)25萬(wàn)臺(tái)計(jì)算機(jī)參與這項(xiàng)計(jì) 劃. n 該計(jì)劃利用大量普通計(jì)算機(jī)的閑置時(shí)間, 獲得 相當(dāng)于超級(jí)計(jì)算機(jī)的運(yùn)算能力，近年來(lái)新產(chǎn)生的 梅森素?cái)?shù)都是通過(guò)GIMPS項(xiàng)目找到的. n 美國(guó)電子新領(lǐng)域基金會(huì)設(shè)立了10萬(wàn)美元的獎(jiǎng)金, 鼓勵(lì)第一個(gè)找到