廣義相對(duì)論中的開(kāi)普勒問(wèn)題

1、目錄隱藏 1 歷史背景-愛(ài)因斯坦的直覺(jué) 2 幾何基礎(chǔ)-度規(guī) 3 史瓦西幾何 4 測(cè)地線方程 5 光線在太陽(yáng)引力場(chǎng)中偏折的近似公式 6 和經(jīng)典力學(xué)的關(guān)系 7 圓軌道和其穩(wěn)定性 8 橢圓軌道進(jìn)動(dòng)的推導(dǎo) 9 使用橢圓函數(shù)的圓軌道的解 10 可能軌道的定性分析 o 10.1 準(zhǔn)橢圓軌道o 10.2 穩(wěn)定圓軌道o 10.3 非束縛（散射）軌道o 10.4 漸近圓軌道o 10.5 衰減軌道 11 對(duì)測(cè)地線方程解的修正 12 軌道方程的理論力學(xué)推導(dǎo) o 12.1 哈密頓-雅可比方法o 12.2 拉格朗日方法o 12.3 哈密頓原理 13 參考文獻(xiàn) o 13.1 引用o 13.2 書(shū)籍o 13.3 期刊文章

2、14 參見(jiàn)歷史背景-愛(ài)因斯坦的直覺(jué)編輯參見(jiàn)：廣義相對(duì)論的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證這里、是坐標(biāo)、的任意函數(shù)。想象一個(gè)這樣的世界其實(shí)并不困難，我們就生活在這樣一個(gè)表面是彎曲的世界上，這也是無(wú)法精確描繪出一個(gè)平面的世界地圖的原因。想要簡(jiǎn)明地描述這個(gè)世界的表面幾何不適合采用笛卡爾坐標(biāo)，比較簡(jiǎn)單的做法是球坐標(biāo)系，這時(shí)的歐幾里得幾何中的距離表示為：進(jìn)一步的想象可能會(huì)比較困難，但我們假設(shè)存在一個(gè)用來(lái)測(cè)量長(zhǎng)度的尺子不再可靠的世界：尺子的長(zhǎng)度會(huì)因其位置甚至擺放方向而改變。這是最一般的情況，在計(jì)算兩點(diǎn)間距離時(shí)需要考慮交叉項(xiàng)的存在：這里九個(gè)函數(shù)等構(gòu)成了空間的度規(guī)張量，它定義了黎曼幾何框架下的空間幾何。在球坐標(biāo)系下交叉項(xiàng)不存在，它只

3、包含有三個(gè)非零的張量元素：在狹義相對(duì)論中，愛(ài)因斯坦就已經(jīng)指出空間中兩點(diǎn)的距離并不是恒量，而與觀察者的運(yùn)動(dòng)（即慣性參考系）有關(guān)。狹義相對(duì)論指出在任何慣性系下觀測(cè)到的恒量是兩點(diǎn)間的時(shí)空間隔，這個(gè)間隔被稱(chēng)作固有時(shí)。固有時(shí)是一個(gè)相對(duì)論不變量，它與慣性參考系無(wú)關(guān)。在球坐標(biāo)下這可以寫(xiě)成這些公式都可以看作是畢達(dá)哥拉斯定理的自然推廣，它們僅在時(shí)空曲率為零時(shí)成立。但在廣義相對(duì)論的框架下，時(shí)間和空間都可以是彎曲的，這時(shí)的時(shí)空間隔需要寫(xiě)成更一般的形式：這里的度規(guī)取決于時(shí)空中發(fā)出引力的質(zhì)量、動(dòng)量和能量，描述這一關(guān)系的是愛(ài)因斯坦的引力場(chǎng)方程。愛(ài)因斯坦的引力理論不僅和當(dāng)時(shí)已知的物理定律相容，它還成功預(yù)言了很多從未觀測(cè)到的

4、物理現(xiàn)象，這些現(xiàn)象至今仍然不斷被實(shí)驗(yàn)觀測(cè)所證實(shí)。史瓦西幾何編輯愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程的解的最簡(jiǎn)單形式是史瓦西度規(guī)，它對(duì)應(yīng)著一個(gè)不帶電荷和角動(dòng)量的球?qū)ΨQ(chēng)的質(zhì)量的引力場(chǎng)，其形式為：其中， 是固有時(shí)； 是光速； 是時(shí)間坐標(biāo)； 是球面的徑向坐標(biāo)； 是球面的緯度坐標(biāo)； 是球面的經(jīng)度坐標(biāo)； 是中心質(zhì)量的史瓦西半徑，其關(guān)系為牛頓經(jīng)典力學(xué)下引力的傳播速度無(wú)限大，與光速無(wú)關(guān)：這可以看作是在經(jīng)典近似下史瓦西半徑趨于零，這時(shí)的史瓦西度規(guī)還原為狹義相對(duì)論的形式。在一般情形下，史瓦西半徑總是非常小的，例如地球的史瓦西半徑只有9毫米，而一顆人造衛(wèi)星的同步軌道半徑是它的四十億倍，為42164千米。即使是在地球表面，廣義相對(duì)論對(duì)牛頓

5、引力的修正也只有十億分之一。然而在宇宙中的致密星體如黑洞和中子星的周?chē)?，廣義相對(duì)論的效應(yīng)就變得非常明顯。測(cè)地線方程編輯根據(jù)廣義相對(duì)論，質(zhì)量可忽略的粒子在引力場(chǎng)中沿著測(cè)地線運(yùn)動(dòng)。在無(wú)引力的平直時(shí)空中，測(cè)地線是直線；但當(dāng)時(shí)空存在彎曲時(shí)，測(cè)地線由下面的測(cè)地線方程描述3：這里是克里斯托費(fèi)爾符號(hào)而變量是一個(gè)將粒子在時(shí)空中的軌跡即世界線參數(shù)化的參量。克里斯托費(fèi)爾符號(hào)只和度規(guī)對(duì)坐標(biāo)的一階偏導(dǎo)數(shù)有關(guān)（即描述了度規(guī)如何隨坐標(biāo)變化）。對(duì)于類(lèi)時(shí)的軌跡（有質(zhì)量的粒子，速度小于光速）而言，參數(shù)一般取作固有時(shí)；而對(duì)于類(lèi)光的軌跡（無(wú)質(zhì)量的粒子，速度為光速）固有時(shí)為零，因此嚴(yán)格來(lái)講不能將固有時(shí)用作參數(shù)；不過(guò)類(lèi)光可以看作是類(lèi)時(shí)

6、的極端相對(duì)論情形，有時(shí)從而可以通過(guò)取極限的方法，從類(lèi)時(shí)的軌跡導(dǎo)出粒子質(zhì)量為零時(shí)類(lèi)光的軌跡，并保持總能量不變。在度規(guī)具有對(duì)稱(chēng)性的場(chǎng)合下我們往往可以將問(wèn)題簡(jiǎn)化。例如史瓦西度規(guī)是關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的，任何起始于這一平面上測(cè)地線的粒子將保持在這一平面上運(yùn)動(dòng)。因此我們總可以認(rèn)為粒子的軌道保持在這一平面上，即緯度坐標(biāo)恒等于，這時(shí)的史瓦西度規(guī)簡(jiǎn)化為從這個(gè)形式可得到兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的守恒量，單位質(zhì)量的角動(dòng)量和單位質(zhì)量的能量（參見(jiàn)下文注釋?zhuān)⑦@兩個(gè)守恒量代入史瓦西度規(guī)中得到粒子的運(yùn)動(dòng)方程通過(guò)角動(dòng)量的定義，得到如下替換關(guān)系可消去式中的固有時(shí)這樣就得到了粒子的軌道方程其中的兩個(gè)長(zhǎng)度參數(shù)、的定義為利用最小作用量原理4或哈密頓-雅可

7、比方程5可得到相同形式的軌道方程（見(jiàn)后文），軌道方程的解為光線在太陽(yáng)引力場(chǎng)中偏折的近似公式編輯1919年亞瑟愛(ài)丁頓爵士所測(cè)量的星光在太陽(yáng)引力場(chǎng)中的偏折實(shí)驗(yàn)使得廣義相對(duì)論在全世界范圍內(nèi)被廣為接受對(duì)于上面的史瓦西度規(guī)中的粒子軌道方程，當(dāng)粒子質(zhì)量趨于零（或長(zhǎng)度參數(shù)趨于無(wú)窮大）時(shí)，軌道方程的解變?yōu)槿缦滦问剑簩⒋耸桨吹膬缰笖?shù)展開(kāi)，得到的領(lǐng)導(dǎo)項(xiàng)給出了一個(gè)來(lái)自無(wú)窮遠(yuǎn)處的無(wú)質(zhì)量粒子在史瓦西引力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)角度近似偏移量（其后這個(gè)粒子仍然向無(wú)窮遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)）這里長(zhǎng)度參數(shù)可理解為粒子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中距中心質(zhì)量的最近距離。盡管這個(gè)公式是通過(guò)相當(dāng)?shù)慕频玫降?，在大多?shù)有關(guān)引力透鏡的測(cè)量中它都相當(dāng)精確，這是因?yàn)閷?duì)大多數(shù)星體而言都

8、很小。對(duì)于掠過(guò)太陽(yáng)表面的光子，其角偏移量大約只有1.75角秒。和經(jīng)典力學(xué)的關(guān)系編輯從上面得到的史瓦西度規(guī)中的粒子運(yùn)動(dòng)方程可通過(guò)代入史瓦西半徑的定義得到這個(gè)運(yùn)動(dòng)方程相當(dāng)于一個(gè)質(zhì)量為的粒子在一個(gè)一維勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，其有效勢(shì)能為式中前兩項(xiàng)是經(jīng)典力學(xué)的結(jié)果：第一項(xiàng)是牛頓引力勢(shì)能（負(fù)值表示吸引），第二項(xiàng)是具有排斥效應(yīng)的離心勢(shì)能；而第三項(xiàng)僅在廣義相對(duì)論中存在，它代表的是一個(gè)與距離立方成反比的吸引勢(shì)能。從后文或其他文獻(xiàn)中可以看到，這種立方反比勢(shì)能造成了粒子運(yùn)動(dòng)周期中橢圓軌道的逐漸相對(duì)論進(jìn)動(dòng)，每個(gè)周期內(nèi)進(jìn)動(dòng)的角位移為其中是橢圓的半長(zhǎng)軸，是偏心率。在很小時(shí)，由于是立方反比關(guān)系第三項(xiàng)起主導(dǎo)作用，這決定了一個(gè)關(guān)鍵性的最

9、內(nèi)穩(wěn)定圓半徑，如果粒子一旦處于小于這個(gè)半徑的范圍內(nèi)，它最終會(huì)不可避免地向內(nèi)墜入。這個(gè)最內(nèi)半徑是單位質(zhì)量的角動(dòng)量的函數(shù)，即上面定義的長(zhǎng)度參數(shù)。圓軌道和其穩(wěn)定性編輯不同角動(dòng)量對(duì)應(yīng)的有效徑向勢(shì)能。半徑很小時(shí)，勢(shì)能迅速下降，這使得粒子向墜入。不過(guò)，當(dāng)歸一化的角動(dòng)量等于時(shí)，一個(gè)處于亞穩(wěn)態(tài)的圓規(guī)道是可能的，在圖中用綠圈標(biāo)記。對(duì)于更高的角動(dòng)量，由于離心勢(shì)能的存在會(huì)有不穩(wěn)定的圓規(guī)道出現(xiàn)，在圖中用紅圈標(biāo)記。如果使用長(zhǎng)度參數(shù)，有效勢(shì)能可寫(xiě)成如下形式：當(dāng)有效力為零時(shí)，得到粒子的圓規(guī)道：有效力為零的含義即為吸引力（牛頓引力加廣義相對(duì)論的立方反比引力）和排斥力（等效的離心力）恰巧平衡。在兩個(gè)半徑上可以滿足這種平衡條件，

10、它們被記為和其中靠?jī)?nèi)的半徑對(duì)應(yīng)的圓規(guī)道是不穩(wěn)定的，這個(gè)原因在上面已經(jīng)提到：由于當(dāng)很小時(shí)，立方反比項(xiàng)增長(zhǎng)速度遠(yuǎn)大于其他兩項(xiàng)，這個(gè)引力將把粒子強(qiáng)烈地吸引到引力場(chǎng)中心處。而靠外的半徑對(duì)應(yīng)的圓規(guī)道是穩(wěn)定的，這是因?yàn)樵谀歉浇⒎椒幢软?xiàng)并不顯著，系統(tǒng)基本可近似為一個(gè)非相對(duì)論的開(kāi)普勒系統(tǒng)。當(dāng)長(zhǎng)度參數(shù)遠(yuǎn)大于史瓦西半徑時(shí)（經(jīng)典極限），這兩個(gè)圓軌道半徑公式近似為穩(wěn)定軌道與不穩(wěn)定軌道的半徑關(guān)于歸一化角動(dòng)量的曲線，分別用藍(lán)色和紅色標(biāo)出。兩條曲線在歸一化角動(dòng)量等于處相交，圖中用綠圈標(biāo)出。作為比較，從向心加速度和牛頓萬(wàn)有引力定律得到的經(jīng)典半徑用黑色曲線畫(huà)出。將和的定義代入，就得到了粒子圍繞中心質(zhì)量公轉(zhuǎn)的有心力問(wèn)題這里是粒

11、子的角速度。這個(gè)公式可以直接在經(jīng)典理論下讓?xiě)T性離心力等于牛頓萬(wàn)有引力得到如果使用廣義相對(duì)論中的記法，經(jīng)典的角速度等于在另一種情形下，當(dāng)由上逐漸逼近時(shí)，這兩個(gè)圓軌道半徑重合為一個(gè)值：上面給出的和的二項(xiàng)式解保證了總是大于的，而總是在和的范圍內(nèi)。半徑小于的圓軌道是不能存在的。對(duì)于無(wú)質(zhì)量的粒子，長(zhǎng)度參數(shù)為無(wú)窮大，例如對(duì)于光子可以存在一個(gè)的圓軌道，這個(gè)半徑所構(gòu)成的球有時(shí)被稱(chēng)作光子球。橢圓軌道進(jìn)動(dòng)的推導(dǎo)編輯在非相對(duì)論開(kāi)普勒問(wèn)題中，粒子永遠(yuǎn)沿著同樣的橢圓軌道運(yùn)動(dòng)（紅色軌道）。廣義相對(duì)論引入了第三種力的作用，這種力對(duì)粒子的吸引比牛頓引力稍強(qiáng)，特別是在軌道半徑很短的情形。這種力使行星的橢圓軌道產(chǎn)生進(jìn)動(dòng)（藍(lán)色軌道

12、），現(xiàn)在實(shí)驗(yàn)上已經(jīng)測(cè)量了水星、金星和地球的相應(yīng)進(jìn)動(dòng)。圖中黃色的點(diǎn)表示軌道的中心質(zhì)量，例如太陽(yáng)。從史瓦西幾何中得到的徑向有效勢(shì)能可以推出軌道的進(jìn)動(dòng)速度。首先，圓軌道的一個(gè)微小的半徑變化會(huì)造成在上的穩(wěn)定的諧振動(dòng)，其振動(dòng)的角頻率為用有效勢(shì)能的形式代入并求二階導(dǎo)數(shù)，兩邊開(kāi)平方并作二項(xiàng)式展開(kāi)：而后再乘以公轉(zhuǎn)的周期就得到了在一個(gè)周期內(nèi)的軌道進(jìn)動(dòng)的角位移這里我們用到了以及長(zhǎng)度參數(shù)的定義。代入史瓦西半徑的定義得到根據(jù)開(kāi)普勒第三定律，使用橢圓的半長(zhǎng)軸和偏心率可以簡(jiǎn)化這個(gè)公式，開(kāi)普勒第三定律在這里可以寫(xiě)為這樣就得到了上面看到的進(jìn)動(dòng)角位移公式使用橢圓函數(shù)的圓軌道的解編輯軌道方程可以通過(guò)引入一個(gè)無(wú)量綱量來(lái)化簡(jiǎn)：這時(shí)軌

13、道方程可表示為這里的無(wú)量綱系數(shù)、由下式給出這個(gè)微分方程的解為其中無(wú)量綱量，這里是參數(shù)為和的魏爾施特拉斯橢圓函數(shù)，是一個(gè)積分常數(shù)（可以是復(fù)數(shù)）?？赡苘壍赖亩ㄐ苑治鼍庉媽?duì)于軌道方程如果右邊三次多項(xiàng)式的判別式 大于零，則三次方程有三個(gè)實(shí)根，、，將它們按從大到小排列在此情形下，方程的解是一個(gè)具有兩個(gè)半周期的橢圓函數(shù)，其中一個(gè)完全是實(shí)的：而另一個(gè)完全是虛的：剩下的那一個(gè)根對(duì)應(yīng)著一個(gè)復(fù)數(shù)的半周期2 = -1 - 3。這三個(gè)半周期通過(guò)方程與對(duì)應(yīng)的三個(gè)根相聯(lián)系，方程中可以等于1、2、3。因此如果被設(shè)置為等于其中任何一個(gè)半周期，的導(dǎo)數(shù)就為零，這對(duì)應(yīng)著一個(gè)近星點(diǎn)或遠(yuǎn)星點(diǎn)：由于可以看到等于根時(shí)，導(dǎo)數(shù)的值為零。不同軌

14、道的定性性質(zhì)取決于的選取。等于的解對(duì)應(yīng)著在和之間周期性變化的軌道，或者是散射到無(wú)窮遠(yuǎn)處的軌道（）。而等于或任何其他實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)著衰減至半徑等于零的軌道，這是由于作為一個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)不能小于，結(jié)果就不可避免地增長(zhǎng)至無(wú)窮大。準(zhǔn)橢圓軌道編輯在系統(tǒng)能量滿足不等式E2 m2 c4的前提下，等于時(shí)方程的解給出了一個(gè)實(shí)數(shù)的值。對(duì)于這類(lèi)解，變量的值被限制在和之間。如果這兩個(gè)根都大于-1/12，將不會(huì)等于-1/12，也就不會(huì)產(chǎn)生半徑趨于無(wú)窮大的散射軌道。因此這類(lèi)解對(duì)應(yīng)著一個(gè)逐漸進(jìn)動(dòng)的橢圓軌道，當(dāng)粒子（或行星）從起始狀態(tài)開(kāi)始演化時(shí)，其半徑在最小半徑和最大半徑之間振蕩，分別為它們分別對(duì)應(yīng)著的兩個(gè)極值。魏爾施特拉斯橢圓函數(shù)的實(shí)

15、數(shù)周期為，因此當(dāng)粒子進(jìn)動(dòng)了的角位移后將回到與先前相同的半徑，橢圓軌道處于進(jìn)動(dòng)狀態(tài)（注意一般來(lái)說(shuō)不等于，但兩者的差值即每個(gè)軌道周期內(nèi)進(jìn)動(dòng)的角位移很?。?。穩(wěn)定圓軌道編輯這是2e2 = 2e3 = e1的特殊情形，即方程有兩個(gè)根相等并且是負(fù)值，而第三個(gè)根是正值。在這種情況下有兩個(gè)相同的實(shí)根e = e2 = e4，這個(gè)解對(duì)應(yīng)著經(jīng)典的圓軌道，即上面得到的半徑為的軌道，并且我們看到一定大于。這樣的圓軌道之所以穩(wěn)定，是因?yàn)閷?duì)方程參數(shù)的一個(gè)微擾只會(huì)讓這兩個(gè)實(shí)根略微不等，從而得到準(zhǔn)橢圓軌道解。例如對(duì)處于穩(wěn)定圓軌道上粒子的一個(gè)微小擾動(dòng)會(huì)將它推到準(zhǔn)橢圓軌道上去并逐漸開(kāi)始進(jìn)動(dòng)。非束縛（散射）軌道編輯軌道半徑趨于無(wú)窮大

16、對(duì)應(yīng)著粒子飛向無(wú)限遠(yuǎn)處，這時(shí)等于-1/12。這樣的非束縛軌道對(duì)應(yīng)著兩個(gè)實(shí)根的值分別落在-1/12兩側(cè)，即 e2 1/12 e3。漸近圓軌道編輯當(dāng)-e3 = 2e2 = 2e1，有兩個(gè)正的且相同的實(shí)根，而第三個(gè)根e3是負(fù)值。將重根代換為，在等于正負(fù)無(wú)窮時(shí)粒子具有漸近的圓軌道：可以將這個(gè)解代回方程驗(yàn)證。當(dāng)?shù)扔谡?fù)無(wú)窮時(shí)，粒子漸近地接近這個(gè)圓軌道：在這種情形下，粒子的軌道半徑一定處于和之間。漸近的圓軌道也可以通過(guò)用雅可比橢圓函數(shù)來(lái)表示魏爾施特拉斯橢圓函數(shù)得到：這里，并且橢圓積分的模數(shù)為在e2趨于e1的極限下，模數(shù)趨于1，而趨于。這樣選擇的值為（四分之一周期）就可以得到上面的漸近圓軌道。衰減軌道編輯當(dāng)

17、等于（或其他實(shí)數(shù)）時(shí)，的實(shí)根有性質(zhì)總不小于e1，這使得軌道方程對(duì)于所有大于e1的值都是正的，并且可以無(wú)限制增長(zhǎng)，這對(duì)應(yīng)著粒子軌道逐漸向處衰減。對(duì)測(cè)地線方程解的修正編輯實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的脈沖雙星PSR B1913+16的軌道周期變化（圖中藍(lán)色的點(diǎn)）和廣義相對(duì)論的理論預(yù)測(cè)（圖中黑色的曲線）完全吻合參見(jiàn)：引力波及引力波天文學(xué)根據(jù)廣義相對(duì)論，兩個(gè)互相繞轉(zhuǎn)的質(zhì)量例如雙星系統(tǒng)會(huì)發(fā)出引力輻射，由引力輻射攜帶的能量會(huì)讓它們的軌道稍微偏離測(cè)地線方程所得到的結(jié)果。關(guān)于這一問(wèn)題的最著名間接驗(yàn)證是由拉塞爾赫爾斯和約瑟夫泰勒對(duì)一個(gè)脈沖雙星PSR B1913+16的觀測(cè)，兩人因此獲得1993年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。系統(tǒng)內(nèi)的兩顆中

18、子星距離非常接近，且繞轉(zhuǎn)速度非常之快，測(cè)量到的一個(gè)周期時(shí)長(zhǎng)大約僅為465分鐘。兩顆中子星的軌道是高度橢圓的，偏心率達(dá)到0.62。按照廣義相對(duì)論的預(yù)言，這樣短的軌道周期和高度的偏心軌道使得這個(gè)雙星系統(tǒng)成為一個(gè)非常好的引力波源，通過(guò)引力輻射損失的能量使軌道逐漸衰減，軌道周期逐漸變短。通過(guò)長(zhǎng)達(dá)三十年的實(shí)驗(yàn)觀測(cè)，即使是在可以達(dá)到的最精確的測(cè)量下軌道周期的降低和廣義相對(duì)論的預(yù)言仍符合得相當(dāng)好。廣義相對(duì)論還預(yù)言，再過(guò)三億年后這兩顆恒星最終會(huì)碰撞到一起。開(kāi)普勒問(wèn)題中因引力輻射導(dǎo)致的能量和角動(dòng)量的損耗公式已經(jīng)通過(guò)計(jì)算得到6，在一個(gè)完整的軌道周期內(nèi)取平均下的能量變化率為7這里e是橢圓軌道的偏心率，a是半長(zhǎng)軸。方

19、程左邊的角括號(hào)表示是在一個(gè)軌道周期內(nèi)取平均值。類(lèi)似的，角動(dòng)量的平均變化率為軌道的偏心率越接近于1，即橢圓軌道越長(zhǎng)時(shí)，能量和角動(dòng)量的損耗就越快；而半長(zhǎng)軸越短軌道的衰減也越快。軌道方程的理論力學(xué)推導(dǎo)編輯哈密頓-雅可比方法編輯開(kāi)普勒運(yùn)動(dòng)的軌道方程也可以通過(guò)哈密頓-雅可比方程推導(dǎo)出。這種方法的好處是它可以將一個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)等價(jià)于一束波的傳播，這就很容易進(jìn)而通過(guò)費(fèi)馬原理推導(dǎo)出光線在引力場(chǎng)中的偏折公式。這種方法的解釋是，由于引力場(chǎng)的延時(shí)效應(yīng)，一束波的波前靠近中心質(zhì)量的部分要比遠(yuǎn)離中心質(zhì)量的部分運(yùn)動(dòng)得慢，這就導(dǎo)致了波前傳播方向的改變。使用一般的協(xié)變性，一個(gè)粒子在任意坐標(biāo)下的哈密頓-雅可比方程可以表示為特別地，

20、在史瓦西度規(guī)下這里我們?nèi)匀贿x取了軌道平面位于的球坐標(biāo)系。假設(shè)哈密頓主函數(shù)是可分離變量的，則其應(yīng)具有如下形式：這里和分別是粒子的能量和角動(dòng)量。從哈密頓-雅可比方程可以得到哈密頓主函數(shù)徑向分量的積分解：對(duì)這個(gè)主函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)：將滿足上面得到的軌道方程這種方法也可以被用來(lái)優(yōu)雅地推導(dǎo)出軌道的進(jìn)動(dòng)率8。在質(zhì)量趨于零（或趨于無(wú)窮大）時(shí)，哈密頓主函數(shù)簡(jiǎn)化作下面的形式：從這個(gè)公式可以導(dǎo)出光線在引力場(chǎng)中的偏振公式。拉格朗日方法編輯在廣義相對(duì)論中，無(wú)質(zhì)量粒子在時(shí)空中的運(yùn)動(dòng)軌跡是測(cè)地線，這是等效原理的要求。從最小作用量原理的觀點(diǎn)來(lái)看，測(cè)地線長(zhǎng)度的變分為零，即：這里是固有時(shí)，是測(cè)地線在時(shí)空中的弧長(zhǎng)。在這里的定義是其物理

21、意義類(lèi)似于經(jīng)典力學(xué)中的動(dòng)能。如果將時(shí)空坐標(biāo)的四維分量對(duì)固有時(shí)的導(dǎo)數(shù)寫(xiě)成則可以寫(xiě)成常數(shù)因數(shù)的引入對(duì)變分問(wèn)題的結(jié)果不會(huì)造成影響，因此在積分內(nèi)取變分仍滿足哈密頓原理：從拉格朗日方程可以得到變分問(wèn)題的解對(duì)變量和應(yīng)用，可得到兩個(gè)守恒量：進(jìn)一步可寫(xiě)成和的方程：這也是上面看到的從史瓦西度規(guī)直接得到的結(jié)果。哈密頓原理編輯只受到引力作用的粒子的作用量為其中是任意能夠?qū)⒘Ｗ拥氖澜缇€可微化的參數(shù)，對(duì)這個(gè)作用量使用變分法就可以得到測(cè)地線方程。不過(guò)如果我們對(duì)被積函數(shù)的平方求變分過(guò)程會(huì)更簡(jiǎn)單，根據(jù)度規(guī)這個(gè)平方的形式為取變分如果我們只對(duì)取變分可得兩邊除以就得到了被積函數(shù)的變分：代入哈密頓原理的方程通過(guò)分部積分法在端點(diǎn)處緯度

22、的變分為零，因此等式右邊第一項(xiàng)為零；對(duì)于第二項(xiàng)，由于可以任意取值，只有當(dāng)被積函數(shù)的另一部分處處為零時(shí)才能保證等式右邊為零，因此得到運(yùn)動(dòng)方程：如果我們只對(duì)取變分可得類(lèi)似地，兩邊除以得到被積函數(shù)的變分：根據(jù)哈密頓原理分部積分得到運(yùn)動(dòng)方程對(duì)這兩個(gè)方程積分并指定積分常數(shù)就可以得到上面關(guān)于守恒量的方程對(duì)于能量和角動(dòng)量是常數(shù)的系統(tǒng)，這兩個(gè)方程可以合并為一個(gè)并且對(duì)光子這樣的無(wú)質(zhì)量粒子同樣成立，此時(shí)沿著所描述的測(cè)地線的固有時(shí)總為零。參考文獻(xiàn)編輯引用編輯1. Le Verrier, UJJ. Unknown title. Comptes Revues dAcademie de la Science de Par

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