第2講三角變換與解三角形

1、三角變換與解三角形考情解讀 1.高考中?？疾槿呛愕茸儞Q有關(guān)公式的變形使用，常和同角三角函數(shù)的關(guān)系、誘導(dǎo)公結(jié)合 2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判斷三角形的形狀、求值等，經(jīng)常和三角恒等變換結(jié) 合進(jìn)行綜合考查.斶準(zhǔn)髙考主干知識梳理1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(a3 = sin 久cos B並ososin 0(2) cos(a= cos acos sin osin Btan aan B(3)tan( aB = 1?tan aan B2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2 a= 2sin ccos a.2 2 2 2(2)cos 2a= cos a sin a= 2c

2、os a 1= 1 2sin a.(3)tan 2。二嚴(yán)普.1 tan a3.三角恒等式的證明方法(1)從等式的一邊推導(dǎo)變形到另一邊，一般是化繁為簡.(2)等式的兩邊同時變形為同一個式子.(3)將式子變形后再證明.4正弦定理sih=而=孟=2R(2R為ABC外接圓的直徑變形：a= 2Rsin A, b= 2Rsin B, c= 2Rsin C.sin A=2R，sin B=2R，sin C=2R.a : b : c= sin A : sin B : sin C.5.余弦定理a2= b2+ c2 2bccosA,b2= a2+ c2 2accosB,c2= a2+ b2 2abcosC.2, 2

3、 y2,2.2丄亠人b + c a a + c b推論：cosA=二 ,cos B =-2bc2ac變形：b2 + c2 a2= 2bccosA, a2+ c2 b2= 2accosB,a2 + b2 c2= 2abcosC.1116 .面積公式 SABc= 2bcsin A= 2acsin B= 2absin C3B. 34C-4(2013浙江)已知aR, sina+ 2cos a= 2，則 tan 2 a 等于()433A.3 B.4 C.4 D.思維啟迪(1)利用和角公式化簡已知式子，和2 cos( a+ - n)7.解三角形(1) 已知兩角及一邊，利用正弦定理求解.(2) 已知兩邊及一

4、邊的對角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情況可能不唯一.(3) 已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解.(4) 已知三邊，利用余弦定理求解.熱點(diǎn)分類突進(jìn)行比較.“切化弦”；平方；降次.思維升華(1)三角變換的關(guān)鍵在于對兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式,三角恒等變換公式的熟記和靈活應(yīng)用，要善于觀察各個角之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)題目所給條件與 恒等變換公式的聯(lián)系，公式的使用過程要注意正確性，要特別注意公式中的符號和函數(shù)名的變換，防止出現(xiàn)張冠李戴的情況.(2)求角問題要注意角的范圍，要根據(jù)已知條件將所求角 的范圍盡量縮小，避免產(chǎn)生增解.變式訓(xùn)Si設(shè)函數(shù) f(x)= cos(2x+ p+sinx.(

5、1) 求函數(shù)f(x)的最小正周期和最大值;熱點(diǎn)二解三角形例1、完成考前11頁的考向1和2;(分小組完成) 例2 . (2014江蘇)若 ABC的內(nèi)角滿足 sin A + 侔in B = 2sin C,貝U cos C的最小值是例3仁ABC中，角A, B, C所對的邊分別為a，b，c，滿足a = 2sin A，賽+號+詈 0.(1) 求邊c的大??；(2) 求 ABC面積的最大值.思維啟迪(1)將C0SB+T+ b= 0中的邊化成角，然后利用和差公式求cos C,進(jìn)而求c.(2)cos C c c2 , 12 2a + b c只需求ab的最大值，可利用 cos C= 和基本不等式求解.2ab思維升

6、華三角形問題的求解一般是從兩個角度，即從“角”或從“邊”進(jìn)行轉(zhuǎn)化突破，實(shí)現(xiàn)“邊”或“角”的統(tǒng)一，問題便可突破.幾種常見變形:(1)a : b : c= sin A : sin B : sin C;(2)a= 2Rsin A, b= 2Rsin B, c= 2Rsin C,其中 R 為 ABC 外接圓的半徑;(3) sin(A + B)= sin C, cos(A + B)= cosC.A B5例4.已知角A、B、C是 ABC的三個內(nèi)角，若向量 m= (1 cos(A + B), col廠),n = Q, cosAB)，且 m n= 8.(1)求 tan Atan B 的值;,absin C 砧

7、曰亠居求a2+ b2 c2的最大值例 5.在 ABC 中，角 A, B, C 所對的邊分別為 a, b, c, q= (2a,1), p= (2b c, cos C),且 q II p.(1)求sin A的值;2cos 2C(2)求三角函數(shù)式+ tan C + 1的取值范圍熱點(diǎn)三 正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用例1 (2013江蘇)如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn) A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到 C,另一種是先從 A沿索道乘纜車到 B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從 A處下山，甲沿 AC勻速步行，速度為 50 m/min.在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1

8、 min后，再從B勻速步行到 C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動的速度為12130 m/min，山路 AC 長為 1 260 m，經(jīng)測量 cos A=,3cos C 5.求索道AB的長;(2)問：乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短?(3)為使兩位游客在 C處互相等待的時間不超過 3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？思維升華 求解三角形的實(shí)際問題， 首先要準(zhǔn)確理解題意,分清已知與所求，關(guān)注應(yīng)用題中的有關(guān)專業(yè)名詞、術(shù)語，如方位角、俯角等；其次根據(jù)題意畫出其示意圖，示意圖起著關(guān)鍵的作用；再次將要求解的問題歸結(jié)到一個或幾個三角形中，通過合理運(yùn)用正、余弦定理等有關(guān)知識建立數(shù)學(xué)模型，從而正確求解，演算過

9、程要簡練，計算要準(zhǔn)確；最后作答.變式訓(xùn)練1如圖，中國漁民在中國南海黃巖島附近捕魚作業(yè)，中國海監(jiān)船在A地偵察發(fā)現(xiàn)，在南偏東60方向的B地，有一艘某國軍艦正以每小時13海里的速度向正西方向的 C地行駛，企圖抓捕正在C地捕魚的中國漁民.此時， C地位于中國海監(jiān)船的南偏東45。方向的10海里處，中國海監(jiān)船以每小時30海里的速度趕往 C地救援我國漁民，能不能及時趕到？(21.41，護(hù)1.73, 西2.45)I本講規(guī)律總結(jié)I 1.求解恒等變換問題的基本思路角二名三結(jié)構(gòu)，即用化歸轉(zhuǎn)化思想“去異求同”的過程，具體分析如下: (1)首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變換形式，角的變換是三角函數(shù)變換的 核

10、心.其次看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通?！扒谢摇?(3) 再次觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).2.解三角形的兩個關(guān)鍵點(diǎn)(1)正、余弦定理是實(shí)現(xiàn)三角形中邊角互化的依據(jù),注意定理的靈活變形，如a= 2Rsin A,sin A= 2R(其中2R為三角形外接圓的直徑 ),a2+ b2 c2= 2abcos C等，靈活根據(jù)條件求解三角形中的邊與角.如利用“三角形的內(nèi)角和等于 n”(2)三角形的有關(guān)性質(zhì)在解三角形問題中起著重要的作用,A+ BC和誘導(dǎo)公式可得到 sin(A + B) = sin C, sin Acos C等，利用“大邊對大角”可以解決 解三角形中的增解問題等.3利用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是

11、如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，抽象 出三角形模型.專題突破練（推薦時間：60分鐘）、選擇題1.（2014浙江）為了得到函數(shù)y= sin 3x+ cos 3x的圖象，可以將函數(shù)y=/2cos 3x 的圖象（）A .向右平移4個單位B.向左平移n個單位C. 向右平移12個單位D.向左平移誇個單位-n2.已知 a(2 n,sin(a+ 4)4丿=533，則cos a等于（）b.70C.3.在 ABC 中，若3, b2 a2 = |ac,則 cos B 的值為(代3B-2C-5D.44. （2013陜西）設(shè) ABC的內(nèi)角A, B, C所對的邊分別為a, b,C, 若 bcos C + ccos B =asin人，則 ABC的形狀為（A .銳角三角形B. 直角三角形C.鈍角三角形D.不確定5.已知 ABC中，角A、B、2771C的對邊分別是 a、b、c,且tan B =孑2+ c?, BC BA =夕則ta n B等于（）ba/3-1C. 2D. 273二、填空題6.已知tan1n3,且-2 a0，則2 .2sin a+ sin 2 acos(a-n2 27.在 ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為