具有在位勢(shì)的二維單原子晶格的色散關(guān)系

1、第45卷第5期蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào)Vol. 45 No. 52019年10月Journal of Lanzhou University of TechnologyOct. 2019文章編號(hào)：1673-5196(2019)05-0170-03具有在位勢(shì)的二維單原子晶格的色散關(guān)系呂愷9毛杰鍵（上饒師范學(xué)院物理與電子信息學(xué)院，江西上饒334001）摘要：在簡(jiǎn)諧近似下，求解了具有在位勢(shì)的二維單原子晶格振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程并得到其色散關(guān)系，討論了在位勢(shì)、 次近鄰互作用常數(shù)等參數(shù)對(duì)二維單原子晶格振動(dòng)影響的基本特點(diǎn).關(guān)鍵詞：晶格振動(dòng)；在位勢(shì)；色散關(guān)系中圖分類號(hào)：0481文獻(xiàn)標(biāo)志碼：AChromatic disper

2、sion relation of two-dimensional monatomiclattice with on-site potentialLU Kui，MAO Jie-jian(School of Physics and Electronic Information, Shangrao Normal University, Shangrao 334001, China)Abstract: The solution of the kinematic equation of vibration of two-dimensional monatomic lattice with on-site

3、 potential and the dispersion relation as well are obtained under simple harmonic approximation and the essential feature of the effect of on-site potential and sub-neighboring interaction constant on lattice vi bration is discussed.Key words: lattice vibration； on-site potential； chromatic dispersi

4、on relation在實(shí)際晶格中,原子間存在相互作用勢(shì)能，當(dāng)原 有1個(gè)原子,原子質(zhì)量為M,以 5）表示第n個(gè)原子處于特定的介質(zhì)或場(chǎng)中時(shí)，同時(shí)可能存在與鄰近 子在Q （ = 4夕）方向離開(kāi)平衡位置的位移,7；表示在原子無(wú)關(guān)的在位勢(shì)能關(guān)于在位勢(shì)能對(duì)晶格色散關(guān) 位勢(shì)能的力常數(shù)，則在簡(jiǎn)諧近似下，具有在位勢(shì)的二系的影響，人們已做了大量研究工作，例如潘雪琴 維晶體振動(dòng)的哈密頓量為等研究了具有在位勢(shì)的一維雙原子鏈晶格振動(dòng)的長(zhǎng)聲學(xué)波模振動(dòng)圖像;任益充等運(yùn)用全量子化的不變本征算符方法,討論了一維雙原子鏈中不同在位勢(shì)系數(shù)之比和力常數(shù)對(duì)于色散關(guān)系高頻支和低頻支的影響;高欽翔等在小振動(dòng)情況下，討論了非簡(jiǎn)諧在+工加（

5、咒）位勢(shì)對(duì)一維雙原子鏈晶格振動(dòng)色散關(guān)系的影響等這na式中:伽（”同=妝（議心）是格點(diǎn)處于平些工作大多針對(duì)一維晶格，而關(guān)于在位勢(shì)對(duì)二維或三維晶格振動(dòng)色散關(guān)系的影響的研究目前并不多見(jiàn)為 衡位置時(shí)，系統(tǒng)的互作用勢(shì)能U對(duì)位移矢量的二階此，本文在簡(jiǎn)諧近似下考慮在位勢(shì)能的作用，推導(dǎo)二 偏導(dǎo)，即 陽(yáng)（咒，觀）表示第咒個(gè)與第觀個(gè)原子之間的維單原子晶格的振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程，并討論在位勢(shì)能、 互作用力常數(shù)在周期性邊界條件下,晶體具有平移次近鄰互作用力常數(shù)等參數(shù)對(duì)其色散關(guān)系的影響.對(duì)稱性意味著力常數(shù)0（弘觀）僅依賴于R（小1振動(dòng)方程的建立及求解此時(shí)應(yīng)有%0（咒，觀）= ymeam）em）2）考慮含有N個(gè)原胞的二維晶體,

6、設(shè)每個(gè)原胞中式中:氐（觀）、（觀）分別1表示沿KS）方向的單位矢在q 、/?（=4夕）上的分量;冷表示第咒個(gè)原子和第收稿日期：2018-06-05加個(gè)原子之間的彈性耦合系數(shù).由于任何一個(gè)原子基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金 11747109）作者簡(jiǎn)介：呂 眉（1970-）,男，江西橫峰人，副教授.受到其它原子作用之和應(yīng)為零，可知:第5期呂嘉等:具有在位勢(shì)的二維單原子晶格的色散關(guān)系171丫卩訓(xùn)(咒，觀)=0(3)常數(shù)可求得對(duì)式(1)進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)算可得到其晶格振動(dòng)方程為cos kxa 一 cos kya +Mua(n) = 丫卩訓(xùn)(咒，觀)況0(觀)一 TjUa(n)g(2 一 2cos kxacos k

7、ya) + 士(4) V(cos kxa cos kya) 2 + 4g2 (sin kxasin kya) 2由于晶體的平移對(duì)稱性,可設(shè)式(2)的解為行波解:(10)uaQn) =P03-k.RS)(5)對(duì)于二維單原子晶格，色散關(guān)系具有k = Q時(shí)式中:或(7=1，2)是偏振矢量嘰在Q方向的分量;e=0特征的格波為聲學(xué)模 0時(shí)3工0特征的格3是振動(dòng)頻率;KQ)是第n個(gè)原子的位置矢量;P是 波為光學(xué)模.由式(10)容易證明,在位勢(shì)0=0時(shí)振動(dòng)幅度二維單原子正方晶格的兩支格波均為聲學(xué)模，而將式(5)代入式(4)可得0工0時(shí)兩支格波均為光學(xué)模.亦 = 2 Dapgeh + 徐爲(wèi)(6)3討論和結(jié)論式

8、中稱為動(dòng)力學(xué)矩陣.因晶格振動(dòng)的頻率是倒易點(diǎn)陣的周期函數(shù)，所=需工陽(yáng)S)嚴(yán)如-s以只需在第一布里淵區(qū)中討論格波色散關(guān)系.二維單原子正方晶格的第一布里淵區(qū)如圖1所示，其中式具有非零解的條件是其系數(shù)行列式為零，即久高對(duì)稱點(diǎn) 1X0,0) ,X(兀/q , 0)和 M(7tA,7tA).下面期方程為求第一布里淵區(qū)高對(duì)稱點(diǎn)(線)上的振動(dòng)頻率.D訓(xùn) Cfc) + (診一32)5訓(xùn)=0(8)由式(8)可求出振動(dòng)模的本征頻率，相應(yīng)偏振矢量族?？捎墒?6)得到并滿足正交性條件% 0仁令；0和完備性條件 * el a =Sap.2色散關(guān)系圖1二維單原子正方晶格的第一布里淵區(qū)Fig. 1 First Brillou

9、in zone of two-dimensional monatomic為簡(jiǎn)單起見(jiàn),本文考慮一個(gè)二維單原子正方晶quadratic lattice格，晶格常數(shù)為取晶格中任一原子為研究對(duì)象,對(duì)于5=(r_M)方向kx=ky=kE o，兀/q ，令其所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，記為& (0,0),則其最近 則鄰原子位置分別記為Ki ( 1,0),從(一1，0)，尺3(0， 1 0+ -20)1 =如V21)(0,-1),次近鄰原子位置分別記為R (I, I), J?6(l，一 1)，尺7( 1，一 1)，尺8( 1，1)設(shè)最近鄰原蝕 +1 02子和次近鄰原子間的彈性耦合常數(shù)分別為乃*2V2 一由式(2,

10、3)確定各原子間互作用力常數(shù)相應(yīng)偏振矢量紋=亍71)=破與波矢?jìng)鞑シ较蜿?yáng)(&，只)(Q，“=z,夕，s = o, 1，8),代入式(7)可得平行，故仙為縱波心=借一舟)=逛與波矢?jìng)鱀竝(fc)=3紅1 cos kxa +播方向垂直，故妙為橫波.g(l 一 cos kxacos kya)對(duì)于=(廠一X)方向，饑=0,爲(wèi)=怡&Dxy (fc) =Dg(k)詮sin kasin kya(9)0，tt /q ，則0)1 =- (1 +g) (1 cos 加 )+Dyy (fc) cos kya +血=號(hào) g( cos 加)+ *0、g(l 一 cos kxacos kya)式中： = 471/M是僅考

11、慮最近鄰互作用時(shí)的格波 相應(yīng)偏振矢量咬=(1,0)=或與波矢?jìng)鞑シ较蚱秸駝?dòng)最大頻率=是相對(duì)彈性耦合常數(shù)將 行，故仙為縱波，幺& = (0,1) =el與波矢?jìng)鞑シ较蚴?9)代入久期方程(8),并引入在位勢(shì)能的相對(duì)力 垂直，故初為橫波.172蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào)第45卷對(duì)于z三（XM）方向，慫=于心=e波，又非橫波.與文獻(xiàn)5的結(jié)果對(duì)比可知,在三種特殊對(duì)稱方0，兀/刃，則向上格波的偏振矢量與不考慮在位勢(shì)作用時(shí)是相同an =2 + g(l + cos 段a) + *0的,即在位勢(shì)不影響格波的偏振特性.三種特殊對(duì)稱方向的色散關(guān)系如圖2所示分1 一 cos kfa + g(1 + cos kfa ) + *

12、0別取g 0,（p= 0 即只考慮最近鄰互作用）、g =相應(yīng)偏振矢量0zi = （1,0） , %2 = （0,1）與波矢?jìng)鞑シ?0. 25,0=0 即同時(shí)考慮次近鄰互作用）和g = 025, 向（r-z）既不平行也不垂直，所以仙、妙 既非縱 0=0. 4 即同時(shí)考慮次近鄰互作用及在位勢(shì)作用）.圖2二維單原子正方晶格第一布里淵區(qū)的色散關(guān)系曲線Fig. 2 Dispersion relation curve of first Brillouin region of two-dimensional monatomic quadratic lattice從圖2a可看出，當(dāng)只考慮最近鄰原子間互作用論，

13、在此不再贅述.時(shí)Q三CTM 方向上聲學(xué)支縱波仞、橫波妙的色總之，在位勢(shì)對(duì)二維單原子晶格色散關(guān)系的影散關(guān)系曲線重合，出現(xiàn)頻率簡(jiǎn)并現(xiàn)象；三響不同于原子間次近鄰作用力對(duì)色散關(guān)系的影響.（r-x）方向聲學(xué)支橫波頻率3處處為零,縱波頻 次近鄰互作用力使三（r-X 、Z三（XM 方向率仙隨波矢趨于X而增大；Zm XM 方向高頻上各格波頻率增大，藝三（rM）方向縱波頻率增聲學(xué)支頻率仞處處相等，無(wú)色散,低頻聲學(xué)支妙隨大,而橫波頻率不受影響;格波頻率雖有升高,但仍著波矢趨于M而增大三個(gè)對(duì)稱點(diǎn)中,廠點(diǎn)、M點(diǎn)的為聲學(xué)波在位勢(shì)的存在使二維單原子正方晶格各頻率簡(jiǎn)并（仙=O2），X點(diǎn)的頻率非簡(jiǎn)并（仙工02） 點(diǎn)（線）的格

14、波振動(dòng)頻率均向上平移且具有光學(xué)模特從圖2b可看出，當(dāng)同時(shí)考慮次近鄰原子間作用征,并在第一布里淵區(qū)中心產(chǎn)生頻隙;但不影響格波時(shí)，在s=（r-M）方向上，次近鄰互作用對(duì)聲學(xué)支 的偏振特性,也不影響廠點(diǎn)、M點(diǎn)、X點(diǎn)的振動(dòng)簡(jiǎn)并橫波頻率妙沒(méi)有影響，但引起聲學(xué)波縱波頻率仙 度若在位勢(shì)具有三次方、四次方等非簡(jiǎn)諧項(xiàng),對(duì)于增大（廠點(diǎn)除外）；在三（r-x）方向上次近鄰互作 色散關(guān)系的影響會(huì)更加復(fù)雜，將另文討論.用使聲學(xué)支橫波頻率勁、縱波頻率仙均有不同程參考文獻(xiàn)：度上移CT點(diǎn)除外），在z三（X-M）方向上，次近鄰互作用使兩支聲學(xué)支模頻率仙、妙均有不同程度上 1 潘學(xué)琴，劉炳燦，田 強(qiáng).在位勢(shì)對(duì)于一維雙原子鏈晶格振動(dòng)長(zhǎng)移 M點(diǎn)除外）可以看出，次近鄰作用不影響廠點(diǎn)、聲學(xué)波的影響J.大學(xué)物理,2009,28 5）： 11-13.M點(diǎn)的振動(dòng)頻率.2 任益充，范洪義.不變本征算符方法求解含不同在位勢(shì)的一維雙原子鏈的色散關(guān)系J.物理學(xué)報(bào),2013,62 15）：353-35&從圖2c可看出，當(dāng)同時(shí)考慮次近鄰互作用及在3 高欽翔，田強(qiáng).一維非線性雙原子鏈晶格振動(dòng)的色散關(guān)系位勢(shì)作用時(shí),在三種特殊對(duì)稱方向上各點(diǎn)（線）的振J.西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2001 6） : 668-670.動(dòng)頻率仙、妙均增大;廠點(diǎn)、M點(diǎn)、X點(diǎn)的振動(dòng)頻率 4 陳志遠(yuǎn)，張全坤,謝菊芳.計(jì)及次近鄰作用二