海天考研--專項(xiàng)突破填空

1、已知f=2,則lm f(3 -h) -f(3) 2h 設(shè)彳 x =1 t2 y =cost ，則 海天考研-專項(xiàng)突破 填空題（高數(shù)部分）數(shù)三 專用 （周薔編輯整理） 考研高數(shù)三卷面的第二部分為填空題，標(biāo)準(zhǔn)化題量6題, （其中高數(shù)4+線代1+概率1） 對(duì)歷年考研真題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其中填空部分高頻考點(diǎn)如下： 涉及一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的問題 涉及極限相關(guān)的冋題 . 涉及多兀函數(shù)相關(guān)冋題 四. 涉及常微分方程的問題 五. 涉及積分學(xué)的問題 六. 涉及幕級(jí)數(shù)的問題 七. 與經(jīng)濟(jì)聯(lián)系的相關(guān)問題 八. 雜題（涉及函數(shù)性態(tài)方面諸多零碎知識(shí)點(diǎn)） 一、一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算在填空題部分主要涉及： 1. 導(dǎo)數(shù)的極限定義表達(dá)式及其

2、應(yīng)用 2. 各種（）類型函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算（一階，二階）其中要求對(duì)求導(dǎo)公式以及運(yùn) 算法則，復(fù)合函數(shù)運(yùn)算法則等做到極其熟練。（題型涉及求1.導(dǎo)函數(shù)，2. 在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值） 3. 拓展到抽象型函數(shù)的求導(dǎo)，高階導(dǎo)數(shù)，N階導(dǎo)數(shù)的遞推，其中熟記一些重 要結(jié)論和命題，以及總結(jié)一些運(yùn)算的技巧 4. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義，涉及在某點(diǎn)處切線，法線的求法 5. 綜合其他高等數(shù)學(xué)章節(jié)知識(shí) 真題演練： 若 f （t） =lim t（1+l）2tx,則（t） =. x (5) 設(shè)函數(shù)y =y(x)由方程exHy + cos(xy) =0確定，則業(yè)= dx d 2 (6) 2 xcost dt =. dx 3 J. （2）設(shè) f （

3、x）連續(xù)且，L f （t）dt =x,則 f =. d /2 (7) sin(x-t) dt = dx 0 t2 (8)設(shè) x=e_,y = J0ln(1+u )du,求 d2y t _0 (9) 設(shè)函數(shù)y = y(x)由方程y = 1_xey確定，則dyL_o = dx1 _ (10) 設(shè) y =(1 +sin x)x，則 dy x= . (11)設(shè)y = y(x)是由方程xy eyx 1確定的隱函數(shù)，則 2x t2 (12)設(shè) f (x) et dt 1 , y 二 f (x)的反函數(shù)是 y 二(x)，則(1) = (13) 曲線sin xy In y-x二x在點(diǎn)0,1處的切線方程為 .

4、(14) 曲線y = In x上與直線x + y = 1垂直的切線方程為 . (15) 設(shè)函數(shù)f (x)在x=0點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且|計(jì)里=：2，則曲線y=f(x) 7ex -1 在x=0處的法線方程為. (16) x - I 曲線0 y =t2 ln(2t2) 1- t 丄2 9 e U在(0, 0)處的切線方程為 (17) (18) ”八、X 二 cost cos21 t ,宀十 二 曲線 1 lim (cos x)ln(1*)= x_0 (8) lim 皿山= x0 1 - cos x (9)設(shè)f (x)在x =0點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且f (0) =1，則 x t dt.(u)du li

5、m x 0 (10)若函數(shù)y =f(x)處處二階可導(dǎo)，且點(diǎn)(p, f(p)是曲線y -0 2 sin x -f(x)的拐點(diǎn)， 則 lim lim f(p k h)-f(p k)-f(p h) f(p) 0 ILh0kh kh (11 )已知函數(shù) f(x)連續(xù)，且 lim 1 一 CSxf (x)二 1，則 f(0) = t (ex -1)f (x) (12) limarCtanxsinx X 2 (13)當(dāng) x 0時(shí)，：(x) =kx2與：(x) = .1 xarcsinx _._cosx是等價(jià)無窮小, 1 2x x 2 (15) lim n_sc 1 0e sin nxdx 二 (16) 設(shè)

6、a為非零常數(shù)，則lim(耳)x =. x a 1 2 一 (17) 已知當(dāng)x_. o時(shí),(1 ax )3 -1與cos x -1是等價(jià)無窮小，則常數(shù)a = (18) 2x 極限lim xsin x +1 (19)若 lim 羅 x (cosx _ b)二 5，則 a 二， b = xT0ex _a (21) lim x : X3X21 2xx3 (sin x + cos x) = (22) cosx e e lim x 0 31 x2 -1 三、多元函數(shù)微分學(xué)在填空題部分 涉及：1.二元具體型或者抽象型函數(shù)在某點(diǎn)處的一階或二階偏導(dǎo)數(shù)， 2. 二元函數(shù)具體型或者抽象型在某點(diǎn)處的全微分， 3. 多

7、元抽象型函數(shù)(高頻：二元)的高階偏導(dǎo)數(shù)，以及相關(guān)涉及偏導(dǎo)數(shù)的 代數(shù)式計(jì)算或者化簡(jiǎn) 真題演練： (1)由方程 xyz x2 y2 z2所確定的函數(shù) z=z(x,y)在點(diǎn)(1,0, _1)處的全微分 dz =. -.2 設(shè)u =esin二則一在點(diǎn)(2,-)處的值為 . ycxcyn :2 設(shè)z =丄f (xy) + y(x + y), f,護(hù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則上蘭=. x玫 設(shè)f (u, v)為二元可微函數(shù)，z = f (xy, yX)，則蘭= 農(nóng)z 設(shè)函數(shù)f u,v具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，z = f x, xy ,則 (1,2) (7)設(shè)z = f(xy,-)，且f有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 x j2z

8、 .:xy (8)設(shè)函數(shù)f u,v由關(guān)系式f xg(y) , y= x - g(y)確定，其中函數(shù)g(y)可微, 2 f 且 g(y) =0，則一 占朋v (9)設(shè)二元函數(shù) z =xex4y +(x+1)ln(1+y)，則 dz (1,0) (10 )設(shè)函數(shù)f (u)可微，且 1 . 2 2 f 0,則z = f 4x- y 在點(diǎn)(1,2)處的全微分 2 dz ,2 (11)設(shè)f (u, v)是二元可微函數(shù), z = fd),則三一宀 x y rx ry Pz (12)設(shè) z = (x + ey)x，則竺 Ex (1,0) x (13)設(shè)函數(shù) z = (1 + x)y，則 dz|(10)= y

9、 四、常微分方程在填空部分主要涉及： 1各類微分方程的解法(一階，二階) 2非齊次微分方程的解的結(jié)構(gòu) 3反問題，通過通解或者特解來構(gòu)造微分方程 4. 熟記二階微分方程的特解相關(guān)設(shè)法，以及通解結(jié)構(gòu) 真題演練： (1)方程ysinx = ylny滿足科一 =e的特解是 (2丿 微分方程y + y tan x =cos x的通解為y= 微分方程y“2y +2y =ex的通解為. 2x (4) y“4y =e 的通解為 y = 微分方程xy ” +3廠=0的通解為 . 設(shè)y =ex(asin x bcosx)(a,b為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解 該方程為. yy “ + y Q =

10、 0滿足初始條件 y(0) = 1,y IO)=丄的特解是. 2 (8) 已知 f (ex)=xe*,且 f=0,則 f(x) = (9) 微分方程y = y(1 x)的通解是. x (10) 二階常系數(shù)非齊次線性方程y ” 4y+3y = 2e2x的通解為y=. (11) 微分方程xy y =0滿足條件y 1 =1的解是 y. (12) 若二階常系數(shù)線性齊次微分方程y ay by =0的通解為y二G Qx e： 則非齊次方程y ：ayby =x滿足條件y 0 = 2, y 0 =0的解為y二 (13) 設(shè)二階常系數(shù)線性微分方程y 二:詡ly = e的一個(gè)特解 為y =ex +(1 +x)e，

11、則此方程的通解為 . (14) 二階常系數(shù)非齊次微分方程y-4y+3y = 2e2x的通解為y=. (15) 微分方程y =. y(1 X)的通解是 x 1 (16) 設(shè) f (x)是連續(xù)函數(shù)，且 f(x)=x+2(0 f (t)dt,則 f (x) =. (17) 微分方程y + y = e=cosx滿足條件y(0)=0的解y= (18) 3階常系數(shù)線性齊次微分方程y-2y+y-2y =0的通解為y= (19) 微分方程(y+x2e心)dx xdy = 0的通解是y=. (20) 微分方程x/ + 0滿足初始條件y(1) = 2的特解為. (21 )微分方程xy，y =0滿足條件y(1)=1

12、的解y二. (22 )微分方程 女=_()滿足y 乂三=1的特解為_. dx x 2 x (23)微分方程xy+2y = xlnx 滿足y(1) = 1的解為. 9 五、積分學(xué)在填空題部分主要涉及： 1. 定積分計(jì)算(重點(diǎn)：特殊類型函數(shù)，或者應(yīng)用特殊方法求解的定積分題型，奇 偶性,周期性，熟記一些重要結(jié)論，以及公式)， 2. 定積分幾何意義(求面積，旋轉(zhuǎn)體體積)， 3. 廣義積分計(jì)算 4. 二重積分(交換積分次序，特殊形式的積分函數(shù)的計(jì)算，選取合適的坐標(biāo)系， 對(duì)稱性) 5. 反問題(通過積分值求參數(shù)) 6. 簡(jiǎn)單綜合(其他相關(guān)章節(jié)知識(shí)點(diǎn)融合，比如：極限等) 真題演練： 2 2 y2 (1)積分

13、 J0 dx e dy的值等于 2 1 1 (7)1 訂 dx = (8) 由曲線y=l nx與兩直線y=e_x及y=0所圍成的平面圖形的面積是 0 (9)若函數(shù)f (x, y)在D : x 2 設(shè)區(qū)域d為x2+y2蘭R2,則(冷+)dxdy= D a b (4) 2x _x2dx= 01 _y 交換二次積分的積分次序 ：Jjdy J? f (x, y)dx = dx xln2x y2 _ 4上連續(xù)，且 xy . . f(x, y)dxdy = f (x, y) -2，貝V f (x, y) = D 1 1 2 (10) dy e dx= ，0 Ly x (11)已知曲線的方程為f(x) (1

14、 - |t|)dt，則曲線y二f (x)與x軸圍成的平面圖形的 4 面積為 (13) (12 )廣義積分 xdx 2 2 (2 -x )1 -x y 1 Jx(1 + In2 x) 繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得空間區(qū)域的體積為 (18) 1x+x3 設(shè)a廣弋 2、2 則 2 f(X)dX = (19) 設(shè) f(x)= (20) (21) xe x2 ，圓 設(shè) D =( x, y) x2y2 0-he (15) 設(shè)函數(shù)u, x 二 u，則 xf(x)dx = 2- (16) 設(shè)平面曲線y二-1，直線X = 2及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋 轉(zhuǎn)體的體積為 (17)設(shè)位于曲線 (e空x ： ：)下方

15、，x軸上方的無界區(qū)域?yàn)?G,貝V G 2 、 六、幕級(jí)數(shù)-填空題部分的幕級(jí)數(shù)考題主要涉及 1. 考察收斂半徑，收斂區(qū)間，收斂域的求法 2. 對(duì)于某個(gè)給定的幕級(jí)數(shù)，考察其在某點(diǎn)處收斂發(fā)散的情況 3. 求和函數(shù)，拓展到求某個(gè)具體數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和 真題演練： (1)幕級(jí)數(shù) J-x2nJ的收斂半徑R=- ni2 +(-3) 設(shè)幕級(jí)數(shù) h anxn的收斂半徑為3,則幕級(jí)數(shù)nan(x-十的收斂區(qū)間為 n去n唱 qQ 已知幕級(jí)數(shù)xan x 2 -在x = 0處收斂，在x二-4處發(fā)散， n =0 則幕級(jí)數(shù) Wan(x-3$的收斂域?yàn)?. n =0 qQ (4)級(jí)數(shù)Z(2n +cos nkn的收斂區(qū)間為 . n =1 (6 )冪級(jí)數(shù)二n的收斂半徑為 n 4 n f x 3 (7 )求幕級(jí)數(shù)的收斂域 n4 n 3 七、涉及經(jīng)濟(jì)問題 真題演練: (1 )設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為 Q=Q(P),其對(duì)應(yīng)價(jià)格P的彈性=0.2，則當(dāng)需求量為10000 件時(shí)，價(jià)格增加1元會(huì)使產(chǎn)品收益增加 (2)設(shè)某商品的收益函數(shù)為R(p)，收益彈性為1 p3，其中p為價(jià)格，且R(1) =1，則 R(p)- 八、雜題(涉及函數(shù)性態(tài)的諸多知識(shí)點(diǎn)，漸近線方程，極值最值，單 調(diào)性，凹凸性，連續(xù)性，間斷點(diǎn)，駐點(diǎn)，拐點(diǎn)，零點(diǎn)，切點(diǎn)) 真題演練: (1)設(shè)函數(shù) f (x)二 X2 + 1,