2021年普通高等學校夏季招生考試數(shù)學理工農(nóng)醫(yī)類(浙江卷)

1、2021年普通高等學校夏季招生考試數(shù)學理工農(nóng)醫(yī)類(浙江卷)2008年普通高等學校夏季招生考試數(shù)學理工農(nóng)醫(yī)類（浙江卷） 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 （1）已知a 是實數(shù)，iia +-1是純虛數(shù)，則a = （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）-2（2）已知U=R ，A=0|x x ,B=1|-x x ,則（A ()()=A C B B C A u u （A ）? （B ）0|x x （C ）1|-x x （D ）10|-x x x 或 （3）已知a ，b 都是實數(shù)，那么“22b a ”是“a b ”的（A ）充

2、分而不必要條件 （B ）必要而不充分條件（C ）充分必要條件 （D ）既不充分也不必要條件（4）在)5)(4)(3)(2)(1(-x x x x x 的展開式中，含4x 的項的系數(shù)是 （A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）274（5）在同一平面直角坐標系中，函數(shù))20)(232cos(，+=x x y 的圖象和直線21=y 的交點個數(shù)是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4（6）已知n a 是等比數(shù)列，41252=a a ，則13221+n n a a a a a a = （A ）16（n-41） （B ）16（n-21）（C ）332（n -41） （D ）332（

3、n-21） （7）若雙曲線12222=-by a x 的兩個焦點到一條準線的距離之比為3：2,則雙曲線的離心率是（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5 （8）若,5sin 2cos -=+a a 則a tan =（A ）21 （B ）2 （C ）21- （D ）2-（9）已知a ，b 是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量c 滿足0)()(=-?-c b c a ,則c 的最大值是（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）22（10）如圖，AB 是平面的斜線段，A 為斜足，若點P 在平面內(nèi)運動，使得ABP 的面積為定值，則動點P 的軌跡是（A ）圓 （B ）橢圓 （C ）一條直線 （

4、D ）兩條平行直線 第卷（共100分）注意事項：1黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題紙上，不能答在試題卷上。2在答題紙上作圖,可先使用2B 鉛筆，確定后必須使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆描黑。 二填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分。（11）已知a 0，若平面內(nèi)三點A （1，-a ），B （2，2a ），C （3，3a ）共線，則a =_。（12）已知21F F 、為橢圓192522=+y x 的兩個焦點，過1F 的直線交橢圓于A 、B 兩點 若1222=+B F A F ，則AB =_。 （13）在ABC 中，角A 、B 、C 所對的邊分別為a 、b 、c ，若()C a A c b co

5、s cos 3=-，則=A cos _。（14）如圖，已知球O 點面上四點A 、B 、C 、D ，DA 平面ABC ，AB BC ，DA=AB=BC=3，則球O 點的體積等于_。 （15）已知t 為常數(shù)，函數(shù)t x x y -=22在區(qū)間0，3上的最大值為2，則t=_。（16）用1，2，3，4，5，6組成六位數(shù)（沒有重復數(shù)字），要求任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰，這樣的六位數(shù)的個數(shù)是_（用數(shù)字作答)。（17）若0,0b a ，且當?+1,0,0y x y x 時，恒有1+by ax ，則以a ,b 為坐標點P （a ，b ）所形成的平面區(qū)域的面積等于_。三解答題：本大題共5小題，共

6、72分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 （18）（本題14分）如圖,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE/CF ，BCF=CEF=?90,AD=3,EF=2。（）求證：AE/平面DCF ；（）當AB 的長為何值時,二面角A-EF-C 的大小為?60？ （19）（本題14分）一個袋中有若干個大小相同的黑球、白球和紅球。已知從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是52；從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是97。 （）若袋中共有10個球，（i ）求白球的個數(shù)；（ii ）從袋中任意摸出3個球,記得到白球的個數(shù)為,求隨機變量的數(shù)學期望E 。（）求證：從袋中任意摸出2個球

7、，至少得到1個黑球的概率不大于107。并指出袋中哪種顏色的球個數(shù)最少。（20）（本題15分）已知曲線C 是到點P （83,21-）和到直線85-=y 距離相等的點的軌跡。l 是過點Q （-1，0）的直線，M 是C 上（不在l 上）的動點；A 、B 在l 上，x MB l MA ,軸（如圖）。（）求曲線C 的方程；（）求出直線l 的方程，使得QAQB2為常數(shù)。 （21）（本題15分）已知a 是實數(shù)，函數(shù))()(a x x x f -=。（）求函數(shù))(x f 的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè))(a g 為)(x f 在區(qū)間2,0上的最小值。（i ）寫出)(a g 的表達式；（ii ）求a 的取值范圍，使得2)(

8、6-a g 。（22）（本題14分）已知數(shù)列n a ，0n a ，01=a ，)(12121?+N =-+n a a a n n n 記nn a a a S += 21)1()1)(1(1)1)(1(11121211n n a a a a a a T += 求證：當?N n 時， （）1+n S n ； （）3參考答案 一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算每小題5分，滿分50分 1A 2D 3D 4A 5C 6C 7D 8B 9C 10B二、填空題：本題考查基本知識和基本運算每小題4分，滿分28分 111+ 128 1314 92 151 1640 171三、解答題18本題主要考查空間線面關(guān)

9、系、空間向量的概念與運算等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力和推理運算能力滿分14分 方法一：（）證明：過點E 作EG CF 交CF 于G ，連結(jié)DG ，可得四邊形BCGE 為矩形，又ABCD 為矩形， 所以AD EG，從而四邊形ADGE 為平行四邊形， 故AE DG 因為AE ?平面DCF ，DG ?平面DCF ， 所以AE 平面DCF （）解：過點B 作BH EF 交FE 的延長線于H ，連結(jié)AH 由平面ABCD 平面BEFC ，AB BC ，得 AB 平面BEFC ， 從而AH EF 所以AHB 為二面角A EF C -的平面角在Rt EFG 中，因為EG AD =2EF =，所以60CFE

10、 =，1FG =又因為CE EF ，所以4CF =， 從而3BE CG =于是233sin =?=BEH BE BH 因為AHB BH AB ?=tan ，所以當AB 為92時，二面角A EF C -的大小為60方法二：如圖，以點C 為坐標原點，以CB CF ，和CD 分別作為x 軸，y 軸和z 軸，建立D A B EFCHG空間直角坐標系C xyz - 設(shè)AB a BE b CF c =，則(000)C ，)A a ，0)B ，0)E b ，(00)F c ， （）證明：(0)AE b a =- ，0)CB = ，(00)BE b = ， 所以CB 平面ABE 因為CB 平面DCF ，所以平

11、面ABE 平面DCF 故AE 平面DCF （）解：因為(0)EF c b =- ，0)CE b =， 所以0=?，|2EF =，從而 3()02b c b -+-=?=， 解得34b c =，所以0)E ，(040)F ， 設(shè)),1(z y =n (1)n y z =，與平面AEF 垂直， 則0,0=?=?n n ，解得)33,3,1(a=n 又因為BA 平面BEFC ，(00)BA a =，所以2127433|,cos |2=+=?=a = 所以當AB 為92時，二面角A EF C -的大小為6019本題主要考查排列組合、對立事件、相互獨立事件的概率和隨機變量分布列和數(shù)學期望等概念，同時考查

12、學生的邏輯思維能力和分析問題以及解決問題的能力滿分14分 （）解：（i ）記“從袋中任意摸出兩個球，至少得到一個白球”為事件A ，設(shè)袋中白球的個數(shù)為x ，則2102107()19xC P A C -=-=，得到5x =故白球有5個（ii ）隨機變量的取值為0，1，2，3，分布列是的數(shù)學期望155130123121212122E =?+?+?+?= （）證明：設(shè)袋中有n 個球，其中y 個黑球，由題意得25y n =， 所以2y n 112y n - 記“從袋中任意摸出兩個球，至少有1個黑球”為事件B ，則 23()551y P B n =+?- 231755210+?= 所以白球的個數(shù)比黑球多，

13、白球個數(shù)多于25n ，紅球的個數(shù)少于5n 故袋中紅球個數(shù)最少20本題主要考查求曲線的軌跡方程、兩條直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力滿分15分（）解：設(shè)()N x y ，為C 上的點，則|NP =N 到直線58y =-的距離為58y +58y =+化簡，得曲線C 的方程為21()2y x x =+ （）解法一：設(shè)22x x M x ?+ ?，直線:l y kx k =+，則()B x kx k +，從而|1|QB x =+在Rt QMA 中，因為222|(1)14x QM x ?=+ ?，2222(1)2|1x x k MA k ?+- ?=+所以222222(

14、1)|(2)4(1)x QA QM MA kx k +=-=+ . 212|2|1|kkx x QA +?+=，|21|1)1(2|222kx x k k k QA QB +?+=當2k =時，2|QB QA =從而所求直線l 方程為220x y -+=解法二：設(shè)22x x M x ?+ ?，直線:l y kx k =+，則()B x kx k +，從而 |1|QB x =+過Q (10)-，垂直于l 的直線11:(1)l y x k=-+ 因為|QA MH =，所以212|2|1|kkx x QA +?+=，|21|1)1(2|222kx x k k k QA QB +?+=當2k =時，2

15、|QB QA =從而所求直線l 方程為220x y -+=21本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、求導、導數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，同時考查分類討論思想以及綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力滿分15分 （）解：函數(shù)的定義域為0)+， ()f x =（0x ） 若0a ，則()0f x ，()f x 有單調(diào)遞增區(qū)間0)+，若0a ，令()0f x =，得3ax =， 當03ax ax 時，()0f x ()f x 有單調(diào)遞減區(qū)間03a ?，單調(diào)遞增區(qū)間3a ?+ ?，（）解：（i ）若0a ，()f x 在02，上單調(diào)遞增， 所以()(0)0g a f =若06a ?，上單調(diào)遞減，在23a ? ?，上單調(diào)遞

16、增，所以()3a g a f ?=?若6a ，()f x 在02，上單調(diào)遞減，所以()(2)g a f a =-綜上所述，00()06)6a g a a a a ?=（ii ）令6()2g a - 若0a ，無解若06a ，解得62a + 故a的取值范圍為32a +22本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系，數(shù)學歸納法、不等式證明等基礎(chǔ)知識和基本技能，同時考查邏輯推理能力滿分14分 （）證明：用數(shù)學歸納法證明當1n =時，因為2a 是方程210x x +-=的正根，所以12a a ()n k k =N 時，1k k a a +因為221k k a a +-222211(1)(1)k k k k a a a a +=+-+-2121()(1)k k k k a a a a +=-+， 所以12k k a a +即當1n k =+時，1n n a a +根據(jù)和，可知1n n a a +n N 都成立（）證明：由22111k k k a a a +-=，121k n =- ，（2n