二元一次方程(組)補習(xí)、培優(yōu)、競賽經(jīng)典歸類講解、練習(xí)及答案

1、二元一次方程（組）補習(xí)、培優(yōu)、競賽歸類講解及練習(xí)答案知識點：1、 二元一次方程：（1）方程的兩邊都是整式，（2）含有兩個未知數(shù)，（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是一次。2、二元一次方程的一個解：使二元一次方程左右兩邊相等的兩個未知數(shù)的值叫二元一次方程的一個解。3、二元一次方程組：含有兩個未知數(shù)的兩個二元一次方程所組成的方程組。4、 二元一次方程組的解：二元一次方程組中各個方程的公共解。（使二元一次方程組的兩個方程左、右兩邊的值都相 等的兩個未知數(shù)的值）的形式。無論是二元一次方程還是二元一次方程組的解都應(yīng)該寫成5、二元一次方程組的解法：基本思路是消元。（1）代入消元法：將一個方程變形，用一個未知數(shù)的式子表

2、示另一個未知數(shù)的形式，再代入另一個方程，把二元消去 一元，再求解一元一次方程。主要步驟：變形一一用一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)。代入一一消去一個元。求解一一分別求出兩個未知數(shù)的值。寫解一一寫出方程組的解。（2）加減消元法：適用于相同未知數(shù)的系數(shù)有相等或互為相反數(shù)的特點的方程組，首先觀察出兩個未知數(shù)的系數(shù)各自 的特點，判斷如何運用加減消去一個未知數(shù)；含分母、小數(shù)、括號等的方程組都應(yīng)先化為最簡形式后再用這兩種方法 去解。變形一一同一個未知數(shù)的系數(shù)相同或互為相反數(shù)。加減一一消去一個元。求解一一分別求出兩個未知數(shù)的值。寫解一一寫出方程組的解。（3）列方程解應(yīng)用題的一般步驟是：關(guān)鍵是找出題目中的兩

3、個相等關(guān)系，列出方程組。 列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟可概括為“審、找、列、解、答”五步，即： 審：通過審題，把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，分析已知數(shù)和未知數(shù)，并用字母表示其中的兩個未知數(shù)。 找：找出能夠表示題意兩個相等關(guān)系。 列：根據(jù)這兩個相等關(guān)系列出必需的代數(shù)式，從而列出方程組。 解：解這個方程組，求出兩個未知數(shù)的值。 答：在對求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎(chǔ)上，寫出答案。a1xb1yc1.6、二兀一次方程組1的解的情況有以下三種：a2xb?y c當(dāng)a1C1 , 一時，方程組有無數(shù)多解。（兩個方程等效）a2b2C2當(dāng)玉C1 時，方程組無解。（兩個方程是矛盾的）32b2C2當(dāng)業(yè)b1（即

4、 ajb2a2b10 ）時，方程組有唯一的解32b27、方程的個數(shù)少于未知數(shù)的個數(shù)時，一般是不定解，即有無數(shù)多解，若要求整數(shù)解，可按二元一次方程整數(shù)解的求法 進(jìn)行。8求方程組中的待定系數(shù)的取值，一般是求出方程組的解（把待定系數(shù)當(dāng)己知數(shù)），再解含待定系數(shù)的不等式或加以討論。練習(xí)題：11、已知代數(shù)式 丄xa1y3與 3xby2ab是同類項，那么a=, b=2 2、 已知-2xm1y3與!xnym n是同類項，那么n m2013=。2x 4y 14 x y 131 y 22011x 2013y2x y 16y 2232013x 2011y3、解下列方程組：6037603521 / 21已知a 2b4

5、, r4、則ab =o3a 2b8.5、關(guān)于x的方程組3x- ym的解是x 1則|m-n|的值是。x myny 16、已知x 2是二ax:元一次方程組by10的解，則3a b的算術(shù)平方根為y 1bxay17、已知方程組的解x，y滿足方程5x-y=3，求k的值是2x 3y3x 4y20138選擇一組m, n值使方程組5x y 7 mx 2y n（1）有無數(shù)多解，（2）無解，（3）有唯一的解。9、a取什么值時，方程組x y a的解是正數(shù)？5x 3y3110、a取哪些正整數(shù)值，方程組x2y5 a的解x和y都是正整數(shù)?2a3x4yx ky k11、要使方程組的解都是整數(shù)，k應(yīng)取哪些整數(shù)值?x 2y 1

6、12、已知關(guān)于x、y的方程組 2x ay 6有整數(shù)解，即x、y都是整數(shù)，a是正整數(shù)，求a的值。4x y 713、m取何整數(shù)值時，方程組2X my 4的解x和y都是整數(shù)?x 4y 114、若 4x 3y 6z 0,x 2y 7z0 xyz0 ,求代數(shù)式5x2 2y2 z22x2 3y2 10z2的值。應(yīng)用題：一、數(shù)字問題例1、一個兩位數(shù)，比它十位上的數(shù)與個位上的數(shù)的和大9;如果交換十位上的數(shù)與個位上的數(shù)，所得兩位數(shù)比原兩位數(shù)大27,求這個兩位數(shù)。二、利潤問題例2、一件商品如果按定價打九折出售可以盈利20%如果打八折出售可以盈利10元，問此商品的定價是多少?三、配套問題例3、某廠共有120名生產(chǎn)工

7、人，每個工人每天可生產(chǎn)螺栓 25個或螺母20個，如果一個螺栓與兩個螺母配成一套，那么每天安排多名工人生產(chǎn)螺栓，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成最多套？四、行程問題例4、在某條高速公路上依次排列著A、B C三個加油站，A到B的距離為120千米，B到C的距離也是120千米。分別在A、C兩個加油站實施搶劫的兩個犯罪團(tuán)伙作案后同時以相同的速度駕車沿高速公路逃離現(xiàn)場，正在B站待命的兩輛巡邏車接到指揮中心的命令后立即以相同的速度分別往A C兩個加油站駛?cè)?，結(jié)果往 B站駛來的團(tuán)伙在1小時后就被其中一輛迎面而上的巡邏車堵截住，而另一團(tuán)伙經(jīng)過3小時后才被另一輛巡邏車追趕上。問巡邏車和犯罪團(tuán)伙的車

8、的速度各是多少？五、貨運問題6立方米，例5、某船的載重量為 300噸，容積為1200立方米，現(xiàn)有甲、乙兩種貨物要運，其中甲種貨物每噸體積為 乙種貨物每噸的體積為 2立方米，要充分利用這艘船的載重和容積，甲、乙兩重貨物應(yīng)各裝多少噸？六、工程問題例6、某服裝廠接到生產(chǎn)一種工作服的訂貨任務(wù)，要求在規(guī)定期限內(nèi)完成，按照這個服裝廠原來的生產(chǎn)能力，每天可生一4一產(chǎn)這種服裝150套，按這樣的生產(chǎn)進(jìn)度在客戶要求的期限內(nèi)只能完成訂貨的一；現(xiàn)在工廠改進(jìn)了人員組織結(jié)構(gòu)和生產(chǎn)5流程，每天可生產(chǎn)這種工作服200套，這樣不僅比規(guī)定時間少用1天，而且比訂貨量多生產(chǎn) 25套，求訂做的工作服是幾套？要求的期限是幾天？15、用1

9、00枚銅板買桃、李、杏共 100粒，己知桃、李每粒分別是 3，4枚銅板，而杏7粒1枚銅板。問桃、李、杏各 買幾粒？16、今有雞翁一，值錢五，雞母一，值錢三，雞雛三，值錢一，百錢買百雞，雞翁，雞母，雞雛都買，可各買多少?17、某種商品價格為每件 33元，某人身邊只帶有 2元和5元兩種面值的人民幣各若干張，買了一件這種商品。若無需 找零錢，則付款方式有哪幾種（指付出2元和5元錢的張數(shù)）？哪種付款方式付出的張數(shù)最少？18、某水果批發(fā)市場香蕉的價格如下表:購買香蕉數(shù)（千克）不超過20 千克20千克以上但 不超過40千克40千克以上每千克價格6元5元4元張強兩次共購買香蕉 50千克（第二次多于第一次），

10、共付款264元，請問張強第一次、第二次分別購買香蕉多少千克?19、小明和小亮做加法游戲，小明在一個加數(shù)后面多寫了一個 個0，得到的和是341，正確的結(jié)果是多少？0,得到的和是242 ;而小亮在另一個加數(shù)后面多寫了一20、用如圖1中的長方形和正方形紙板做側(cè)面和底面，做成如圖2的豎式和橫式兩種無蓋紙盒?，F(xiàn)在倉庫里有1000張正方形紙板和2000張長方形紙板，問兩種紙盒各做多少個，恰好將庫存的紙板用完？0 o21、同慶中學(xué)為 豐富學(xué)生的校園生活，準(zhǔn)備從軍躍體育用品商店一次性購買若干個足球和籃球(每個足球的價格相同,每個籃球的價格相同)，若購買3個足球和2個籃球共需310元.購買2個足球和5個籃球共需

11、500元。(1) 購買一個足球、一個籃球各需多少元？(2) 根據(jù)同慶中學(xué)的實際情況，需從軍躍體育用品商店一次性購買足球和籃球共96個。要求購買足球和籃球的總費用不超過5720元，這所中學(xué)最多可以購買多少個籃球？22、為迎接2008年奧運會，某工藝廠準(zhǔn)備生產(chǎn)奧運會標(biāo)志“中國印”和奧運會吉祥物“福娃”。該廠主要用甲、乙兩 種原料，已知生產(chǎn)一套奧運會標(biāo)志需要甲原料和乙原料分別為4盒和3盒，生產(chǎn)一套奧運會吉祥物需要甲原料和乙原料分別為5盒和10盒.該廠購進(jìn)甲、乙原料的量分別為20000盒和30000盒，如果所進(jìn)原料全部用完，求該廠能生產(chǎn)奧運會標(biāo)志和奧運會吉祥物各多少套？23、古算題：“我問開店李三公，

12、眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.問多少房間多少客？”(題目大意是：一些客人到李三公的店中住宿， 若每間房里住7人，就分有7人沒地方住；若每間房住9人，則空出一間房.問 有多少房間多少客人.)24、某次數(shù)學(xué)競賽前60名獲獎，原定一等獎5人，二等獎15人，三等獎40人；現(xiàn)調(diào)整為一等獎10人，二等獎20人, 三等獎30人。調(diào)整后一等獎的平均分?jǐn)?shù)降低了 3分，二等獎的平均分?jǐn)?shù)降低了 2分，三等獎平均分?jǐn)?shù)降低 1分。如果 原來二等獎比三等獎平均分?jǐn)?shù)多 7分，求調(diào)整后一等獎比三等獎平均分?jǐn)?shù)多幾分？二元一次方程組競賽題集(答案+解析)【例1】 已知方程組 +毎匕 的解x, y滿足方程5x-y

13、=3，求k的值.34y=丘十 II【思考與分析】本題有三種解法，前兩種為一般解法，后一種為巧解法(1) 由已知方程組消去 k,得x與y的關(guān)系式，再與5x-y=3聯(lián)立組成方程組求出 x, y的值，最后將x, y的值代入方程組中任一方程即可求出k的值.(2) 把k當(dāng)做已知數(shù)，解方程組，再根據(jù) 5x-y=3建立關(guān)于k的方程，便可求出 k的值.(3) 將方程組中的兩個方程相加，得5x-y=2k+11，又知5x-y=3，所以整體代入即可求出 k的值.2吊十3尸匕弘-4尸上44 L 5 x y=3.解養(yǎng)一：得7尸1好疵得34尸-52,解得尸一晉-+C y=-代入得血十令解得滬補-把吾r尸-書代入，得2汽善

14、十3界(一宰-)=k,解得 k=-4.解法二： X 3X2,得 17y=k-22 ,解得廠罟-I杷尸特代人得2曲涎骨注，解得”警把衛(wèi)眾和尸上許代人得”告鏟_臺驢勻解得A=-4_解法三：+，得 5x-y=2k+11.又由 5x-y=3，得 2k+11=3，解得 k=-4.【小結(jié)】解題時我們要以一般解法為主，特殊方法雖然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的時間，可能這道題我們已經(jīng)用一般解法解了一半了，當(dāng)然，巧妙解法很容易想到的話，那就應(yīng)該用巧妙解法了【例2】 某種商品價格為每件3 3元，某人身邊只帶有2元和5元兩種面值的人民幣各若干張，買了一件這種商品若無需找零錢，則付款方式有哪幾種(指付出2元

15、和5元錢的張數(shù))？哪種付款方式付出的張數(shù)最少？【思考與分析】本題我們可以運用方程思想將此問題轉(zhuǎn)化為方程來求解我們先找出問題中的數(shù)量關(guān)系，再找出最主要的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建等式然后找出已知量和未知量設(shè)元，列方程組求解最后，比較各個解對應(yīng)的 x+y的值，即可知道哪種付款方式付出的張數(shù)最少解：設(shè)付出2元錢的張數(shù)為 x，付出5元錢的張數(shù)為 y，則x,y的取值均為自然數(shù)依題意可得方程：2x+5y=33.因為5y個位上的數(shù)只可能是0或5,所以2x個位上數(shù)應(yīng)為3或8%-41尸5 r |y=3 r |y=L常=4 r得 *-Mr=9；由尸5尸3答：付款方式有3種，分別是:塔=14,尸1付出4張2元錢和5張5元錢；付

16、出9張2元錢和3張5元錢；付出14張得 x+y=12 ;由得x+y=15.所以第一種付款方式付出的張數(shù)最少又因為2 x是偶數(shù)，所以2 x個位上的數(shù)是8,從而此方程的解為:2元錢和1張5元錢.其中第一種付款方式付出的張數(shù)最少【例3】解方程組樣尸艮【思考與分析】本例是一個含字母系數(shù)的方程組 解含字母系數(shù)的方程組同解含字母系數(shù)的方程一樣，在方程兩邊同時乘以或除以字母表示的系數(shù)時，也需要弄清字母的取值是否為零解：由，得 y=4 mx把代入，得 2x+5 (4 mx) =8,解得 (2 5m) x=-12，當(dāng) 2 5m= 0,即仆一時，方程無解，則原方程組無解 .當(dāng)2 5m 0, 即卩 詳壬時，方程解為

17、水飛附- 將懸一代入，得尸霽一故當(dāng)m 時，原方程組的解為12【小結(jié)】含字母系數(shù)的一次方程組的解法和數(shù)字系數(shù)的方程組的解法相同，但注意求解時需要討論字母系數(shù)的取值情況.對于x、y的方程組中,ai、bi、ci、生、b2、c2均為已知數(shù)，且ai與bi、a2與b2都至少有一個不等于零，則”產(chǎn)時，原方程組有惟一解;原方程組有無窮多組解;,原方程組無解【例4】某中學(xué)新建了一棟 4層的教學(xué)大樓，每層樓有 8間教室，這棟大樓共有 4道門，其中兩道正門大小相同，兩道側(cè)門大小也相同安全檢查中，對 4道門進(jìn)行了訓(xùn)練：當(dāng)同時開啟一道正門和兩道側(cè)門時，2分鐘內(nèi)可以通過 560名學(xué)生；當(dāng)同時開啟一道正門和一道側(cè)門時，4分

18、鐘可以通過 800名學(xué)生（1）求平均每分鐘一道正門和一道側(cè)門各可以通過多少名學(xué)生？（2） 檢查中發(fā)現(xiàn)，緊急情況時因?qū)W生擁擠，出門的效率將降低20% .安全檢查規(guī)定，在緊急情況下全大樓的學(xué)生應(yīng)在5分鐘內(nèi)通過這4道門安全撤離假設(shè)這棟教學(xué)大樓每間教室最多有45名學(xué)生，問：建造的這 4道門是否符合安全規(guī)定？請說明理由.【思考與解】（1 ）設(shè)平均每分鐘一道正門可通過 x名學(xué)生，一道側(cè)門可以通過 y名學(xué)生.根據(jù)題意,80人.所以平均每分鐘一道正門可以通過學(xué)生120人，一道側(cè)門可以通過學(xué)生（2）這棟樓最多有學(xué)生 4X 8X 45=1440 （人）.擁擠時5分鐘4道門能通過5X 2X（ 120+80）X（ 1

19、-20%） =1600 （人）.因為16001440，所以建造的4道門符合安全規(guī)定答:平均每分鐘一道正門和一道側(cè)門各可以通過120名學(xué)生、80名學(xué)生；建造的這 4道門符合安全規(guī)定【例5】某水果批發(fā)市場香蕉的價格如下表:20干克bo 千 siaijB 不趙過血干臣旳千克 以上厚千克價 格元4元張強兩次共購買香蕉 50千克（第二次多于第一次），共付款264元，請問張強第一次、第二次分別購買香蕉多少千克？【思考與分析】要想知道張強第一次、第二次分別購買香蕉多少千克，我們可以從香蕉的價格和張強買的香蕉的千克數(shù)以及付的錢數(shù)來入手通過觀察圖表我們可知香蕉的價格分三段，分別是6元、5元、4元.相對應(yīng)的香蕉的

20、千克數(shù)也分為三段，我們可以假設(shè)張強兩次買的香蕉的千克數(shù)分別在某段范圍內(nèi)，利用分類討論的方法求得張強第一次、第二次分別購買香蕉的千克數(shù)解：設(shè)張強第一次購買香蕉x千克，第二次購買香蕉 y千克由題意，得 0x25.當(dāng)0x 20, y w 40時，由題意，得黑渋解得=14 r當(dāng)040時，由題意，得F噸彌6耳+4 尸254*x=32 r y=L8.（與0xw 20, yw40相矛盾，不合題意，舍去）當(dāng)20x25時，25y30 .此時張強用去的款項為5x+5y=5 (x+y) =5X 50=250264 (不合題意，舍去)綜合可知，張強第一次購買香蕉14千克，第二次購買香蕉 36千克.答：張強第一次、第二

21、次分別購買香蕉14千克、36千克.【反思】我們在做這道題的時候，一定要考慮周全，不能說想出了一種情況就認(rèn)為萬事大吉了，要進(jìn)行分類討論， 考慮所有的可能性，看有幾種情況符合題意【例6】 用如圖1中的長方形和正方形紙板做側(cè)面和底面，做成如圖2的豎式和橫式兩種無蓋紙盒.現(xiàn)在倉庫里有1 0 0 0張正方形紙板和2 000張長方形紙板，問兩種紙盒各做多少個，恰好將庫存的紙板用完？ O圖1囲2【思考與分析】我們已經(jīng)知道已知量有正方形紙板的總數(shù)1000，長方形紙板的總數(shù) 20 0 0,未知量是豎式紙盒的個數(shù)和橫式紙盒的個數(shù)而且每個豎式紙盒和橫式紙盒都要用一定數(shù)量的正方形紙板和長方形紙板做成，如果我們知道這兩

22、種紙盒分別要用多少張正方形紙板和長方形紙板，就能建立起如下的等量關(guān)系：每個豎式紙盒要用的正方形紙板數(shù)X豎式紙盒個數(shù)+每個橫式紙盒要用的正方形紙板數(shù)X橫式紙盒個數(shù)：=正方形紙板的總數(shù)每個豎式紙盒要用的長方形紙板數(shù)X豎式紙盒個數(shù)+每個橫式紙盒要用的長方形紙板數(shù)X橫式紙盒個數(shù)：=長方形紙板的總數(shù)通過觀察圖形，可知每個豎式紙盒分別要用1張正方形紙板和4張長方形紙板，每個橫式紙盒分別要用2張正方形紙板和3張長方形紙板.解：由題中的等量關(guān)系我們可以得到下面圖表所示的關(guān)系工個鑒式 紙倉中丁個橫武 娠盒中合計正方足紙 板的強數(shù)1000板的罷數(shù)4z2000設(shè)豎式紙盒做x個，橫式紙盒做y個.根據(jù)題意，得訐2尸10

23、00, 牡再尸2000一 X 4-，得 5 y=2000，解得 y=400.把 y=400 代入，得 x+800=1000，解得 x=200.I x =200,所以方程組的解為丁乂因為 200 和 400 均為自然數(shù)，所以這個解符合題意 .答：豎式紙盒做2 0 0個，橫式紙盒做4 0 0個，恰好將庫存的紙板用完二元一次方程組培優(yōu)應(yīng)用題一數(shù)字問題1小明和小亮做加法游戲，小明在一個加數(shù)后面多寫了一個0，得到的 和是 242；而小亮在另一個加數(shù)后面多寫了一個 0 ，得到的 和是 341，正確的結(jié)果是多少？1 號樓至 22 號樓共 22 棟樓房，小宏問了小英下面兩句話，就猜出了2小宏與小英是同班同學(xué)，

24、小英家的住宅小區(qū)有 小英住幾號樓幾號房間小宏問：“你家的樓號加房間號是多少？” 小英答：“ 220”小宏問：“樓號的 10 倍加房間號是多少？” 小英答：“ 364 ” 你知道為什么嗎？3炎熱的夏天，游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍(lán)色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽如果每個男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多，而每個女孩看到藍(lán)色的游泳帽比紅色的多 1 倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？4.已知一個兩位數(shù)，它的十位上的數(shù)字x比個位上的數(shù)字 y大1，若顛倒個位數(shù)字與十位數(shù)字的位置，得到的新數(shù)比原數(shù)小 9，求這個兩位數(shù)所列的方程組正確的是（）二.配套問題1. （08山東省日照市）為迎接 2008年奧運會，某工藝廠

25、準(zhǔn)備生產(chǎn)奧運會標(biāo)志“中國印 ”和奧運會吉祥物 “福娃”.該廠主要用甲、乙兩種原料，已知生產(chǎn)一套奧運會標(biāo)志需要甲原料和乙原料分別為4盒和 3盒，生產(chǎn)一套奧運會吉祥物需要甲原料和乙原料分別為 5盒和 10盒.該廠購進(jìn)甲、乙原料的量分別為 20000盒和 30000 盒，如果所進(jìn)原料 全部用完 ， 求該廠能生產(chǎn)奧運會標(biāo)志和奧運會吉祥物各多少套？2. （ 2008 年山東省威海市） 汶川大地震發(fā)生后，各地人民紛紛捐款捐物支援災(zāi)區(qū).我市某企業(yè)向災(zāi)區(qū)捐助價值94 萬元的A, B兩種帳篷共600頂已知A種帳篷每頂1700元，B種帳篷每頂1300元，問A, B兩種帳篷各多少頂？3 長沙市某公園的門票價格如下表

26、所示:購票人數(shù)150人51100人100人以上票價10元/人8元/人5元/人某校七年級甲、乙兩班共 100多人去該公園舉行聯(lián)歡活動，其中甲班 50多人，乙班不足50人如果以班為單位分別 買票，兩個班一共應(yīng)付 920元；如果兩個班聯(lián)合起來作為一團(tuán)體購票，一共只要付515元.問：甲、乙兩班分別有多少人？三行程問題1甲、乙兩人練習(xí)跑步，如果讓乙先跑10米，甲5秒追上乙；如果讓乙先跑 2秒，那么甲4秒追上乙甲、乙每秒分別跑x、y米，由題意得方程組.2小明和小亮分別從相距20千米的甲、乙兩地相向而行，經(jīng)過2小時兩人相遇，相遇后小明即返回原地，小亮繼續(xù)向甲地前進(jìn)，小明返回到甲地時，小亮離甲地還有2千米.請

27、求出兩人的速度.3. 一船順?biāo)叫?3.5公里需要3小時，逆水行47.5公里需5小時，求此船在靜水中的速度和水流的速度四工程問題1 某服裝廠接到生產(chǎn)一種工作服的訂貨任務(wù)，要求在規(guī)定期限內(nèi)完成按這個服裝廠原來的生產(chǎn)能力，每天可生產(chǎn)這4種服裝150套，按這樣的生產(chǎn)進(jìn)度在客戶要求期限內(nèi)只能完成訂貨的4 ;現(xiàn)在工廠改進(jìn)了人員組織結(jié)構(gòu)和生產(chǎn)流程,每天可生產(chǎn)這種工作服5200套，這樣，不僅比規(guī)定的期限少用1天，而且比訂貨量多生產(chǎn) 25套.那么客戶訂做的工作服是多少套，要求完成的期限是多少天?2. （2006年日照市）在我市南沿海公路改建工程中，某段工程擬在30天內(nèi)（含30天）完成.現(xiàn)有甲、乙兩個工程隊，從

28、這兩個工程隊資質(zhì)材料可知：若兩隊合做24天恰好完成；若兩隊合做 18天后，甲工程隊再單獨做 10天，也恰好完成請問：（1）甲、乙兩個工程隊單獨完成該工程各需多少天？（2） 已知甲工程隊每天的施工費用為0 6萬元，乙工程隊每天的施工費用為0 35萬元，要使該工程的施工費用最低，甲、乙兩隊各做多少天（同時施工即為合做）？最低施工費用五含量濃度問題1. （2008山東煙臺）據(jù)研究，當(dāng)洗衣機中洗衣粉的含量在0.2%0.5%之間時，衣服的洗滌效果較好，因為這時表面活154.94的 衣 服 放 入 最 大 容 量 為需要加入多少千克水， 機以最大容量洗滌）多少匙洗衣粉？ （1 匙洗衣粉約 0.02，假設(shè)洗

29、衣的洗衣機中，欲使洗衣機中洗衣粉的含量達(dá)到 0.4%，那么洗衣機中2.要配制濃度為15%勺硫酸500公斤，已有60%勺硫酸100公斤，問還需要加水和加濃度為80 %的硫酸各多少公斤？六圖形問題1.如圖4,周長為68的長方形ABCD被分成7個大小完全一樣的長方形，則長方形ABCD的面積是多少?2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)如圖所示,它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形.若大正方形的面積是13,小正方形的面積是 1，直角三角形的較長直角邊為a,較短5所示，連續(xù)擺正方形和六邊形要求每兩個相鄰的圖形只有一條公共邊已知擺放 的正方形比正六邊形多 4個，并且一共用了

30、110根小木棍，問連續(xù)擺放的正方形和正六邊形各有多少個？直角邊為b，貝U a3 + b4的值為（）A. 35 B . 43C. 89D. 97七.整數(shù)解問題1.把面值為1元的紙幣換為種.練習(xí)：1.古算題：“我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.問多少房間多少客？”（題目大意是：一些客人到李三公的店中住宿，若每間房里住7人，就分有7人沒地方住；若每間房住 9人，則空出一間房.問有多少房間多少客人.）答： .2某公司去年的總收入比總支出多50萬元，今年比去年的總收入增加10%，總支出節(jié)約 20%，今年的總收入比總支出多100萬元.如果設(shè)去年的總收入是 x萬元，總支出是 y

31、元，那么可列方程組是 .七年級數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案教學(xué)目標(biāo)：進(jìn)一步熟練二元一次方程組的解法和解二元一次方程組，能根據(jù)實際問題，找出等量關(guān)系，然后設(shè)未知數(shù)列方程進(jìn)行解答。教學(xué)重點：找出實際問題中的等量關(guān)系教學(xué)難點：找出實際問題中的等量關(guān)系知識點:二元一次方程組在實際問題中的應(yīng)用歸納：列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟可概括為審、找、列、解、答I”五步，即:（1）審：通過審題，把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，分析已知數(shù)和未知數(shù)，并用字母表示其中的兩個未知數(shù);（2）找：找出能夠表示題意兩個相等關(guān)系；（3）列：根據(jù)這兩個相等關(guān)系列出必需的代數(shù)式，從而列出方程組；（4）解：解這個方程組，求出兩個未知數(shù)的值；（5）答：在

32、對求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎(chǔ)上，寫出答案題型分類講解：、數(shù)字問題例1 一個兩位數(shù)，比它十位上的數(shù)與個位上的數(shù)的和大9;如果交換十位上的數(shù)與個位上的數(shù)，所得兩位數(shù)比原兩位數(shù)大27,求這個兩位數(shù).分析：設(shè)這個兩位數(shù)十位上的數(shù)為x,個位上的數(shù)為y,則這個兩位數(shù)及新兩位數(shù)及其之間的關(guān)系可用下表表示:解方程組10xyx y910yx10xy 27,x1得,因此，所求的兩y4位數(shù)是14.十位上的數(shù)個位上的數(shù)對應(yīng)的兩位數(shù)相等關(guān)系原兩位數(shù)xy10x+y10x+y=x+y+9新兩位數(shù)yX10y+x10y+x=10x+y+27點評：由于受一元一次方程先入為主的影響，不少同學(xué)習(xí)慣于只設(shè)一元，然后列一元一次

33、方程求解，雖然這種方x,或只設(shè)十位上的數(shù)為x,那法十有八九可以奏效，但對有些問題是無能為力的，象本題，如果直接設(shè)這個兩位數(shù)為將很難或根本就想象不出關(guān)于X的方程一般地，與數(shù)位上的數(shù)字有關(guān)的求數(shù)問題，一般應(yīng)設(shè)各個數(shù)位上的數(shù)為元”, 然后列多元方程組解之.、禾U潤問題例2 一件商品如果按定價打九折出售可以盈利20%;如果打八折出售可以盈利10元，問此商品的定價是多少？分析：商品的利潤涉及到進(jìn)價、定價和賣出價，因此，設(shè)此商品的定價為x元，進(jìn)價為y元，則打九折時的賣出價為0.9x元，獲利（0.9x-y）元，因此得方程0.9x-y=20%y;打八折時的賣出價為 0.8x元，獲利（0.8x-y）元，可得方程

34、0.8x-y=10.0.9x y 20%yx 200解方程組，解得，0.8x y 10y 150因此，此商品定價為 200元.點評：商品銷售盈利百分?jǐn)?shù)是相對于進(jìn)價而言的，不要誤為是相對于定價或賣出價利潤的計算一般有兩種方法，一是：利潤=賣出價-進(jìn)價；二是：利潤=進(jìn)價涮潤率(盈利百分?jǐn)?shù))特別注意 利潤”和利潤率”是不同的兩個概念.三、配套問題例3某廠共有120名生產(chǎn)工人，每個工人每天可生產(chǎn)螺栓 25個或螺母20個，如果一個螺栓與兩個螺母配成一套,那么每天安排多名工人生產(chǎn)螺栓，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成最多套？分析：要使生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成最多套，只須生產(chǎn)出來的螺栓和螺母全部配

35、上套，根據(jù)題意，每天生產(chǎn)的螺栓與螺母應(yīng)滿足關(guān)系式：每天生產(chǎn)的螺栓數(shù)X2每天生產(chǎn)的螺母數(shù) X1因此，設(shè)安排x人生產(chǎn)螺栓，y人生產(chǎn)螺母，則每天可生產(chǎn)螺栓25 x個，螺母20 y個，依題意，得x y 120x 20，解之，得50x 2 20y 1y 100故應(yīng)安排20人生產(chǎn)螺栓，100人生產(chǎn)螺母.點評：產(chǎn)品配套是工廠生產(chǎn)中基本原則之一，如何分配生產(chǎn)力，使生產(chǎn)出來的產(chǎn)品恰好配套成為主管生產(chǎn)人員常見的問題，解決配套問題的關(guān)鍵是利用配套本身所存在的相等關(guān)系，其中兩種最常見的配套問題的等量關(guān)系是：(1 )二合一 ”問題：如果a件甲產(chǎn)品和b件乙產(chǎn)品配成一套，那么甲產(chǎn)品數(shù)的b倍等于乙產(chǎn)品數(shù)的a倍，即甲產(chǎn)品數(shù)a乙

36、產(chǎn)品數(shù).;b(2) 三三合一 ”問題：如果甲產(chǎn)品a件，乙產(chǎn)品b件，丙產(chǎn)品c件配成一套，那么各種產(chǎn)品數(shù)應(yīng)滿足的相等關(guān)系式是:甲產(chǎn)品數(shù) 乙產(chǎn)品數(shù)丙產(chǎn)品數(shù)四、行程問題例4 在某條高速公路上依次排列著A、B、C三個加油站，A到B的距離為120千米，B到C的距離也是120千米.分正在B站待命的兩別在A、C兩個加油站實施搶劫的兩個犯罪團(tuán)伙作案后同時以相同的速度駕車沿高速公路逃離現(xiàn)場,輛巡邏車接到指揮中心的命令后立即以相同的速度分別往A、C兩個加油站駛?cè)?，結(jié)果往B站駛來的團(tuán)伙在1小時后就被其中一輛迎面而上的巡邏車堵截住，而另一團(tuán)伙經(jīng)過3小時后才被另一輛巡邏車追趕上問巡邏車和犯罪團(tuán)伙的車的速度各是多少?【研析

37、】設(shè)巡邏車、犯罪團(tuán)伙的車的速度分別為x、y千米/時，則3x 7120，整理，得x y 40，解得y 120x y 120x 80y 40，因此,巡邏車的速度是80千米/時，犯罪團(tuán)伙的車的速度是40千米/時.點評:相向而遇”和同向追及”是行程問題中最常見的兩種題型，在這兩種題型中都存在著一個相等關(guān)系，這個關(guān)系涉及到兩者的速度、原來的距離以及行走的時間，具體表現(xiàn)在:相向而遇”時，兩者所走的路程之和等于它們原來的距離；同向追及”時，快者所走的路程減去慢者所走的路程等于它們原來的距離.五、貨運問題典例5某船的載重量為 300噸，容積為1200立方米，現(xiàn)有甲、乙兩種貨物要運，其中甲種貨物每噸體積為6立方

38、米，乙種貨物每噸的體積為2立方米，要充分利用這艘船的載重和容積，甲、乙兩重貨物應(yīng)各裝多少噸？分析：充分利用這艘船的載重和容積 ”的意思是貨物的總重量等于船的載重量”且貨物的體積等于船的容積”.設(shè)甲種貨物裝x噸，乙種貨物裝y噸，貝Ux y 300 士 o x y 300” 口 x 150，整理，得，解得，6x 2y 12003x y 600y 150因此，甲、乙兩重貨物應(yīng)各裝150噸.點評：由實際問題列出的方程組一般都可以再化簡，因此，解實際問題的方程組時要注意先化簡，再考慮消元和解法，這樣可以減少計算量，增加準(zhǔn)確度化簡時一般是去分母或兩邊同時除以各項系數(shù)的最大公約數(shù)或移項、合并同類項等.六、工

39、程問題例6某服裝廠接到生產(chǎn)一種工作服的訂貨任務(wù)，要求在規(guī)定期限內(nèi)完成，按照這個服裝廠原來的生產(chǎn)能力，每天可生產(chǎn)這種服裝150套，按這樣的生產(chǎn)進(jìn)度在客戶要求的期限內(nèi)只能完成訂貨的4 ;現(xiàn)在工廠改進(jìn)了人員組織結(jié)構(gòu)和5生產(chǎn)流程，每天可生產(chǎn)這種工作服200套，這樣不僅比規(guī)定時間少用1天，而且比訂貨量多生產(chǎn) 25套，求訂做的工作服是幾套？要求的期限是幾天？x套，要求的期限是y天，依題意，得x 3375 解得y 18分析：設(shè)訂做的工作服是150y 4x5,200 y 1 x 25點評：工程問題與行程問題相類似，關(guān)鍵要抓好三個基本量的關(guān)系，即工作量=工作時間 工作效率”以及它們的變式工作時間=工作量 M作效

40、率，工作效率=工作量 M作時間”.其次注意當(dāng)題目與工作量大小、多少無關(guān)時，通常 用“ 1表示總工作量.【典題精析】例1 （2006年南京市）某停車場的收費標(biāo)準(zhǔn)如下：中型汽車的停車費為6元/輛，小型汽車的停車費為 4元/輛.現(xiàn)在停車場有50輛中、小型汽車，這些車共繳納停車費230元，問中、小型汽車各有多少輛？解析：設(shè)中型汽車有 x輛，小型汽車有y輛由題意，得x y 50,6x4y230.解得，x15,y35.故中型汽車有15輛，小型汽車有35輛.例2 （2006年四川省眉山市）某蔬菜公司收購蔬菜進(jìn)行銷售的獲利情況如下表所示:銷售方式直接銷售粗加工后銷售精加工后銷售每噸獲利（兀）100250450

41、現(xiàn)在該公司收購了 140噸蔬菜，已知該公司每天能精加工蔬菜6噸或粗加工蔬菜16噸（兩種加工不能同時進(jìn)行）（1）如果要求在18天內(nèi)全部銷售完這140噸蔬菜，請完成下列表格：銷售方式全部直接銷售全部粗加工后銷售盡量精加工，剩余部分直接銷售獲利（元）（2）如果先進(jìn)行精加工，然后進(jìn)行粗加工，要求在15天內(nèi)剛好加工完140噸蔬菜，則應(yīng)如何分配加工時間?解：（1）全部直接銷售獲利為：100X 140=14000（元）；全部粗加工后銷售獲利為：250X 140=35000（元）;盡量精加工，剩余部分直接銷售獲利為：450X（6X 18 + 100X（ 140 6X 18 =51800 （元）.（2 ）設(shè)應(yīng)安

42、排x天進(jìn)行精加工，y天進(jìn)行粗加工.由題意，得x y 15,6x 16y 140.解得，y10,5.故應(yīng)安排10天進(jìn)行精加工，5天進(jìn)行粗加工練習(xí)：為滿足市民對優(yōu)質(zhì)教育的需求，某中學(xué)決定改變辦學(xué)條件，計劃拆除一部分舊校舍，建造新校舍，拆除舊校舍每平方米需80元，建新校舍每平方米需 700元計劃在年內(nèi)拆除舊校舍與建造新校舍共7200平方米，在實施中為擴(kuò)大綠地面積，新建校舍只完成了計劃的80%，而拆除舊校舍則超過了計劃的10%，結(jié)果恰好完成了原計劃的拆、建總面積（1）求：原計劃拆、建面積各是多少平方米？（2）若綠化1平方米需200元，那么在實際完成的拆、建工程中節(jié)余的資金用來綠化大約是多少平方米？課堂練習(xí) （中考題為主 ）1、某廠買進(jìn)甲、乙兩種材料共 56 噸，用去 9860 元。若甲種材料每噸 190 元，乙種材料每噸 160 元，則兩種材料各買多少噸？2、某運輸公司有大小兩種貨車 ,2 輛大車和 3 輛小車可運貨 15.5 噸,5 輛大車和 6 輛小車可運貨 35 噸, 客戶王某有貨 52 噸, 要求一次性用數(shù)量相等的大小貨車運出 , 問需用大、小