第七章不等式

1、第 1 頁(yè)共50頁(yè)第七章不等式第一節(jié)一元二次不等式及其解法“ 三個(gè)二次 ” 的關(guān)系判別式 b2 4ac 0 0 0二次函數(shù) y ax2 bx c (a 0)的圖象一元二次方程 ax2有兩相異實(shí)根 x1，有兩相等實(shí)根x1 x2沒(méi)有實(shí)數(shù)根bx c 0 (a 0)的根x2 (x1 x2) b2a一元二次不等式 ax2 bx c 0 (a 0)的x|xx2xx bR2a解集一元二次不等式 ax2 bx c 0 (a 0)的x|x1 x x2?解集 小題體驗(yàn) 1 (教材習(xí)題改編)不等式 x2 2x 3 0 的解集為 _答案：?22設(shè)集合S x|x 2， T x|x 3x 4 0，則 (?R S) T _

2、.解析： 由題意得T x| 4 x 1，根據(jù)補(bǔ)集定義，?R S x|x 2，所以 (? x|x1RS) T答案： (， 13不等式 ax2 bx 20 的解集是1，1，則 a b 的值是 _23第 2 頁(yè)共50頁(yè)解析： 由題意知 12，13是 ax2bx 2 0 的兩根，則 a 12， b 2.所以 a b 14.答案： 141對(duì)于不等式ax2 bx c0，求解時(shí)不要忘記討論a 0 時(shí)的情形22當(dāng)0(a 0)的解集為R 還是 ?，要注意區(qū)別 小題糾偏 1若不等式mx2 2mx 10 的解集為 R，則 m 的取值范圍是_解析： 當(dāng) m 0 時(shí)， 10 顯然成立m0 ，當(dāng) m 0 時(shí)，由條件知得

3、0m1. 4m2 4m0.由知 0 m1.答案： 0,1)2若不等式 ( a 2)x2 2(a 2)x 40 對(duì) x R 恒成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 _解析： 當(dāng) a 2 0，即 a 2 時(shí)，原不等式為40，所以 a 2 時(shí)成立，當(dāng) a2 0，即 a 2 時(shí)，由題意得a 20，a 20，0，即2 16 a 2 0，4 a 2解得 2a2.綜上所述，20，解析： 當(dāng) x 0時(shí)，原不等式等價(jià)于2x2 ，所以 1 x 0；當(dāng) x0 時(shí)，原不1 x 221等式等價(jià)于2x x 2，所以 x0. 綜上所述，原不等式的解集為xx 2 .答案： xx122 (2016 南通一中檢測(cè) )不等式 3x2 6

4、x2 的解集為 _解 析 ： 將 不 等 式 3x2 6x2 轉(zhuǎn) 化 為3x2 6x 20 ， 所 以 不 等 式 的 解 集 是x 1333x13.答案： x333 xa2(a R) 的解集解： 原不等式可化為12x2 axa2 0，即 (4x a)(3x a)0，令 (4x a)(3x a)0，a a解得 x1 4， x2 3. 當(dāng) a0 時(shí)，不等式的解集a a為 ， 4 3， ；當(dāng) a0 時(shí)，不等式的解集為 ( ， 0)(0， )；當(dāng) a0，所以g 1 x 2 x2 4x 40，解得x3.故當(dāng)x( ， 1)(3， )時(shí)，對(duì)任意的m1,1 ，函數(shù)f(x)的值恒大于零 通法在握一元二次型不等

5、式恒成立問(wèn)題的3 大破解方法方法解讀適合題型(1) ax2 bx c 0 對(duì)任意實(shí)數(shù) x 恒成立的條件是 a0， 0；二次不等式在 R 上恒成立判別式法(2) ax2 bx c 0 對(duì)任意實(shí)數(shù) x 恒(如 “題點(diǎn)全練” 第 1 題、第 2 題 )成立的條件是 a0 恒成立 ?f m 0，f n 0，若 f(x)0 恒成立 ?f m 0，f n 0 得 x1，即 B x|x1 ，所以 A B x|1x 2答案： (1,22 (2017 靖江中學(xué)期末)若集合 A x|ax2 ax 10，得0x( x 2)的解集是 _解析 ：不等式 |x( x 2)|x(x 2)的解集即x(x2)0 的解集，解得0

6、x2.答案 ： x|0x215若 0a0 的解集是 _1解析： 原不等式為 (xa) x a 0，由 0a1 得 a1a，所以 ax1a.答案：x ax1a6 (2016 啟東中學(xué)測(cè)試 )若不等式 12x2 ax0 時(shí)，不等式的解集為 a，a4可得所以 a 的取值范圍是4 3a 3，3(0,9 當(dāng) a0 時(shí)，不等式的解集為?，符合題意 .當(dāng) a0 時(shí)，不等式的解集為aa3，4 .a 4，3可得所以 a 的取值范圍是 12,0) a 3，4綜上， a 的取值范圍為 12,9答案： 12,9二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1已知不等式x2 2x 3 0 的解集為A，不等式 x2 x 6 0 的解集為

7、B，不等式x2 ax b 0 的解集為 A B，則 a b _.解析 ：由題意得，A x| 1 x 3， B x| 3x 2，所以 A B x| 1 x 2，由根與系數(shù)的關(guān)系可知，a 1， b 2，則 a b 3.答案： 32 (2016 河中學(xué)檢測(cè)清)不等式 (x 2)x2 9 0 的解集為 _x 2 0，x 2，解析： 由題意290或 x2 9 0，即或 或 x 3，即 x 3 或 xxx33x3.答案： (， 3 33 (2017 鄭州調(diào)研 )規(guī)定記號(hào)“”表示一種運(yùn)算，定義a b ab a b(a， b 為正實(shí)數(shù) )，若 1 k2 3，則 k 的取值范圍是 _解析： 因?yàn)槎x ab ab

8、 ab(a， b 為正實(shí)數(shù) )， 2 3，所以k2 1 k2 3，1 k化為 (|k| 2)(|k| 1) 0，所以 |k| 1，所以 1 k 1.第11頁(yè)共50頁(yè)答案： ( 1,1)4如果關(guān)于x 的不等式 5x2a 0的正整數(shù)解是1,2,3,4，那么實(shí)數(shù)a 的取值范圍是_解析： 由 5x2 ，得a xa，a0551,2,3,4，則 4a而正整數(shù)解是55，所以 80 a125.答案： 80,125)5(2016 州調(diào)研泰 )若關(guān)于 x 的不等式ax2 6x a20 的解集是 (1，m)，則 m _.解析： 根據(jù)不等式與方程之間的關(guān)系知1 為方程 ax2 6x a2 0 的一個(gè)根， 即 a2 a

9、，解得或 3，當(dāng)a2時(shí)，不等式2 6x a2的解集是(1,2)，符合要求；6 0a 2aax0當(dāng) a 3 時(shí)，不等式 ax2 6xa20 的解集是 ( ， 3)(1， )，不符合要求， 舍去故m 2.答案： 26不等式 x2 ax 40 的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是 _解析： 因?yàn)椴坏仁?x2ax 40，即 a216.所以 a4 或 a0 ；(2) 若不等式 f(x) b 的解集為 ( 1,3)，求實(shí)數(shù) a， b 的值解： (1)因?yàn)?f(x) 3x2 a(6 a)x 6，所以 f(1) 3 a(6 a) 6 a2 6a 3，所以原不等式可化為a2 6a 30，解得 3 2 3a3

10、23.所以原不等式的解集為a|3 2 3ab 的解集為 ( 1,3)等價(jià)于方程 3x2 a(6 a)x 6b 0 的兩根為 1,3，13a 6 a，3等價(jià)于6 b133，a 3 3，解得b 3.10 (2017 京朝陽(yáng)統(tǒng)一考試北)已知函數(shù)f(x) x2 2ax 1 a， a R.f x(1) 若 a 2，試求函數(shù) y x ( x0) 的最小值；(2) 對(duì)于任意的 x 0,2，不等式 f(x) a 成立，試求 a 的取值范圍解： (1)依題意得 y f x x2 4x 1 14.xxxx因?yàn)?x0，所以 x 1x 2.1當(dāng)且僅當(dāng) x x時(shí)，即 x 1 時(shí)，等號(hào)成立所以 y 2.第13頁(yè)共50頁(yè)f

11、 x所以當(dāng) x 1 時(shí)， y x 的最小值為 2.(2)因?yàn)?f(x) a x2 2ax 1，所以要使得 “ ? x0,2 ，不等式f (x) a 成立 ” ，只要 “ x22ax 10 在 0,2 恒成立 ”不妨設(shè) g(x) x2 2ax 1，則只要 g(x) 0 在 0,2 上恒成立即可g 0 0，所以g 2 0，0 0 1 0，即4 4a 1 0，3解得 a 4.3則 a 的取值范圍為4， .三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1若關(guān)于x 的不等式2 4x 2 a0在區(qū)間 (1,4)內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是x_解析： 不等式 x2 4x 2 a0 在區(qū)間 (1,4) 內(nèi)有解等價(jià)于a(x2

12、 4x 2)max，令 g(x) x2 4x 2， x(1,4)，所以 g(x) g(4) 2，所以 a 2.答案： (， 2)2已知函數(shù)f (x)ax2 2ax 1的定義域?yàn)镽.(1) 求 a 的取值范圍；(2) 若函數(shù) f(x)的最小值為 22，解關(guān)于 x 的不等式 x2 x a2 a 0.解： (1)因?yàn)楹瘮?shù)f (x)ax2 2ax 1的定義域?yàn)镽 ，所以ax2 2ax 10 恒成立，當(dāng) a0 時(shí)， 1 0 恒成立當(dāng) a 0 時(shí)，需滿足題意，第14頁(yè)共50頁(yè)a 0，則需 2a 2 4a 0，解得 0 a 1，綜上可知， a 的取值范圍是 0,1 (2)f(x)ax2 2ax 1a x 1

13、 2 1 a，由題意及 (1)可知 0 a 1，所以當(dāng) x 1 時(shí)， f(x)min1 a，2由題意得，1 a 2 ，所以 a 12，所以不等式x2 xa2 a 0 可化為 x2 x 340.解得 12 x 32，1 3所以不等式的解集為 2， 2 .第二節(jié)二元一次不等式組與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題1 一元二次不等式(組 )表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域Ax ByC 0直線 AxBy C 0 某一側(cè)的所有點(diǎn)組成不包括邊界直線Ax ByC 0的平面區(qū)域包括邊界直線不等式組各個(gè)不等式所表示平面區(qū)域的公共部分2 線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x， y 組成的不等式(組 )第15頁(yè)共50頁(yè)線性約束

14、條件由 x，y 的一次不等式 (或方程 )組成的不等式 (組 )目標(biāo)函數(shù)關(guān)于 x， y 的函數(shù)解析式，如 z 2x 3y 等線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于 x， y 的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解 (x， y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問(wèn)題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題 小題體驗(yàn) 1若點(diǎn) (1,3)和 ( 4， 2)在直線 2x y m 0 的兩側(cè)，則m 的取值范圍是_解析： 由題意可得(2 1 3 m)2 ( 4) 2 m 0 ，即 (m 5)(m 10)0 ，所以5m0.答案： x y 102x y 0，3 (2016 北京高

15、考 )若 x， y 滿足 x y 3，則 2x y 的最大值為 _x 0，解析： 根據(jù)題意作出可行域如圖陰影部分所示，平移直線y 2x ，當(dāng)直線平移到過(guò)點(diǎn)A 時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，由2x y 0，可得 A(1,2)，此時(shí) 2x y 取最大值為2 12 4.x y 3，答案： 41畫(huà)出平面區(qū)域避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式化為ax byc0(a0) 2線性規(guī)劃問(wèn)題中的最優(yōu)解不一定是唯一的，即可行域內(nèi)使目標(biāo)函數(shù)取得最值的點(diǎn)不一定只有一個(gè)，也可能有無(wú)數(shù)多個(gè)，也可能沒(méi)有第16頁(yè)共50頁(yè)3在通過(guò)求直線的截距z的最值間接求出 bz 的最值時(shí)，要注意：當(dāng)b0 時(shí)，截距z取最b大值時(shí)，z 也取最

16、大值；截距bz取最小值時(shí)，z 也取最小值；當(dāng)b0 時(shí)，截距zb取最大值時(shí)，zz取最小值；截距取最小值時(shí)，z 取最大值 小題糾偏 x y 0，1若用陰影表示不等示組所形成的平面區(qū)域，則該平面區(qū)域中的夾角3xy 0的大小為 _答案： 15yx，蘭州診斷)已知實(shí)數(shù)，滿足 x y 1，則目標(biāo)函數(shù) z 2x y 的最大值為2 (2017x yy 1，_解析：畫(huà)出平面區(qū)域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)可變?yōu)閥 2x z，將直線 y 2x 進(jìn)行平移可得在點(diǎn)(2，1)處截距最小，所以此時(shí)z 最大，最大值為5.答案： 5考點(diǎn)一二元一次不等式組 表示平面區(qū)域 基礎(chǔ)送分型考點(diǎn) 自主練透 題組練透 x1，1已知約束條件xy 4

17、0， 表示面積為 1 的直角三角形區(qū)域，則實(shí)數(shù) k kx y 0_.解析： 先作出不等式組第17頁(yè)共50頁(yè)x 1，x y 4，對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖要使陰影部分為直角三角形，當(dāng) k0 時(shí)，此時(shí)三角形的面積為 13 3 9 1，所以不成立22當(dāng) k1 時(shí)，由圖可知，可構(gòu)成直角三角區(qū)域且面積為1.答案： 1xy 0，易錯(cuò)題)若滿足條件xy 2 0，的整點(diǎn) (x， y)恰有 9 個(gè)，其中整點(diǎn)是指橫、縱2 (y a坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)，則整數(shù)a _.解析 ：不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分，當(dāng)a0 時(shí)，只有 4 個(gè)整點(diǎn) (1,1)，(0,0) ，(1,0)，(2,0)；當(dāng) a 1 時(shí)，正好增加 ( 1

18、， 1)， (0， 1)， (1， 1)， (2， 1)， (3， 1)共 5 個(gè)整點(diǎn)答案： 1x 0，3 (2017 廣州五校聯(lián)考 )設(shè)不等式組x 2y 4，所表示的平面區(qū)域?yàn)镈 ，則區(qū)域 D2x y 4的面積為 _解析：如圖，畫(huà)出可行域 易得 A4，4，所以可行域D的面積為 1 2 433B(0,2)C(0,4)2343.答案： 43 謹(jǐn)記通法 確定二元一次不等式(組 )表示的平面區(qū)域的方法第18頁(yè)共50頁(yè)(1)“直線定界，特殊點(diǎn)定域”，即先作直線，再取特殊點(diǎn)并代入不等式組若滿足不等式組， 則不等式 (組 )表示的平面區(qū)域?yàn)橹本€與特殊點(diǎn)同側(cè)的那部分區(qū)域；否則就對(duì)應(yīng)與特殊點(diǎn)異側(cè)的平面區(qū)域如“

19、題組練透”第2 題易忽視邊界(2) 當(dāng)不等式中帶等號(hào)時(shí)，邊界為實(shí)線；不帶等號(hào)時(shí)，邊界應(yīng)畫(huà)為虛線，特殊點(diǎn)常取原點(diǎn)考點(diǎn)二求目標(biāo)函數(shù)的最值題點(diǎn)多變型考點(diǎn) 多角探明 鎖定考向 線性規(guī)劃問(wèn)題是高考的重點(diǎn)，而線性規(guī)劃問(wèn)題具有代數(shù)和幾何的雙重形式，多與函數(shù)、平面向量、數(shù)列、三角、概率、解析幾何等問(wèn)題交叉滲透常見(jiàn)的命題角度有：(1) 求線性目標(biāo)函數(shù)的最值；(2) 求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值；(3) 線性規(guī)劃中的參數(shù)問(wèn)題 題點(diǎn)全練 角度一：求線性目標(biāo)函數(shù)的最值2x y 1 0，(2016全國(guó)丙卷)設(shè)x，y滿足約束條件x 2y 1 0，則1x 1，z 2x 3y 5 的最小值為 _解析： 畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域如

20、圖中陰影部分所示由25z2x y1 0，題意可知，當(dāng)直線 y3x33過(guò)點(diǎn) A 時(shí)，z取得最小值， 聯(lián)立解得 A(x 2y1 0，1， 1)，即 zmin 2 ( 1) 3 ( 1) 5 10.答案： 10角度二：求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值xy 2，2設(shè)實(shí)數(shù) x， y 滿足不等式組y x 2，則 x2 y2 的取值范圍是 _y 1，解析 ：如圖所示，不等式組表示的平面區(qū)域是ABC 的內(nèi)部 (含邊界 )， x2 y2 表示的是此區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x， y)到原點(diǎn)距離的平方從第19頁(yè)共50頁(yè)圖中可知最短距離為原點(diǎn)到直線BC 的距離，其值為1；最遠(yuǎn)的距離為AO，其值為2，故x2 y2 的取值范圍是1,4 答案：

21、 1,4角度三：線性規(guī)劃中的參數(shù)問(wèn)題x 2，3 (2017 州質(zhì)檢蘇 )已知 x， y 滿足x y 4，若目標(biāo)函數(shù)z 3x y 的最大值為2x y m 0.10，則 z 的最小值為 _解析： 畫(huà)出不等式組表示的區(qū)域，如圖中陰影部分所示，作直線 l： 3x y 0，平移l，從而可知經(jīng)過(guò)C 點(diǎn)時(shí) z 取到最3x y 10，x 3，大值，由解得x y 4，y 1，所以 2 3 1 m 0， m 5.由圖知，平移l 經(jīng)過(guò) B 點(diǎn)時(shí)， z 最小，所以當(dāng) x 2， y2 2 5 1 時(shí)， z 最小， zmin 3 2 1 5.答案： 5 通法在握 1 求目標(biāo)函數(shù)的最值3 步驟(1) 作圖 畫(huà)出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中過(guò)原點(diǎn)的那一條直線；(2) 平移 將 l 平行移動(dòng)，以確定最優(yōu)解的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置；(3) 求值 解方程組求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo) (即最優(yōu)解 )，代入目標(biāo)函數(shù)，即可求出最值2 常見(jiàn)的 3 類目標(biāo)函數(shù)(1) 截距型：形如 z ax by.求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)z