用遞推數(shù)列解決兩類問(wèn)題

1、用遞推數(shù)列解決兩類問(wèn)題通過(guò)確立序列得到相鄰各項(xiàng)之間的一般關(guān)系以及初始值 來(lái)確定通項(xiàng)或整個(gè)序列的思想稱為遞推思想 . 適用于定義在自然 數(shù)集上的一類函數(shù)， 它不僅是得到數(shù)列通項(xiàng)公式的重要方法， 更 是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想 . 以排列、組合為背景的大多試 題往往具有題意簡(jiǎn)潔、 趣味性較強(qiáng)的特點(diǎn)， 能更好地考查學(xué)生運(yùn) 用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力 . 本文就利用遞推關(guān)系解決這樣 的兩類問(wèn)題： 一是有關(guān)“傳球方法數(shù)”的一般計(jì)數(shù)方法； 二是有 關(guān)“錯(cuò)裝信封”的概率求法 .問(wèn)題 1 甲、乙、丙三人練習(xí)傳球 , 當(dāng)球從某人手中傳到另一 人手中時(shí) ,稱為一次傳球 ,但不能自己傳給自己 . 從甲開始 ,傳

2、球 5 次后 , 球仍回到甲手中 , 共有多少種不同傳球方法 ?分析 由于所涉及傳球次數(shù)較小 , 故利用枚舉法最適合 ; 但是 不利于發(fā)現(xiàn)一般的結(jié)論 , 因此本文對(duì)第二次接球的人是否為甲進(jìn) 行分類討論 , 從而找到相鄰兩次傳球之間的遞推關(guān)系 .解形如甲x甲xx甲型傳球有 2X2=4種；形如甲x乙xx 甲型傳球有1+2=3種；形如甲x丙xx甲型傳球有1+2=3種；故共有 10 種不同傳球方法 .評(píng)注 上述解法利用甲x甲和甲x #（#:表示這次接球的人不 是甲）把5次傳球降為 3次傳球問(wèn)題 .利用同樣的思路我們可以得 到如下傳球 n 次的一般計(jì)數(shù)方法 .【傳球問(wèn)題】 包含甲、乙在內(nèi)的 m(n3)個(gè)

3、人練習(xí)傳球,設(shè) 傳 n 球次,當(dāng)球從某人手中傳到另一人手中時(shí) , 稱為一次傳球 , 但 不能自己傳給自己 .I .球首先從甲手中傳出，經(jīng)過(guò)n次傳球后，仍回到甲手中， 共有多少種不同方法 ?.球首先從乙手中傳出，經(jīng)過(guò)n次傳球后，傳到甲手中，共 有多少種不同方法 ?分析 由于經(jīng)過(guò)n次傳球后要求回到甲手中與經(jīng)過(guò)n-2次傳球后的情形有比較密切的關(guān)系 ,故我們可以先尋找它們之間的遞 推關(guān)系.解 an 表示球首先從甲手中傳出 , 經(jīng)過(guò) n 次傳球后 , 仍回到 甲手中的方法種數(shù)；bn表示球首先從乙手中傳出，經(jīng)過(guò)n次傳球后，傳到甲手中 的方法種數(shù)；由上述記法 ,易知球從除甲之外的任何一人手中傳出 , 經(jīng)過(guò)

4、n 次傳球后 ,傳到甲手中的方法種數(shù)均為 bn.一方面, 對(duì)每個(gè)傳球的人來(lái)說(shuō) ,每次傳球的方法有 (m-1) 種, 所以經(jīng)過(guò)n次傳球后，傳到甲手中的方法種數(shù)為(m-1)n.而經(jīng)過(guò)n 次傳球后 ,傳到甲手中有以下兩類情形：一類是球從甲手中傳出 , 共有an種方法；另一類是球從非甲手中傳出，共有C1m-1?bn種, 故有等式(m-1)n=an+(m- 1)?bn 另一方面an種方法，又可以分為以下兩種情形第一種甲經(jīng)過(guò)2次傳球后，回到甲手中，形如 甲x甲則 共有 C1m-1?an-2；第二種甲經(jīng)過(guò)2次傳球后，未回到甲手中，形如 甲xx 則共有 A2m-1?bn-2；故又有等式 an=(m-1)an-

5、2+(m-1)(m-2)bn- 2聯(lián)立可得an=an-2+(m-2)(m-1)n-2 ，即 an-an-2=(m-2)(m-1)n-2 且 a1=0,a2=m-1 ，由累加法易得 :當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí) an-a2=(m-1)n-(m-1)2m當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí) an-a1=(m-1)n-(m-1)m, 故有 an=(m-1)n+(-1)n(m-1)m 代入式得 bn=(m-1)n-(-1)nm.問(wèn)題2 某人給 4位朋友寫信 ,寫好 4封信與 4枚信封后 ,交 給秘書,求粗心的秘書把所有的信裝錯(cuò)了信封的概率是多少 ?分析A、B、C、D表示寫給4位朋友的信封;與之對(duì)應(yīng)的4 封信分別用小寫的 a、 b、

6、 c、 d 表示 . 由枚舉法容易得到所有的信 裝錯(cuò)了信封共有 9種情形.解 不妨設(shè) a 裝進(jìn) B 信封, 此時(shí)裝信工作分為以下兩類 :一是b裝進(jìn)A信圭寸，有1種情形；二是b不裝進(jìn)A信圭寸，有2 種情形.故a裝進(jìn)B信封共有3種情形，同理可知c或d裝進(jìn)B信 封也各有 3 種情形 , 因此 4 封信都裝錯(cuò)了信封的概率為 : P4=94!=924=38評(píng)注 利用上述解法的思路可以得到如下更為一般情形的概 率算法.【錯(cuò)裝信封問(wèn)題】 某人給n位朋友寫信，寫好了 n枚信封 與n圭寸信后，交給粗心的秘書，求所有的信裝錯(cuò)了信圭寸的概率是 多少？分析 由題意易知 , 錯(cuò)裝 n 封信的前提一定要保證前面的 n-1

7、 封信必須裝錯(cuò) , 故錯(cuò)裝 n 封信的情形與錯(cuò)裝 n-1 、n-2 封信的情形 有較密切的關(guān)系 , 所以應(yīng)先尋找他們之間的關(guān)系式 .解A、B、C、D表示寫給n位朋友的信圭寸;與之對(duì)應(yīng)的n 圭寸信分別用小寫的a、b、c、d表示.an表示n圭寸信中沒(méi)有一圭寸配對(duì)的裝法種數(shù)；則 Pn=a nn!表示“所有的信都裝錯(cuò)了信圭寸的 概率”.不妨設(shè)a裝進(jìn)B信封,可以分為以下兩類:鞏固練習(xí)： 1甲、乙、丙三人練習(xí)傳球，從甲開始，問(wèn)傳球6 次后仍傳給甲的方法數(shù)是多少 ?2甲、乙、丙三人練習(xí)傳球，從乙開始，問(wèn)傳球6 次后傳給甲的方法數(shù)是多少 ?3甲、乙、丙、丁四人練習(xí)傳球，從甲開始，問(wèn)傳球5 次后仍傳給甲的方法數(shù)是多少 ?4甲、乙、丙、丁四人練習(xí)傳球，從乙開始，問(wèn)傳球5 次后傳給甲的方法數(shù)是多少 ?5某人給 5位朋友寫信 ,寫好 5圭信與 5枚信圭后 ,交給秘書, 求粗心的秘書把所有的信裝錯(cuò)了信封的概率是多少6某人給 6位朋友寫信 ,寫好 6封信與 6枚信封后 ,交給秘 書, 求粗心的秘書把所有的信裝錯(cuò)了信封的概率是多少 ?參考答案 :有關(guān)排列、組合這一章內(nèi)容在高考所占比重不大 , 但試題一 般都以實(shí)際應(yīng)用題形式出現(xiàn) , 主要考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí) 際問(wèn)題的能力 , 還能較好區(qū)分出學(xué)生的思維品質(zhì)；而且試題都具 有一定的靈活性