空間幾何體的表面積與體積練習(xí)題.及答案

1、 空間幾何體的表面積與體積專題一、選擇題1棱長(zhǎng)為 2的正四面體的表面積是( c )a. 3b4c4 3d1613解析 每個(gè)面的面積為： 22 3.正四面體的表面積為：4 3.222把球的表面積擴(kuò)大到原來的 2倍，那么體積擴(kuò)大到原來的 ( b)3d. 2倍a2倍b2 2倍c. 2倍4vr解析 由題意知球的半徑擴(kuò)大到原來的 2倍，則體積 ，知體積擴(kuò)大到原來的 2 2倍333如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角后所得多面體的三視圖，則該多面體的體積為( b )1423284328031403a.b.c.d.解析 根據(jù)三視圖的知識(shí)及特點(diǎn)，可畫出多面體的形狀，如圖所示這個(gè)多面體是由長(zhǎng)方體截去一個(gè)正三棱錐而得到的，

2、所以所求多面體的體積1 1284v vv長(zhǎng)方體222 .446 3 2正三棱錐34某幾何體的三視圖如下，則它的體積是(a)23b8 c8223a8d.3解析 由三視圖可知該幾何體是一個(gè)邊長(zhǎng)為 2 的正方體內(nèi)部挖去一個(gè)底面半123v徑為 1，高為 2的圓錐，所以 2 28 .335已知某幾何體的三視圖如圖，其中正視圖中半圓的半徑為 1，則該幾何3b24d24體的體積為( a)a24 c24232據(jù)三視圖可得幾何體為一長(zhǎng)方體內(nèi)挖去一個(gè)半圓柱，其中長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分132v別為：2,3,4，半圓柱的底面半徑為 1，母線長(zhǎng)為 3，故其體積 234 1 324 .226某品牌香水瓶的三視圖如圖 (單位：cm

3、)，則該幾何體的表面積為(c ) a.95 cmb.94 cm22222 c.94 cmd.95 cm222解析 這個(gè)空間幾何體上面是一個(gè)四棱柱、中間部分是一個(gè)圓柱、下面是一個(gè)四棱柱上面四棱柱的表面積為 23312144130 ；中間部分的表面積為 2 1 ，下面部分的表面2442積為 244162 64 .故其表面積是 94 .sca babasc7已知球的直徑 4， ， 是該球球面上的兩點(diǎn)， 3， 30，則棱錐bscs-abc的體積為(a3 3c)b2 3c. 3d1abscabsc d解析 由題可知 一定在與直徑 垂直的小圓面上，作過 的小圓交直徑 于 ，設(shè) ，sd xdcxs-abd

4、c-abd，在sad和sbd則 4 ，此時(shí)所求棱錐即分割成兩個(gè)棱錐 和 中，由已知條件ad bd可得 3xsc sbc sac dcb dca，又因?yàn)?為直徑，所以 90，所以 60，在3bdcbd x中 ， 3(4 )，所以3xx 3(4 )，所以 3， 3，所以三角形 為xad bdabd31v s正三角形，所以 4 3.abd3二、填空題8三棱錐 pabcpa中， 底面abc pa， 3，底面abcpabc的體是邊長(zhǎng)為 2的正三角形，則三棱錐113pabcv spa| | 2 3 3.2積等于_ 3_解析 依題意有，三棱錐的體積 33 4abc9一個(gè)圓柱的軸截面是正方形，其側(cè)面積與一個(gè)球

5、的表面積相等，那么這個(gè)圓柱的體積與這個(gè)球的體積之比為_ 32_rrr rr2解析 設(shè)圓柱的底面半徑是 ，則該圓柱的母線長(zhǎng)是 2 ，圓柱的側(cè)面積是 2 2 4 ，設(shè)球的rrrrr rr r半徑是 ，則球的表面積是 4 ，根據(jù)已知 4 4 ，所以 .所以圓柱的體積是 22222r423rr32 ，球的體積是 ，所以圓柱的體積和球的體積的比是32.334r3310如圖所示，已知一個(gè)多面體的平面展開圖由一個(gè)邊長(zhǎng)為 1的正方形和 4個(gè)邊長(zhǎng)為 1的正三角形2組成，則該多面體的體積是_ _6 3解析 由題知該多面體為正四棱錐，底面邊長(zhǎng)為 1，側(cè)棱長(zhǎng)為 1，斜高為 ，連2212接頂點(diǎn)和底面中心即為高，可求得高

6、為 ，所以體積 11 .2v2326ro11如圖，半徑為 的球 中有一內(nèi)接圓柱當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與該圓柱的側(cè)面r積之差是_2 _2rrr解析 由球的半徑為 ，可知球的表面積為 4 .設(shè)內(nèi)接圓柱底面半徑為 ，高為2r h22hh r rr hrhr22 ，則 .而圓柱的側(cè)面積為 2 2 4 42 (當(dāng)且僅2222r hr2當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立)，即內(nèi)接圓柱的側(cè)面積最大值為2 ，此時(shí)球的表面積與內(nèi)r接圓柱的側(cè)面積之差為 2 .2abcab c112如圖，已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為 2 cm，高為 5 cm，則一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)11aa1出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn) 的最短路線的長(zhǎng)為_13_c

7、m.解析 根據(jù)題意，利用分割法將原三棱柱分割為兩個(gè)相同的三棱柱，然后將其展開為如圖所示的實(shí)線部分，則可知所求最短路線的長(zhǎng)為 51213 (cm)22三、解答題13某高速公路收費(fèi)站入口處的安全標(biāo)識(shí)墩如圖 1所示，墩的上pefgh，下半部分是長(zhǎng)方體 abcdefgh.圖 2、圖半部分是正四棱錐3分別是該標(biāo)識(shí)墩的正視圖和俯視圖(1)請(qǐng)畫出該安全標(biāo)識(shí)墩的側(cè)視圖；(2)求該安全標(biāo)識(shí)墩的體積解析 (1)側(cè)視圖同正視圖，如圖所示：(2)該安全標(biāo)識(shí)墩的體積為1 40 60402064 000(cm )v v v2233pefghabcdefgh14 .一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示已知正視圖是底邊長(zhǎng)為 1的平行四

8、邊形，側(cè)視圖是一個(gè)長(zhǎng)為 3，寬為 1的矩形，俯視圖為兩個(gè)邊長(zhǎng)為 1的正方形拼成的矩形(1)求該幾何體的體積 v；(2)求該幾何體的表面積 s.解析 (1)由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)平行六面體(如圖)，其底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，高為 3，所以 v11 3 3.(2)由三視圖可知，該平行六面體中，a1d平面 abcd，cd平面 bcc1b1，所以 aa12，側(cè)面 abb1a1，cdd1c1均為矩形， s2(111 312)62 3.15已知某幾何體的俯視圖是如右圖所示的矩形，正視圖(或稱主視圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為 8、高為 4 的等腰三角形，側(cè)視圖(或稱左視圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為 6、高為vs4 的等腰

9、三角形(1)求該幾何體的體積 ；(2)求該幾何體的側(cè)面積 .解析 由題設(shè)可知，幾何體是一個(gè)高為4 的四棱錐，其底面是長(zhǎng)、寬分別為8 和 6 的矩形，正側(cè)面h及其相對(duì)側(cè)面均為底邊長(zhǎng)為 8，高為 的等腰三角形，左、1h右側(cè)面均為底邊長(zhǎng)為 6，高為 的等腰三角形，如右圖所示21(1)幾何體的體積為： 1vsh 68464.33矩形(2)正側(cè)面及相對(duì)側(cè)面底邊上的高為：h 4 3 5.左、右側(cè)面的底邊上的高為：h 4 4 22221212124 2.故幾何體的側(cè)面面積為：s2 85 64 24024 2.1.一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的全面積與側(cè)面積的比是（）. .aa2解：設(shè)展開圖的正

10、方形邊長(zhǎng)為 a，圓柱的底面半徑為 r，則 2r=a， r =，底面圓的面積是，2p4pa2+ a21+ 2p2p于是全面積與側(cè)面積的比是=，a22p2在棱長(zhǎng)為 1 的正方體上，分別用過共頂點(diǎn)的三條棱中點(diǎn)的平面截該正方體，則截去與 8 個(gè)頂點(diǎn)相關(guān)的 8 個(gè)三棱錐后 ，剩下的幾何體的體積是（ ）.2解：正方體的體積為 1，過共頂點(diǎn)的三條棱中點(diǎn)的平面截該正方體截得的三棱錐的體積是1 1 1 1 1 115( ) = ，于是 8 個(gè)三棱錐的體積是 ，剩余部分的體積是 ，3 2 2 2 2 48663一個(gè)直棱柱（側(cè)棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，對(duì)角線長(zhǎng)分別是 6cm 和 8cm，高是 5cm，則這個(gè)

11、直棱柱的全面積是3答案：148 cm2。解：底面菱形中，對(duì)角線長(zhǎng)分別是 6cm 和 8cm，所以底面邊長(zhǎng)是 5cm，側(cè)面面積是 455=100cm ，兩個(gè)底面面積是 48cm ，22所以棱柱的全面積是 148cm .24已知兩個(gè)母線長(zhǎng)相等的圓錐的側(cè)面展開圖恰能拼成一個(gè)圓，且它們的側(cè)面積之比為1：2，則它們的高之比為。4答案：2 2 ： 5解：設(shè)圓柱的母線長(zhǎng)為 l，因?yàn)閮蓚€(gè)圓錐的側(cè)面展開圖恰能拼成一個(gè)圓，且它們的側(cè)面積之比為1：2p 4p2，所以它們的展開圖即扇形的圓心角分別是和，332prl2l由圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角的計(jì)算公式q =，得 = ， = ，r1r2l33 ll - ( )22

12、2 253所以它們的高的比是=.2ll - ( )2235已知三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且長(zhǎng)度分別為 1cm，2cm，3cm，則此棱錐的體積_5答案：1cm3解：轉(zhuǎn)換一個(gè)角度來認(rèn)識(shí)這個(gè)三棱錐，即把它的兩條側(cè)棱(如長(zhǎng)度為 1cm，2cm 的兩條)確定的側(cè)面看作底面，另一條側(cè)棱作為高，則此三棱錐的底面面積是 1，高為 3，1則它的體積是 13=1cm .336矩形兩鄰邊的長(zhǎng)為 a、b，當(dāng)它分別繞邊 a、b 旋轉(zhuǎn)一周時(shí), 所形成的幾何體的體積之比為b6答案：aab aba b2解：矩形繞 邊旋轉(zhuǎn)，所得幾何體的體積是 v = ，矩形繞 邊旋轉(zhuǎn)，所得幾何體的體積是 v = ，212ppv1vb a b2所以兩個(gè)幾何體的體積的比是=a b a22a16四面體的六條棱中，有五條棱長(zhǎng)都等于 .(1)求該四面體的體積的最大值；(2)當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，求其表面積abcdab bc cd ac bd a ad x ad p中，設(shè) ， ，取 的中點(diǎn)為 ，解析 (1)如圖，在四面體bcebp ep cpad的中點(diǎn)為 ，連接 、 、 .得到 平面bpc，va-bcdv va-bpcd-bpcx aa1 11 1 12 sbpcap spdsadaa