9矩陣位移法習題解答,重慶大學,文國治版教材課后答案.

1、第9章矩陣位移法習題解答習題9.1是非判斷題（1） 矩陣位移法既可計算超靜定結構，又可以計算靜定結構。（）（2） 矩陣位移法基本未知量的數(shù)目與位移法基本未知量的數(shù)目總是相等的。（）（3） 單元剛度矩陣都具有對稱性和奇異性。（）（4） 在矩陣位移法中，整體分析的實質(zhì)是建立各結點的平衡方程。（）（5） 結構剛度矩陣與單元的編號方式有關。（）（6） 原荷載與對應的等效結點荷載使結構產(chǎn)生相同的內(nèi)力和變形。（）【解】（1）正確。（2）錯誤。位移法中某些不獨立的桿端位移不計入基本未知量。（3）錯誤。不計結點線位移的連續(xù)梁單元的單剛不具奇異性。（4）正確。（5）錯誤。結點位移分量統(tǒng)一編碼會影響結構剛度矩陣，

2、但單元或結點編碼則不會。（6）錯誤。二者只產(chǎn)生相同的結點位移。習題9.2填空題（1） 矩陣位移法分析包含三個基本環(huán)節(jié)，其一是結構的 ，其二是分析，其三是分析。（2） 已知某單元 的定位向量為3 5 6 7 8 9T，則單元剛度系數(shù)k35應疊加到結構剛度 矩陣的元素中去。（3） 將非結點荷載轉換為等效結點荷載，等效的原則是 。（4 ）矩陣位移法 中，在求解結點 位移之前，主要工作是形成矩陣和列陣。（5）用矩陣位移法求得某結構結點2的位移為=匕V2 nT=0.8 0.3 0.5T，單元的始、末端結點碼為 3、2，單元定位向量為 f =0 0 0 3 4 5t，設單元與 x軸之間的夾角為二，則2（6

3、 ）用矩陣位移法求得平面剛架某單元在單元坐標系中的桿端力為eTF =7.5 -48 -70.9 7.5 48 121.09，則該單元的軸力 Fn=kN?！窘狻浚?）離散化，單元，整體；（2）k68；（3）結點位移相等；（4）結構剛度，綜合結點荷載；（5）00 00.3-0.8 0.5t；（6）-7.5。習題9.3根據(jù)單元剛度矩陣元素的物理意義，直接求出習題9.3圖所示剛架的K中元素R、k23、的值以及K(1)中元素kF、k2?、k35)的值。1 ol,E, A,ly習題9.3圖【解】各剛度系數(shù)的物理意義如習題解9.3圖所示。因此，各剛度系數(shù)的值為kUEA/l，斤2(3)=6EI /I2， k3

4、5)=-6EI/l2 ；kJ =12EI/I3，k23)=0，k35)=O。(i)k231f y(1)(b) k23的物理意義_(1)(a) kii的物理意義(d) k1(1)的物理意義(e) k23)的物理意義習題解9.3圖習題9.4根據(jù)結構剛度矩陣元素的物理意義，直接求出習題9.4圖所示剛架結構剛度矩陣中的元素kn、k21、k32的值。各桿E、lx【解】各剛度系數(shù)的物理意義如習題解9.4圖所示。因此，各剛度系數(shù)的值為kn12EI EAk21 =0，kii1習題解9.4圖理意義。1x123y9.5圖所示。22213習題9.5圖(a) kii和k2i的物理意義【解】各剛度系數(shù)的物理意義如習題解

5、習題9.5用簡圖表示習題9.5圖所示剛架的單元剛度矩陣K中元素K中元素的物(a) k23)的物理意義(b) k44)的物理意義$門1屮2 1c(b) k32的物理意義習題解9.5圖習題9.6習題9.6圖所示剛架各單元桿長為I, EA、EI為常數(shù)。根據(jù)單元剛度矩陣元素的物理意義，寫出單元剛度矩陣 K(1)、K的第3列和第5列元素。習題9.6圖【解】各列剛度系數(shù)的物理意義如習題解9.6圖所示。因而K(1)中第3列元素：06EI 2EIK (1)中第5列元素：012EI 6EI0罕卑I3I24EI6EI2EI T0l-12 0lT0 0EA 小01K中第3列元素：歲0K中第5列元素：0 -豈(d)

6、K(2)第5列元素的物理意義習題解9.6圖習題9.7用先處理法，對習題 9.7圖所示結構進行單元編號、結點編號和結點位移分量編碼,并寫出各單元的定位向量。習題9.7圖【解】離散化結果如習題解9.7圖所示。因而，各單元定位向量為= 1 0 0 2 3 4 T ,芒=5 6 7 0 0 9 T嚴-2345 6 7 I , F - 15 6 8 001(1, 0,0)2(2,3,4)ly 3(5,6,7)5(0,0,9)x2 _| 4(5，6，8)|6(0,0,0)0。習題解9.7圖本題可有多種離散化方法，因此上述答案不是唯一的正確答案。習題9.8用先處理法形成習題 9.8圖所示結構的綜合結點荷載列

7、陣。4kN【解】離散化如習題解9.8圖所示。1(1,0,2)3(6,7,8)2(3,4,5) T435(0,0,0)習題解9.8圖非結點荷載引起的單元固端力為F2) =b -12 0128T，-10-9-4.5 0-9 4.5各單元的等效結點荷載列陣為(2) 兀T345678PF T 乍P2)F(2)-F p 二:1.0128012打(3)A T678090pE3) T 乍P3)(3) -Fp 二094.509-4.5 r集成為結構的等效結點荷載列陣Pe - 1.0 0 0 12 8 0 21-3.5 9 T直接結點荷載列陣為Pd - 10-5 0 4 00 00 0 綜合結點荷載列陣為P P

8、e - 0-5 0 16 8 0 21-3.5 9 f習題9.9用先處理法求習題9.9圖所示連續(xù)梁的結構剛度矩陣和結構的綜合結點荷載列陣。已知：El=2.4 104kN m2。8kN 8kN5kN m6kN/mIE 24El 1El3 El 1 44m2m 2m 2m . 5m習題9.9圖【解】離散化如習題解9.9圖所示。本題無需坐標轉換。先求結構剛度矩陣。各單元的單剛為K 7 1；2集成即可得到結構剛度矩陣K(2)=EI 2/31/32K =EI 4/5|(1/32/33，2/5232/5 34/5 41/200 12.41.20.00.0 15/31/3044.00.80.0=10對22/

9、152/53.520.96稱4/5稱1.92I對2334Pe=10.67-10.67 FPE3)=fl2.5-12.5 T集成為結構的等效結點荷載列陣Pe =1.0 10.671.83 12.5 F再求綜合結點荷載列陣。非結點荷載作用單元的等效結點荷載列陣為綜合結點荷載列陣為P =PjPe - 5 0 0 oh：； Pe-5 10.67 1.83 12.5T習題9.10用先處理法求習題EI =5 105kN m2。9.10圖所示結構剛度矩陣。忽略桿件的軸向變形。各桿320302/5 2K二 El 11/2 2K 二El 11/231 004/5 3|1/2|1/21所以本題只涉及轉角位移未知量

10、,【解】離散化如習題解9.10圖所示。因為不計各桿軸向變形, 無需坐標轉換。各單元的單剛為1 2 24/5 2/5 14/5K =EIK =EI2/5 4/5-2，2/5集成即可得到結構剛度矩陣2/50 142013/52/5=1052132|2/59/50294/5K = El 2/5_0習題9.11用先處理法建立習題9.11圖所示結構的矩陣位移法方程。已知：各桿EA=4 105kN ,El =5 104kN m2。習題9.11圖【解】1 )離散化如習題解 9.11(a )圖所示。(a)離散化習題解9.11 圖2)計算結構剛度矩陣各單元單剛分別為：單元K(1) = K(1) =1040一 1

11、3.3302.2223.3333.3336.667-13.33-2.2223.333-13.33013.33333303.3330-2.222-3.3332.222-3.3333.3333.333-3.3336.6674單元23450610.0000：-J10.000000.93751.8751 0-0.93751.87501.8755.000048752.500110.00一_0_0rY0dd6一飛-一0-0.9375-J.875i 00.9375-1.87501.8752.500048755.0001234506K =K =104單元2340000.93750-J.875-0.93750-

12、1.87512010.000:01-10.0003-1.87505.000；1.875102.5004-0.937501.8750.937501.87500-J0.000:0110.0000L-1.87502.5001.87505.0001K =T T K T =104集成為總剛-2.2220-2.2223.33300 1024.270-1.875-10.000-2.222013.16-1.45801.875K = 1043.333L.875445816.6702.5000L0.000010.000001.8752.50005.0002）計算綜合結點荷載列陣除可以按照習題 做法如下：9.8的方

13、法計算外，還可以直接根據(jù)其物理意義形成綜合結點荷載列陣。具體將原結構上各結點位移未知量利用附加約束限制住后，施以原結構所受荷載。這一過程可理解成在矩陣位移法（先處理法）的基本結構上，作用外荷載，形成如習題解9.11（b）圖所示的矩陣位移法基本體系。由此，可得各附加約束上的反力為因此，綜合結點荷載列陣為P - -Fp - 80183）列出結構剛度方程 K = P-2.2220-2.2223.33324.270-1.875413.161.4581016.67對稱-習題9.12用先處理法計算習題9.12 圖所示剛架=口 018-12012】12 0-12 T00!-8 1-10.000U2001.8

14、751802.500021210.000U305.000L如1T2的結構剛度矩陣。已知:EA=3.2 疋10 kN，EI =4.8 104kN m2。m3SW-I5m習題9.12圖【解】離散化如習題解9.12圖所示。各單元單剛分別為2(2,3,4)1(0,1,0)b3(0,0,0)Ory習題解9.12 圖單元6.4000單元K =K =104-6.4000.90000(2)T (2)4K T K T =10集成為總剛1.8003401000 ；-6.40000 120.46081.152 :10-0.46081.15231.1523.840 :0-1.1521.92040 一一6.40d_一一

15、6一一0-0.4608L.152 ；i00.4608-1.15211.1521.920 i0-1.1523.84I0340000-1.800；-0.900001.80018.00000-8.000004.800；1.80002.40023401.800 :0.900001.800-8.000008.00002-0.9000-1.8002.400 |1.8004.8004K =10習題9.13用先處理法計算習題_0.46089.137.300-0.4608-1.152 18.461-1.8001.1528.640圖所示組合結構的剛度矩陣K。已知:梁桿單元的54EA=3.2 10 kN， EI =

16、4.8 10 kN m鏈桿單元的 EA=2.4 105kN。A習題9.13圖【解】離散化如習題解 9.13圖所示。這里利用一般單元來計算鏈桿單元，令其EI為零，則該單元的桿端轉角為無意義的桿端位移，可為任意值。單元的桿端位移編碼如習題解9.13圖所示,其桿端轉角在結點 4處為“ 0”，表示無桿端轉角；在結點 2處為3”表示與單元和在該端的轉角相同。點位移分量統(tǒng)一編碼應給為“各單元單剛分別為單元和(1)單元K 二K 二K(1) =104T8.00000-8.00000(3)T (3)K T K T =10(3)T (3)00123扎23040九00-8.000001.100.9001.80010

17、-0.9001.800201.8004.8000-1.8002.400300018.0000001-0.900L.80000.900-1.800421.8002.4000-1.8004.800!03000123一 3.0722.3040:七.072-2.3040102.3041.7280=-2.304-1.72800000=0000-3.072-2.30403.0722.30401-2.304-1.7280:2.30411.72802-000000 一3集成為總剛一 19.074K =102.3043.528009.6000-0.900-1.8000.900有多少個?234需79習題9.14圖

18、x3(4,5,6)1(0,0,0)fy7(0,0,0)【解】離散化如習題解9.14圖所示，則各單元定位向量為5(8,9,10)4(4,5,7)2(1,2,3)2 P習題解9.14圖=12 3 00 0T , =1 2(3)3 4 5 6T , (3) = 89 10 4 5 7丁=45 7 00 0T ,(5)二8 910 0 0 11T根據(jù)單元定位向量,判定各結點位移分量間的相關性。這里參考【例10.2】的方法，具體為:位移分量13、6均與位移分量 711無關，得到無關分量 20對；位移分量4、5、7與位移分量11無關，得到無關分量 3對；合計無關分量共 23對。說明K上半三角中，至少有23

19、個元素為零，因此整個K中至少應有46個零元素。習題9.15試用矩陣位移法計算習題9.15圖所示連續(xù)梁，并畫出彎矩圖。各桿20kN IEI=常數(shù)。yiA6kN/m1川川川_TBJCD4m 2m 2m4m習題9.15圖【解】1 )離散化如習題解 9.15(a)圖所示。連續(xù)梁無需坐標轉換。3(2)4(0)1(0) 2(1) 10.8(b) M 圖(kN -m)13.23.6(a)離散化習題解9.15圖2)計算總剛各單元剛度矩陣為011220K=EI1/ 20 K =EI1I1/ 21K=EI I11/ 221/ 211，1/ 21 2 ?1/ 21 0集成為總剛 2 1/2K 二EI|1/2 23）

20、計算綜合結點荷載列陣按照習題9.11中綜合結點荷載列陣的解法，在2、3兩結點上附加剛臂，易求得F P - Fpi Fp2【m8-10 T因此，綜合結點荷載列陣為P - -FP -丨-810 T4 )解結構剛度方程K = P,得1 1-5.6 6.4 f El5）求單元桿端力根據(jù)F K乍二得（1）F (1)二 K ”FP1）二K/-F P1)=EI_1/121/2 很丄J 0 +81=嚴.81 El 1-5.6 18 I 2.4(2)二K (2-.(2) -F P2)二 EI1；21/2丄曲 1 . 0 J2*41El 6.4 2 |03.6F (3)=K (3L(3)F P3)1汩1/2,(3

21、)1/2丄 6.4 2 .= -3.61El |L 010 .1113.24m【解】1 )離散化如習題解 9.16 (a)圖所示。(a)離散化2)計算總剛(c) Fq圖(kN)習題解9.16 圖單元無需坐標轉換，其單元剛度矩陣為單元的坐標轉換矩陣為00012312000 200001.1252.25-V0-1.1252.2502.2561Tr0-2.253-1200011200004125-2.25 J01.125-2.2502.253r0-2.2560.8-0.60 ；000 10.60.80 5000001 =000000 ；0.8-0.60000 :10.60.80000 -001K(1

22、) =K(1) =104T (2)1000123則其剛度矩陣為00012361.65-45.80.864 :-61.6545.80.864-45.834.931.15245.834.931.1520.8641.1524.81-0.864-1.1522.4-61.6545.8-0.864 :161.65-45.8-0.86445.8-34.937.152 :-45.834.93-1.1520.8641.1522.4:-0.864-1.1524.81K =T T K T =104000123集成為總剛K =104181.6.45.8-0.864_45.836.05-3.402-0.864-3.40

23、210.83）計算綜合結點荷載列陣各單元的等效結點荷載列陣為pE1)(1)扎T=-FP1 - 10 1610.670163T-10.67 集成得結構的等效結點荷載列陣16-10.67 f綜合結點荷載列陣為p =PEPPE 討05 0 f - 10 21-10.67 T4 ）解結構剛度方程 K = P,得1.85137.4810-7.37195）求單元桿端力根據(jù) Fe =T e(K.e) - Fpe，得F 二 K (1-(1) - F=1041200-1201201.1252.25-1.1252.252.250-1.1250120-2.250-2.2501.125-2.25 0 10 -0 1-

24、22.22 001678.500+70.6774.561.85131022.227.4810216T3.50-7.3719 _3 10.67 _1-必6 一02.2510占單元定位向量-2.250.8 -0.6 0 0 0 00.60.80：000001I000M4 mm = KBI0 0 0 : 0.8-0.601061.65-45.80.864工1.6545.80.864-0-45.834.931.15245.8 -0.86461.65-1.152-45.8-2.4-0.8640.8001 一45.80.864-34.931.152-1.1522.4-45.8-0.86434.93-1.152-1.1524.8!000500：101.851317.48102-.37193丿單元定位向量-128.87-1.47-2.79-28.871.47-4.56 T6)繪內(nèi)力圖，如習題解 9.16(b)(d)圖所示。習題9.17用矩陣位移法計算習題9.17圖所示平面桁架的內(nèi)力。已知： e=3 107kN/ m2，各桿2A =0.1m。AR習題9.17圖【解】1 )離散化如習題解 9.17(a)圖所示。10008單元和無需坐標轉換,2)計算總剛00120034.50! -7