IIR數(shù)字高通濾波器的設(shè)計說明

1、university of south china數(shù)字信號處理課程設(shè)計題 目 iir數(shù)字高通濾波器的設(shè)計說明 學(xué)院名稱 電 氣 工 程 學(xué) 院 指導(dǎo)教師 班 級 學(xué) 號 學(xué)生姓名 2010年6月7日目 錄摘 要31 iir數(shù)字高通濾波器的設(shè)計41.1 數(shù)字濾波器的概述41.2 數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟41.3 數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)51.4 模擬濾波器的設(shè)計71.4.1模擬濾波器的介紹71.4.2 巴特沃斯（butterworth）低通濾波器的設(shè)計71.5 數(shù)字濾波器的設(shè)計81.5.1 雙線性變換法設(shè)計iir數(shù)字低通濾波器81.5.2 頻帶變換設(shè)計iir數(shù)字高通濾波器101.6 iir巴特沃斯數(shù)字高

2、通濾波器的實例計算122 軟件仿真工具及實現(xiàn)環(huán)境簡介142.1 計算機(jī)輔助設(shè)計方法142.2 工作環(huán)境簡要的介紹152.3 matlab直接設(shè)計iir巴特沃斯數(shù)字高通濾波器163 濾波器結(jié)構(gòu)對數(shù)字濾波器性能指標(biāo)的影響分析193.1 iir系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)193.2 有限字長運算在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中對數(shù)字濾波器的影響253.2.1 運算量化效應(yīng)對數(shù)字濾波器的影響253.2.2 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中對數(shù)字濾波器影響的實例計算分析274 參數(shù)的字長對數(shù)字濾波器性能指標(biāo)的影響284.1 系數(shù)量化對數(shù)字濾波器的影響284.2 系數(shù)量化對iir數(shù)字高通濾波器的影響實例分析30參考文獻(xiàn)34心得體會35附 錄35摘 要數(shù)字濾

3、波器具有比模擬濾波器精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活以及實現(xiàn)模擬濾波器無法實現(xiàn)的特殊功能等優(yōu)點。本設(shè)計介紹了iir數(shù)字高通濾波器的設(shè)計思想與步驟，通過建立濾波器模型利用matlab軟件進(jìn)行仿真，在計算機(jī)輔助計算基礎(chǔ)上分析濾波器結(jié)構(gòu)和參數(shù)的字長對其性能指標(biāo)的影響。著重介紹巴特沃斯低通模擬濾波器、雙線性變換法設(shè)計思想及iir數(shù)字高通濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和有效字長對濾波器性能指標(biāo)的影響，并通過仿真結(jié)果對其進(jìn)行分析。以及簡單介紹matlab軟件在設(shè)計分析數(shù)字高通濾波器使用方法和使用環(huán)境，及其特點。關(guān)鍵字詞：iir濾波器數(shù)字高通濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 有效字長matlababstract digital filte

4、r with high precision than analog filters, stability, small size, light weight, flexible and analog filters can not achieve the advantages of the special features. this design introduces the iir digital high-pass filter design ideas and steps, through the establishment of filter model is simulated u

5、sing matlab software, the computer-aided calculation based on the analysis of filter structure and parameters of word size on the performance indicators. highlights butterworth low-pass analog filter, bilinear transformation method design and iir digital high pass filter network structure and effect

6、ive word-length performance of the filter, and analyze the simulation results. and a brief analysis of matlab software in the design of digital high-pass filter using the method and the use of the environment, and its characteristics. keywords: iir filters digital high pass filter network structure

7、and effective word length matlabiir數(shù)字高通濾波器的設(shè)計1 iir數(shù)字高通濾波器的設(shè)計1.1 數(shù)字濾波器的概述所謂數(shù)字濾波器，是指輸入、輸出均為數(shù)字信號，通過數(shù)值運算處理改變輸入信號所含頻率成分的相對比例，或者濾除某些頻率成分的數(shù)字器件或程序。下圖給出了一個具有模擬輸入信號和輸出信號的實時數(shù)字濾波器的簡化方框圖。這個帶限模擬信號被周期地抽樣，且轉(zhuǎn)化成一系列數(shù)字x（n）（n=0,1,）。數(shù)字處理器依據(jù)濾波器的計算算法，執(zhí)行濾波運算，把輸入系列x（n）映射到輸出系列y（n）。dac把數(shù)字濾波后的輸出轉(zhuǎn)化成模擬值，這些模擬值接著被模擬濾波器平滑，并且消去不想要的高頻

8、分量。一個具有模擬輸入和輸出信號的實時數(shù)字濾波器的簡化方框圖數(shù)字濾波器在數(shù)字信號處理中具有非常重要的地位。在許多應(yīng)用中（例如數(shù)據(jù)壓縮，生物醫(yī)學(xué)信號處理、語音處理、圖象處理、數(shù)據(jù)傳輸、數(shù)字音頻、電話回聲對消，等等），數(shù)字濾波器和模擬濾波器比數(shù)字濾波器的有優(yōu)勢更加明顯。1.2 數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟設(shè)計一個iir數(shù)字濾波器主要包括下面5個步驟：（1） 確定濾波器要求的規(guī)范指標(biāo)。（2） 選擇合適的濾波器系數(shù)的計算（如圖一流程圖所示）。（3） 用一個適當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)來表示濾波器（實現(xiàn)結(jié)構(gòu)）。（4） 有限字長效應(yīng)對濾波器性能的影響分析。（5） 用軟件或硬件來實現(xiàn)濾波器。這五個步驟不是必須相互對立的，它們也不是總

9、要按照上面給出的順序執(zhí)行。為了獲得一個有效的濾波器，在這些步驟間重復(fù)幾遍可能是必需的，特別是如果問題的規(guī)范本身就有漏洞（這是很常見的情況）。確定數(shù)字巴特沃斯高通濾波器指標(biāo)推導(dǎo)出歸一化模擬巴特沃斯低通濾波器指標(biāo)計算出歸一化模擬巴特沃斯低通濾波器去歸一化推導(dǎo)出模擬巴特沃斯高通濾波器雙線性變換推導(dǎo)出數(shù)字巴特沃斯高通濾波器圖一 流程圖數(shù)字濾波器的相位響應(yīng)并不像它的幅度響應(yīng)那樣精確。在許多情況下，指出需要考慮的相位失真或者需要得到的線性相位響應(yīng)就夠了。然而，在一些濾波器被用來均衡或者補(bǔ)償一個系統(tǒng)響應(yīng)的應(yīng)用中，例如作為移相器，那么期望得到的相位響應(yīng)將需要指定。本次設(shè)計的iir數(shù)字濾波器系數(shù)的計算是根據(jù)已知

10、的模擬濾波器的特性轉(zhuǎn)換到等價的數(shù)字濾波器。兩個常用的基本方法是沖激不變法和雙線性變換法。在對模擬濾波器數(shù)字化以后，利用沖激不變響應(yīng)法，原始的模擬濾波器的沖激響應(yīng)應(yīng)得到保留，但不保留它的幅度頻率響應(yīng)。因為固有的混疊，這個方法對高通或者阻帶濾波器是不合適的。另一方面，雙線性方法生成的濾波器是非常有效，而且非常適合于頻率選擇型的濾波器系數(shù)的計算。它允許利用已知的典型特性例如巴特沃斯來設(shè)計數(shù)字濾波器。從雙線性變換法得到的數(shù)字濾波器，一般來說保留了模擬濾波器的幅度響應(yīng)特性，但時域性沒有保留。因此本次設(shè)計使用對iir濾波器是最好的雙線性法。1.3 數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo) 常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。

11、假設(shè)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)用下式表示： 式中，稱為幅頻特性函數(shù);稱為相頻特性函數(shù)。幅頻特性表示信號通過該濾波器后各頻率成分振幅衰減情況，而相頻特性反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況。下圖表示低通濾波器的幅頻特性， 和分別稱為通帶邊界頻率和阻帶截止頻率。通帶頻率范圍為0|p，在通帶中要求，阻帶頻率范圍為s|，在阻帶中要求。 從到稱為過渡帶，過渡帶上的頻響一般是單調(diào)下降的。低通濾波器的幅頻特性通常，通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用分貝表示，通帶內(nèi)允許的最大衰減用表示，阻帶內(nèi)允許的衰減用表示。對低通濾波器，和分別定義為 所以低通濾波器的設(shè)計指標(biāo)完全由通帶邊界頻率、通帶最大衰減 阻帶邊界頻率

12、和阻帶最小衰減as確定。片段常數(shù)特性： 對于選頻型濾波器，一般對通帶和阻帶內(nèi)的幅頻響應(yīng)曲線形狀沒有具體要求，只要求其波紋幅度小于某個常數(shù)，通常將這種要求稱為“片段常數(shù)特性”。所謂片段，是指“通帶”和“阻帶”，常數(shù)是指“通帶波紋幅度”和“阻帶波紋幅度”，而通帶最大衰減和阻帶最小衰減是與和完全等價的兩個常數(shù)。片段常數(shù)特性概念在選頻型濾波器設(shè)計中很重要，尤其有助于理解iir數(shù)字濾波器的雙線性變換設(shè)計思想。上圖所示的單調(diào)下降幅頻特性，和別可以表示為:如果將歸一化為1則表示為： 當(dāng)幅度下降到時，標(biāo)記，此時，稱為3 db通帶截止頻率。、和統(tǒng)稱為邊界頻率，它們是濾波器設(shè)計中所涉及到的很重要的參數(shù)。對其他類型

13、的濾波器，上式中的應(yīng)改成，為濾波器通帶中心頻率。1.4 模擬濾波器的設(shè)計1.4.1 模擬濾波器的介紹模擬濾波器的理論和設(shè)計方法已經(jīng)發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選用，如巴特沃斯（butterworth）濾波器、切比雪夫（chebyshev）濾波器等，這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計方式，現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計人員使用。這些典型濾波器都有特點，可以根據(jù)具體要求選擇不同類型的濾波器。模擬濾波器按幅度特性可以分為低通、高通、帶通、帶阻、全通濾波器。但我們設(shè)計濾波器時，總是先設(shè)計低通濾波器，再通過頻率變換將低通濾波器轉(zhuǎn)換成希望類型的濾波器。下面先介紹巴特沃斯（butterworth）低通濾波器

14、的技術(shù)指標(biāo)，然后介紹頻帶的轉(zhuǎn)換。1.4.2 巴特沃斯（butterworth）低通濾波器的設(shè)計 巴特沃斯濾波器，又被稱為“最平”的幅頻響應(yīng)濾波器。這是因為，該濾波器在通帶內(nèi)具有最大平坦的幅度特性，而且隨著頻率升高呈現(xiàn)出單調(diào)減小的特點。n階低通巴特沃斯濾波器的幅度平方函數(shù)為： 巴特沃斯幅度特性和n的關(guān)系其中，為通帶寬度，即截止頻率。當(dāng)階次n增大時，濾波器的特性曲線變得更加陡峭如上圖，其特性就越接近于理想的矩形幅頻特性。巴特沃斯濾波器屬于全極點設(shè)計，它的極點由下式?jīng)Q定： 式中，。所以，在s平面上有2n個極點等間隔地分布在半徑為的圓周上，并且極點都是成復(fù)共軛對出現(xiàn)，極點位置與虛軸對稱，但不在虛軸上。

15、1.5 數(shù)字濾波器的設(shè)計1.5.1 雙線性變換法設(shè)計iir數(shù)字低通濾波器雙線性變換法的思想是：將模擬濾波器的傳遞函數(shù)形式化為完全以積分器（1/s）構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)形式。然后由數(shù)字網(wǎng)絡(luò)來代替模擬積分器，從而整個濾波器網(wǎng)絡(luò)都轉(zhuǎn)化成了數(shù)字的。這種映射是最好的變換方法，它涉及一個眾所周知的函數(shù)給出為 這里t是一個參數(shù)。這個變換的另一個名字是線性函數(shù)變換，因為當(dāng)離開之后得到這在每個變量上都是線性的，如果另一個固定的話；或者說在s和z上是雙線性的。在上式制約下的復(fù)平面映射如下圖所示。從該圖的觀察可得出現(xiàn)下面幾點： 雙線性變換中的復(fù)平面映射討論s平面的虛軸與z平面的單位圓之間的映射關(guān)系，令=0可得到雙線性變換

16、法下模擬濾波器的角頻率與數(shù)字濾波器的角頻率之間的關(guān)系： 或 由關(guān)系式可知與之間的非線性關(guān)系如圖：與之間的非線性關(guān)系從而使所設(shè)計的數(shù)字濾波器的截止頻率發(fā)生變化。設(shè)計當(dāng)中應(yīng)式子： 把已經(jīng)得到的數(shù)字濾波器截止頻率預(yù)先變換為。 這表明是與非線性關(guān)聯(lián)的（或畸變），但是不存在混疊。因此，在上式中我們說是被預(yù)先畸變到的。已知數(shù)字濾波器的設(shè)計要求，rp和as，要求確定。在這個過程中的設(shè)計步驟如下：（1） 選取某一t。這是任意的，可以選t1。（2） 將截止頻率和預(yù)失真；計算 （3） 設(shè)計一個模擬濾波器ha(s)滿足設(shè)計參數(shù)，rp和as。前面已經(jīng)討論過來如何完成這一步。（4） 最后，令 并作化簡得出作為有理函數(shù)的

17、h(z)。1.5.2 頻帶變換設(shè)計iir數(shù)字高通濾波器在前面我們從它們對應(yīng)的模擬濾波器設(shè)計了數(shù)字低通濾波器，但我們的設(shè)計目標(biāo)數(shù)數(shù)字高通濾波器可以這樣來完成：將一個低通濾波器的頻率軸（或頻帶）進(jìn)行變換，以使得它的特性行為表現(xiàn)成另外的頻率選擇性濾波器。這些在復(fù)變量z上的變換是非常類似于雙線性變換的，并且設(shè)計方程都是代數(shù)方程，這里要給出隱藏在這后面的基本思想。令是已知的原型低通數(shù)字濾波器和h（z）是期望的頻率選擇性數(shù)字濾波器。應(yīng)該注意，我們在和h上正在分別使用兩個不同的頻率變量z和z。定義一種映射關(guān)系 以使得有為此，只要在中處用函數(shù)替換即可。已知是一個穩(wěn)定和因果的濾波器，也要求h（z）是穩(wěn)定和因果的

18、。這就要求強(qiáng)加下列條件：（1） g（）必須是的有理函數(shù)，以使得h（z）是可以實現(xiàn)的。（2） z平面的單位圓必須要映射到z平面的單位圓。（3） 對于穩(wěn)定的濾波器，z平面的單位圓內(nèi)必須映射到z平面的單位圓內(nèi)。 令和分別是z和z的頻率變量；也就是說，和均在它們各自的單位圓上。那么上面條件（2）就意味著 和或者 滿足上面條件的g（）函數(shù)的一般形式是一個全通型的有理函數(shù)給出為其中為確保穩(wěn)定性|1并滿足條件（3）?，F(xiàn)在通過選取合適的階次n和系數(shù)，就能得到各種映射關(guān)系，其中最廣泛應(yīng)用的變換在下表中給出。數(shù)字濾波器頻率變換（原型低通濾波器有截止頻率）變換類型變換參數(shù)低通新濾波器的截止頻率高通新濾波器的截止頻率

19、帶通下截止頻率上截止頻率2k/(k+1)=(k-1)/(k+1)k=帶阻下截止頻率上截止頻率2k/(k+1)=(k-1)/(k+1)k=1.6 iir巴特沃斯數(shù)字高通濾波器的實例計算（1）設(shè)計要求設(shè)計一個巴特沃斯數(shù)字高通濾波器,要求通帶截止頻率 rad ,通帶衰減不大于1db,阻帶截止頻率rad，阻帶衰減不小于15db。（2）確定數(shù)字高通的技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率 rad， 通帶最小衰減 db阻帶截止頻率 rad， 阻帶最大衰減 db（3）將巴特沃斯高通數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成巴特沃斯高通模擬濾波器的設(shè)計指標(biāo)：令t=2s，預(yù)畸變校正得到的模擬邊界頻率：；。（4）模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)計算如下

20、：對通帶邊界頻率歸一化，由于本設(shè)計的為1db截止頻率，所以把和-帶入求得歸一化巴特沃斯低通濾波器的阻帶截止頻率為： ， db（5）設(shè)計歸一化巴特沃斯模擬濾波器g（p）。：所以取n=4，根據(jù)巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)表(見附錄)可得歸一化模擬低通原型系統(tǒng)函數(shù)g(p)為： （6）利用頻率變換公式將g(p)轉(zhuǎn)換成模擬高通： 把代入此式可得： 用雙線性變換法將模擬高通轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通：令 ,2 軟件仿真工具及實現(xiàn)環(huán)境簡介2.1 計算機(jī)輔助設(shè)計方法傳統(tǒng)設(shè)計法思路清晰，步驟詳盡，可參閱公式、手冊循章而行。但由于計算煩瑣，手工計算大多只能用來進(jìn)行簡單低階選頻濾波器（如lp，hp，bp及bs等）設(shè)計。集電路理

21、論、網(wǎng)絡(luò)、高級計算機(jī)語言等多交叉學(xué)科于一身的新領(lǐng)域，它把計算機(jī)的快速、高精度、大存儲容量，嚴(yán)格的邏輯判斷和優(yōu)良的數(shù)據(jù)處理能力與人的思維創(chuàng)造能力充分的結(jié)合起來，極大的簡化了數(shù)字濾波器的設(shè)計過程。在優(yōu)秀科技應(yīng)用軟件matlab的信號處理工具箱中提供了一整套模擬，數(shù)字濾波器的設(shè)計命令和運算函數(shù)，方便準(zhǔn)確，簡單容行使得設(shè)計人員除了可按上述傳統(tǒng)設(shè)計步驟快速的進(jìn)行較復(fù)雜高階選頻濾波器的計算、分析外，還可通過原型變換直接進(jìn)行各種典型數(shù)字濾波器設(shè)計，即應(yīng)用matlab設(shè)計工具從模擬原型直接變換成滿足原定頻域指標(biāo)要求有數(shù)字濾波器。此外，matlab軟件還提供了強(qiáng)大的數(shù)字濾波器優(yōu)化設(shè)計功能。即預(yù)先確定一種最佳設(shè)計

22、準(zhǔn)則，然后直接求得在該準(zhǔn)則下濾波器系統(tǒng)的傳遞函數(shù)b,a。這種最優(yōu)設(shè)計方法可方便地用于任意幅頻特性要求的多帶通復(fù)雜濾波器系統(tǒng)的設(shè)計。2.2 工作環(huán)境作簡要的介紹在啟動matlab后出現(xiàn)如下頁圖二的畫面，包括“菜單項”、“工具欄”、“command window”窗口（也就是指令窗口）、“workspace”窗口、“current directory”窗口待，還可以根據(jù)需要打開其它的窗口，其中“菜單項”和“工具欄”和其它軟件無多大區(qū)別，“command window”窗口主要用于用戶輸入相關(guān)的指令，“workspace”窗口列出各程序計算過程中產(chǎn)生的變量及其對應(yīng)的數(shù)值的尺寸、字節(jié)和類型，“curr

23、ent directory”窗口是列出當(dāng)前文件的路徑及其相關(guān)的一些屬性。matlab有兩種常用的工作方式:一種是直接交互的命令行操作方式；另一種是文件的編輯工作方式。在前一種工作方式下，matlab被當(dāng)作一種高級“數(shù)字演算和圖示器”來使用，matlab程序是一個asc碼文件(標(biāo)準(zhǔn)的文本文件) 擴(kuò)展名為“.m” ，即m文件。從功能上來講，m文件大大擴(kuò)展了matlab的能力。通過工具箱，matlab才能被應(yīng)用到控制、信號處理、小波分析、系統(tǒng)辨識、圖像處理等各個方面這些工具箱全部是由m文件構(gòu)成的，本次設(shè)計就將應(yīng)用其中的fdatoll工作箱輔助函數(shù)用以濾波器的輔助設(shè)計和分析。圖二 matlab主界面圖

24、2.3 matlab直接設(shè)計iir巴特沃斯數(shù)字高通濾波器matlab編程如下：fs=5000;wp=800*2/fs;ws=400*2/fs;rp=1;rs=15;nn=128;n,wn=buttord(wp,ws,rp,rs)b,a=butter(n,wn,high)freqz(b,a,nn,fs)matlab運算結(jié)果如下：n = 4wn = 0.2388b = 0.3647 -1.4587 2.1881 -1.4587 0.3647a = 1.0000 -2.0578 1.8545 -0.7895 0.1331基于巴特沃斯模擬濾波器設(shè)計的數(shù)字高通濾波器的幅頻響應(yīng)曲線基于巴特沃斯模擬濾波器設(shè)

25、計的數(shù)字高通濾波器的損耗函數(shù)基于巴特沃斯模擬濾波器設(shè)計的數(shù)字高通濾波器的群延遲特性基于巴特沃斯模擬濾波器設(shè)計的數(shù)字高通濾波器的沖擊響應(yīng)特性基于巴特沃斯模擬濾波器設(shè)計的數(shù)字高通濾波器的階躍響應(yīng)特性基于巴特沃斯模擬濾波器設(shè)計的數(shù)字高通濾波器的零極點特性圖3 濾波器結(jié)構(gòu)對數(shù)字濾波器性能指標(biāo)的影響分析3.1 iir系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) iir系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有三種，即直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型。直接型將n階差分方程重寫如下：對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為設(shè)m=n=2，按照差分方程可以直接畫出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如下圖（a）所示。圖中第一部分系統(tǒng)函數(shù)用表示，第二部分用表示，那么，當(dāng)然也可以寫成,按照該式，相當(dāng)于將下圖(a)中兩部分流

26、圖交換位置，如下圖（b）所示。該圖中節(jié)點變量w1=w2，因此前后兩部分的延時支路可以合并，形成如下圖 (c)所示的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)流圖，我們將下圖 (c)所示的這類流圖稱為iir直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。m=n=2時的系統(tǒng)函數(shù)為對照下圖 (c)的各支路的增益系數(shù)與分母分子多項式的系數(shù)可見，可以直接按照畫出直接型結(jié)構(gòu)流圖。 iir網(wǎng)絡(luò)直接型結(jié)構(gòu)下面來講述直接型的matlab的表示與實現(xiàn)：設(shè)計數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)h（z）分子和分母多項式系數(shù)向量bz和az:fs=5000;wp=800*2/fs;ws=400*2/fs;rp=1;rs=15;nn=128;n,wn=buttord(wp,ws,rp,rs)bz,az=b

27、utter(n,wn,high)matlab運算結(jié)果如下：n = 4wn = 0.2388bz= 0.3647 -1.4587 2.1881 -1.4587 0.3647az= 1.0000 -2.0578 1.8545 -0.7895 0.1331由bz和az寫出數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)：有h（z）寫出差分方程如下：直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如下圖：x(n)y(n)0.36472.0578-1.85450.7895-0.1331-0.145872.18811.45870.3647直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖在后面的分析中我們將發(fā)現(xiàn)，直接型系統(tǒng)對濾波器的性能控制作用不明顯，極點對系數(shù)的變化不靈敏，易出現(xiàn)不穩(wěn)定或較大誤差，而

28、且運算的累積誤差較大。因此，在設(shè)計時一般不選用直接型。級聯(lián)型級聯(lián)型結(jié)構(gòu)是將系統(tǒng)傳遞函數(shù)h(z)寫成具有實系數(shù)的二階節(jié)的乘積。將分子和分母多項式分解為各自的根，然后將一對復(fù)數(shù)共軛根（或者任意兩個實數(shù)根）組合成二階多項式。在直接型表示的系統(tǒng)函數(shù)h(z)中，分子、分母均為多項式，且多項式的系數(shù)一般為實數(shù)?，F(xiàn)將分子、分母多項式分別進(jìn)行因式分解，得到：上式中, a是常數(shù); cr和dr分別表示h(z)的零點和極點。由于多項式的系數(shù)是實數(shù)，cr和dr是實數(shù)或者是共軛成對的復(fù)數(shù)，將共軛成對的零點（極點）放在一起，形成一個二階多項式，其系數(shù)仍為實數(shù)；再將分子、分母均為實系數(shù)的二階多項式放在一起，形成一個二階網(wǎng)絡(luò)

29、。如下式：上式中表示一個一階或二階的數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的子系統(tǒng)函數(shù)，每個的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)均采用前面介紹的直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如下圖所示，h(z)則由k個子系統(tǒng)級聯(lián)構(gòu)成。 一階和二階直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下面來講述級聯(lián)型的matlab的表示與實現(xiàn)：將數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)h（z）：用matlab轉(zhuǎn)換成級聯(lián)型的程序如下：bz=0.3647 -1.4587 2.1881 -1.4587 0.3647;az=1.0000 -2.0578 1.8545 -0.7895 0.1331;s,g=tf2sos(bz,az)freqz(bz,az)說明：s,g=tf2sos(bz,az):實現(xiàn)直接型到級聯(lián)型的變換。b和a分別為直接型系統(tǒng)函數(shù)的

30、分子和分母多項式系數(shù)向量。返回l級二階級聯(lián)型結(jié)構(gòu)的系數(shù)矩陣s和增益常數(shù)g。matlab運算結(jié)果如下：s = 1.0000 -2.1807 1.1988 1.0000 -0.8976 0.2272 1.0000 -1.8190 0.8341 1.0000 -1.1602 0.5859g = 0.3647由s和g寫出數(shù)字濾波器級聯(lián)型系統(tǒng)函數(shù)：級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如下圖：-0.2961x(n)y(n)-0.8976-0.2272-2.18071.1988-1.0003-0.123780.06189級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖在級聯(lián)型結(jié)構(gòu)中，每一級分子的系數(shù)確定一對零點，分母的系數(shù)確定一對極點，因為子網(wǎng)絡(luò)的零極點也即整

31、體網(wǎng)絡(luò)的零極點，所以整個系統(tǒng)的零極點都可以準(zhǔn)確的由每一級的系數(shù)來調(diào)整和控制，這樣便于調(diào)整濾波器的頻率響應(yīng)性能，其靈敏度特性優(yōu)于直接型和正準(zhǔn)型結(jié)構(gòu)。其次，級聯(lián)結(jié)構(gòu)具有最少的存儲器。并聯(lián)支路的極點也是整個網(wǎng)絡(luò)的極點，而并聯(lián)支路的零點卻不是整個網(wǎng)絡(luò)的零點，因此并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)能獨立的調(diào)整系統(tǒng)的極點位置，但不能控制零點。并聯(lián)結(jié)構(gòu)的靈敏度由于直接型和正準(zhǔn)型，運算累積誤差比級聯(lián)型小。并聯(lián)型如果將級聯(lián)形式的h(z)展成部分分式形式，則得到：對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為這k個子系統(tǒng)并聯(lián)。上式中，hi(z)通常為一階網(wǎng)絡(luò)或二階網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)均為實數(shù)。二階網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)一般為式中，、和i都是實數(shù)。如果=0，則構(gòu)成一階網(wǎng)絡(luò)。由上式，其

32、輸出y(z)表示為上式表明將x(n)送入每個二階（包括一階）網(wǎng)絡(luò)后，將所有輸出加起來得到輸出y(n)。 在并聯(lián)型結(jié)構(gòu)中，每一個一階網(wǎng)絡(luò)決定一個實數(shù)極點，每一個二階網(wǎng)絡(luò)決定一對共軛極點，因此調(diào)整極點位置方便，但調(diào)整零點位置不如級聯(lián)型方便。另外，各個基本網(wǎng)絡(luò)是并聯(lián)的，產(chǎn)生的運算誤差互不影響，不像直接型和級聯(lián)型那樣有誤差積累，因此，并聯(lián)形式運算誤差最小。由于基本網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)，可同時對輸入信號進(jìn)行運算，因此并聯(lián)型結(jié)構(gòu)與直接型和級聯(lián)型比較，其運算速度最高。3.2 有限字長運算在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中對數(shù)字濾波器的影響3.2.1 運算量化效應(yīng)對數(shù)字濾波器的影響在實現(xiàn)數(shù)字濾波器時，將遇到相乘與求和運算。在定點制運算中，每一

33、次乘法運算之后都要作一次舍入（或截留）處理，研究定點實現(xiàn)相乘運算的流圖如下圖所示。圖（a）表示無限精度乘積y(n)；圖（b）表示有限精度乘積,表示舍入運算。采用統(tǒng)計分析方法時，可以將舍入誤差作為獨立噪聲e(n)疊加在信號上，如圖(c)所示。a理想相乘 b實際相乘的非線性流圖 c統(tǒng)計模型的線性流圖定點相乘運算的流圖表示顯然，采用統(tǒng)計分析方法后，實際的輸出可以表示為：對于舍入處理，e(n)的均值為零，方差為：現(xiàn)在以一個一階iir巴特沃斯數(shù)字高通濾波器為例來討論分析方法。表示其輸入與輸出關(guān)系的差分方程為 ， n0式中|a|1。它含有乘積項，這將引入一個舍入噪聲，其統(tǒng)計分析流圖示于下圖。一階iir濾波

34、器的幅頻特性整個系統(tǒng)可以當(dāng)作線性系統(tǒng)來處理。輸出噪聲是由噪聲源e(n)造成的輸出誤差，可由量化誤差通過線性系統(tǒng)的方法求得輸出噪聲。由于e(n)疊加在輸入端，因此式中h(n)=anu(n)是一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng),由式 （為輸出噪聲方差）和可求得輸出噪聲的方差式中h(z)為一階iir系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即有此可以求得 ，（,）由此可見，字長b越大，數(shù)字濾波器輸出端的噪聲越小。3.2.2 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中對數(shù)字濾波器影響的實例計算分析已知h（z）的系統(tǒng)函數(shù)為直接型：（，分別是系數(shù)0.3647，0.3647相乘后的舍入噪聲） 級聯(lián)型：同理并聯(lián)型可求得：在以上式中 根據(jù)上面的計算結(jié)果，比較這三種結(jié)構(gòu)的誤差大小，

35、可以看到直接型結(jié)構(gòu)的輸出誤差最大，級聯(lián)型次之，并聯(lián)型結(jié)構(gòu)的誤差最小。這是因為直接型結(jié)構(gòu)中所有舍入誤差都要經(jīng)過全部網(wǎng)絡(luò)額反饋環(huán)節(jié)，因此，使這些誤差在反饋過程中積累起來，致使誤差很大。在級聯(lián)型結(jié)構(gòu)中，每個舍入誤差只通過其后面的反饋環(huán)節(jié)，而不通過它前面的反饋環(huán)節(jié)，因而誤差要比直接型小。在并聯(lián)型結(jié)構(gòu)中，每個并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的舍入誤差僅僅通過本通路的反饋環(huán)節(jié)，與其他并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)無關(guān)，因此積累作用最小，誤差最小。這個結(jié)論對iir濾波器具有普遍意義，所以從有限字長效應(yīng)看來，不論是哪一種型式的直接型結(jié)構(gòu)都是最差的，運算誤差最大，特別在高階時應(yīng)避免采用。級聯(lián)型結(jié)構(gòu)較好，而并聯(lián)型結(jié)構(gòu)具有最小的運算誤差。4 參數(shù)的字長對數(shù)字濾

36、波器性能指標(biāo)的影響4.1 系數(shù)量化對數(shù)字濾波器的影響 系統(tǒng)對輸入信號進(jìn)行處理時需要若干參數(shù)或者稱為系數(shù)，這些系數(shù)都要存儲在有限位數(shù)的寄存器中，因此存在系數(shù)的量化效應(yīng)。系數(shù)的量化效應(yīng)誤差直接影響系統(tǒng)函數(shù)的零、極點位置，如果發(fā)生了偏移，會使系統(tǒng)的頻率響應(yīng)偏移理論設(shè)計的頻率響應(yīng)，不滿足實際需要。 下面分析系數(shù)量化誤差對極零點位置的影響。如果極零點位置改變了，嚴(yán)重時不僅iir系統(tǒng)的頻率響應(yīng)會發(fā)生變化，還會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此研究極點位置的改變更加重要。為了表示系數(shù)量化對極點位置的影響，引入極點位置靈敏度的概念，所謂極點靈敏度, 是指每個極點對系數(shù)偏差的敏感程度。相應(yīng)的還有零點位置靈敏度，分析方法相同

37、。下面討論系數(shù)量化對極點位置的影響?，F(xiàn)分析一個n階直接型結(jié)構(gòu)的iir濾波器的傳遞函數(shù)上式表示了一個n階直接型結(jié)構(gòu)的iir數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，該濾波器的極點都在單位圓內(nèi)聚集在z=1附近。系數(shù)ak和bk必須用有限位二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行量化，存儲在有限長的寄存器中，經(jīng)過量化后的系數(shù)誤差為ar和br，量化后的系數(shù)用和，即則實際的系統(tǒng)函數(shù)可表示為:顯然，系數(shù)量化后的頻率響應(yīng)已不同于原來設(shè)計的頻率響應(yīng)。用直接型結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)該濾波器時，系數(shù)ak和bk都將直接出現(xiàn)在信號流程圖中，其中ak影響著極點的位置。當(dāng)由于系數(shù)量化誤差使一個極點從單位圓內(nèi)移動到單位圓上或單位圓外時，濾波器的穩(wěn)定性即受到破壞。所以，只要有一個系數(shù)由

38、于量化產(chǎn)生很微小的誤差，就有可能使系統(tǒng)失去穩(wěn)定。反饋支路的階次n越高，使濾波器失去穩(wěn)定的系數(shù)量化誤差的絕對值就越小，則越容易使濾波器變得不穩(wěn)定。 設(shè)濾波器的傳輸函數(shù)，系數(shù)ak 和bk經(jīng)舍入量化后為和，這里ar和br是量化誤差。 分母多項式有n個極點，用（i=1,2, n）表示。這樣，實際的濾波器的傳輸函數(shù)為:上式中，是第i個極點的偏差，稱為極點誤差，它應(yīng)該和各個系數(shù)偏差都有關(guān)，它和各系數(shù)偏差的關(guān)系用下式表示:上式中，的大小決定著系數(shù)的偏差對極點偏差的影響程度。越大，對影響也越大。稱為極點對系數(shù)變化的靈敏度。下面推導(dǎo)該靈敏度和極點的關(guān)系：從上式中看，分母多項式中，()是極點指向當(dāng)前極點的矢量，而

39、整個分母正是所有極點（不包括極點）指向當(dāng)前極點的矢量之積。如果極點密集在一起，極點間距短，那分母多項式的值就很小，那么極點對系數(shù)量化誤差的敏感度高，相應(yīng)的極點偏移就大。 考慮以上因素，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)最好不用高階的直接型結(jié)構(gòu)，而將其分解成一階或者二階系統(tǒng)，再將它們進(jìn)行串聯(lián)或并聯(lián)，以便減小極點偏移量。4.2 系數(shù)量化對iir數(shù)字高通濾波器的影響實例分析iir濾波器存在著遞歸計算的問題，它的系數(shù)誤差可能在循環(huán)計算中不斷擴(kuò)散，因此，一般地說，對系數(shù)誤差的敏感程度比fir濾波器嚴(yán)重。特別是當(dāng)iir濾波器的幾點靠近z平面上單位圓時，幅頻特性通常要出現(xiàn)很大的峰值。下面通過實例來計算和觀察。數(shù)字巴特沃斯高通濾波器

40、的系統(tǒng)函數(shù)如下式：用matlab將系數(shù)經(jīng)過1和4位二進(jìn)制舍入量化，分析變化編程如下：b=0.3647 -1.4587 2.1881 -1.4587 0.3647;a=1.0000 -2.0578 1.8545 -0.7895 0.1331; %量化前系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)向量b=1; %量化2進(jìn)制位數(shù)aq=quant(a,b); %對系統(tǒng)函數(shù)分母系數(shù)向量a進(jìn)行b位量化p=roots(a) %計算量化前的極點pq=roots(aq) %計算量化后的極點ap=abs(p) %計算量化前極點的模apq=abs(pq) %計算量化后極點的模freqz(b,a)運算結(jié)果如下：p = 0.5801 + 0.4994

41、i 0.5801 - 0.4994i 0.4488 + 0.1604i 0.4488 - 0.1604ipq = 0 1.0000 0.5000 + 0.8660i 0.5000 - 0.8660iap = 0.7655 0.7655 0.4766 0.4766apq = 0 1.0000 1.0000 1.0000將b=4帶入，運算結(jié)果如下：p = 0.5801 + 0.4994i 0.5801 - 0.4994i 0.4488 + 0.1604i 0.4488 - 0.1604ipq = 0 0 0ap = 0.7655 0.7655 0.4766 0.4766apq = 0 0 0運用m

42、atlab的輔助工具fdatool畫出系統(tǒng)函數(shù)圖像如下：系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)向量經(jīng)過1位二進(jìn)制舍入量化前后幅頻特性和相位響應(yīng)（a）系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)向量經(jīng)過4位二進(jìn)制舍入量化前后幅頻特性和相位響應(yīng)（b）系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)向量經(jīng)過1位二進(jìn)制舍入量化前后零極點特性圖（c）系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)向量經(jīng)過4位二進(jìn)制舍入量化前后零極點特性圖（d）由matlab運算1位和4位二進(jìn)制舍入量化后結(jié)果可以看出，因為系數(shù)的量化，使極點位置發(fā)生變化，系數(shù)量化的相對誤差（p-pq）不到10%，極點位置的相對誤差ap達(dá)到了70%。問題不但是數(shù)量的變化，算一下極點的模，可以發(fā)現(xiàn)所有根的模都變大了，說明量化后的極點離單位圓稍遠(yuǎn)一些，如系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)向量經(jīng)

43、過1和4位二進(jìn)制舍入量化前后的零極點特性圖如圖（c）、（d）所示。這致使數(shù)字高通濾波器的幅頻特性降低，運用matlab的輔助工具fdatool畫出1位和4位量化墻后的幅頻特性曲線分別如圖（a）、（b）中的實線和虛線所示，這說明由于系數(shù)量化效應(yīng)，使極點位置發(fā)生了變化，從而改變了原來設(shè)計的頻率響應(yīng)特性。另外，我們還注意到4位二進(jìn)制舍入量化后極點都在單位圓內(nèi)部，但在系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)向量經(jīng)過1位二進(jìn)制舍入量化后，原來較小的系數(shù)相對誤差變化較大，使濾波器性能偏離原設(shè)計指標(biāo)要求，使本來穩(wěn)定的系統(tǒng)變成了不穩(wěn)定濾波器。從以上分析可以看出，系數(shù)的量化效應(yīng)誤差直接影響系統(tǒng)函數(shù)的零、極點位置，如果發(fā)生了偏移，會使系統(tǒng)的頻率響應(yīng)偏移理論設(shè)計的頻率響應(yīng)，不滿足實際需要。因此，在設(shè)計濾波器的時候應(yīng)盡量選擇合理的系數(shù)量化，以減小量化誤差，以便設(shè)計出較為理想的實用濾波器。參考文獻(xiàn)1 李勇，徐霞.matlab輔助現(xiàn)在工程數(shù)字信號處理.西安：西安電子科技大學(xué)出版社.20022 高西全，丁玉美.數(shù)字信號處理(第三版).西安：西安電子科技大學(xué)出版社.20083 吳湘淇.信號、系統(tǒng)與信號處理（上、下）.北京：電子