和差倍問題[教學類別]

1、和差倍問題 【專題知識點概述】 和差倍問題：已知兩個數(shù)的和、差、倍三個量中的兩個，求這兩個數(shù)分別是多少的問題。其規(guī)律如下：和倍問題差倍問題和差問題已知條件幾個數(shù)的和與倍幾個數(shù)的差與倍幾個數(shù)的和與差公式適用范圍已知兩個數(shù)的和、差、倍數(shù)關(guān)系公式和（倍數(shù)+1）=較小數(shù)較小數(shù)倍數(shù)=較大數(shù)和較小數(shù)=較大數(shù)差（倍數(shù)1）=較小數(shù)較小數(shù)倍數(shù)=較大數(shù)較小數(shù)差=較大數(shù)（和差）2=較小數(shù)（和差）2=較大數(shù) 掌握基本和倍、差倍、和差問題的基本問題，進而會處理多個量之間的和差倍問題。重點學習如何利用線段圖表示數(shù)量關(guān)系。 學會分析較為隱藏的和差倍問題，進一步掌握畫線段圖的方法，學會利用不變量進行分析的方法。處理多個量的和

2、差倍問題時，注意選取合適的單位“1”。同時要求學會用方程解決簡單的應(yīng)用題。一、和倍問題（1） 和倍例1、紡織廠有職工480人，其中女職工人數(shù)是男職工人數(shù)的3倍。請問：男、女職工各多少人？（）分析：方法一：女職工人數(shù)是男職工人數(shù)的3倍，選男職工人數(shù)為“1”，用一條小線段表示，那么女職工人數(shù)就用三條小線段表示，如圖：那么每一小段表示：（人）即男職工人數(shù)為120人，那么女職工人數(shù)為：人方法二：可以用方程來做。設(shè)男職工人數(shù)是人，那么女職工人數(shù)是人。根據(jù)題意列出方程： 即男職工人數(shù)為120人，那么女職工人數(shù)為：人例2、一個長方形，周長是300厘米，長是寬的2倍，求這個長方形的面積。（）分析：方法一：周長

3、是300厘米，那么長與寬的和為厘米長是寬的2倍，所以用一條小線段表示寬，那么長就用兩條小線段表示，如圖：那么每一小段表示：厘米即寬50厘米，那么長：厘米方法二：設(shè)寬厘米，那么長厘米，根據(jù)題意列出方程 即寬50厘米，那么長：厘米例3、甲班和乙班一共有60人。如果從甲班調(diào)6個人到乙班，那么甲班的人數(shù)就是乙班人數(shù)的2倍。求甲、乙兩班原來的人數(shù)。（）分析：現(xiàn)在甲班人數(shù)是乙班人數(shù)的2倍，并且兩班總?cè)藬?shù)為60人，那么乙班現(xiàn)在的人數(shù)為：人。又乙班現(xiàn)在比原來多6人，那么乙班原來的人數(shù)為：人，則甲班原來的人數(shù)為：人例4、在一個減法算式里，被減數(shù)、減數(shù)與差的和是240，減數(shù)是差的5倍，則減數(shù)是多少？（）分析：被減

4、數(shù)減數(shù)差，減數(shù)是差的5倍，設(shè)差為1份，那么減數(shù)為5份，被減數(shù)為6份，三者共有份，那么每一份為：，所以減數(shù)為：例5、動物園有5座猴山，其中3座住著金絲猴，2座住著獼猴。這5座猴山上猴子的數(shù)量分別為：10、15、30、35、70。已知金絲猴的總數(shù)是獼猴的3倍，問：哪兩座山上住著獼猴？（）分析：5座猴山上的猴子總數(shù)為：金絲猴的數(shù)量是獼猴的3倍，那么獼猴的數(shù)量為：因為只有第一座和第三座猴山上的猴子數(shù)量之和為，所以第一座和第三座猴山上住著獼猴。練習：1、 甲班和乙班共有圖書160本。甲班的圖書是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？（）2、 甲水庫有43億立方米水，乙水庫有37億立方米水。問：需要從甲水

5、庫調(diào)多少億立方米水道乙水庫，才能使乙水庫的水比甲水庫多兩倍？（）3、甲班有圖書120本，乙班有圖書30本，甲班給乙班多少本，甲班的圖書是乙班圖書的2倍？（）（2） 和倍多例6、甲、乙兩堆貨物共有160件，已知甲堆貨物比乙堆的3倍還多40件。甲、乙兩堆各有多少件貨物？（）分析：方法一：選取乙堆的貨物數(shù)量為“1”，用一條小線段表示，如圖：四條小線段總共為：件每條小線段為：件即乙堆貨物有30件，那么甲堆貨物有：件方法二：設(shè)乙堆貨物有件，那么甲堆貨物有件，可以列出方程： 即乙堆貨物有30件，那么甲堆貨物有：件例7、兩個自然數(shù)相除，商是4，余數(shù)是1。如果被除數(shù)、除數(shù)、商及余數(shù)的和是56，那么被除數(shù)等于多

6、少？（）分析：被除數(shù)除數(shù)商余數(shù)，根據(jù)題意知被除數(shù)比除數(shù)的4倍還多1，且被除數(shù)與除數(shù)的和為：，畫出線段圖：5條小線段共為：每條小線段表示：即除數(shù)為10，那么被除數(shù)為：練習：1、 某交通協(xié)管員七月份開出78張罰單，這些罰單分為兩種：一種是違章停車，另一種是闖紅燈。違章停車的罰單比較多，比闖紅燈罰單數(shù)量的4倍還多3張。違章停車的罰單有多少張？（）2、果園里一共種340棵桃樹和杏樹，其中桃樹的棵數(shù)比杏樹的3倍多20棵，兩棵樹各種了多少棵？（）（3） 和倍少例8、書架上放著一些童話小說和科幻小說，一共有47本。童話小說的數(shù)量比科幻小說數(shù)量的4倍少3本，書架上放著多少本科幻小說？（）分析：方法一：選取科幻

7、小說為“1”，用一條小線段表示科幻小說的數(shù)量，如圖：實線部分表示科幻小說和童話小說的數(shù)量，虛線部分表示少的3本。那么科幻小說的倍，即圖中實線、虛線表示的總數(shù)為：本那么科幻小說的數(shù)量為：本童話小說的數(shù)量為：本方法二：設(shè)科幻小說的數(shù)量為本，那么童話小說的數(shù)量為本，列出方程： 即科幻小說的數(shù)量為10本，那么童話小說的數(shù)量為：本練習：1、 果園中梨樹和蘋果樹共有67棵，梨樹比蘋果樹的2倍少2棵，蘋果樹有多少棵？（）2、光明小學有學生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？（）（4） 和倍綜合例9、三堆糖果共有105顆，其中第一堆糖果的數(shù)量是第二堆的3倍，而第三堆糖果的數(shù)量又比第二堆

8、的2倍少3顆。第三堆糖果有多少顆？（）分析：方法一：因為題目中第一堆和第三堆的糖果都與第二堆的倍數(shù)有關(guān)，那么久設(shè)第二堆的糖果為“1”，用一條小線段表示：通過線段圖可以看出，條小線段表示的共有：顆那么每條小線段表示：顆即第二堆有18顆，則第一堆有顆，第三堆有顆方法二：設(shè)第二堆有顆，那么第一堆有顆，第三堆有顆，列出方程： 即第二堆有18顆，則第一堆有顆，第三堆有顆例10、甲、乙、丙三個糧倉一共存有109噸糧食。其中甲糧倉的糧食總量比乙糧倉的3倍多1噸，而乙糧倉的糧食總量則是丙糧倉的2倍。甲糧倉比丙糧倉多存糧多少噸？（）分析：方法一：根據(jù)題意知，丙糧倉的存糧最少，且與甲糧倉、乙糧倉的存糧有倍數(shù)關(guān)系，

9、那么選丙糧倉的存糧為“1”，用一條小線段表示，乙糧倉是丙糧倉的2倍用兩條小線段表示，而甲糧倉比乙糧倉的3倍多1噸表示為條小線段多1噸根據(jù)線段圖可以看出，圖中共有條小線段，表示噸，那么每條小線段表示：噸即丙糧倉存糧12噸，那么乙糧倉存糧噸，甲糧倉存糧噸方法二：設(shè)丙糧倉存糧噸，那么乙糧倉存糧噸，甲糧倉存糧噸，列出方程： 即丙糧倉存糧12噸，那么乙糧倉存糧噸，甲糧倉存糧噸例11、550是甲、乙、丙、丁4個數(shù)的和。如果甲數(shù)加上2，乙數(shù)減少2，丙數(shù)除以2以后，則4個數(shù)相等。求4個數(shù)各是多少？（）分析：方法一：這四個數(shù)經(jīng)過變化后都與丁相等，那么選取丁為“1”，用一條小線段表示，甲加上2與丁相等則甲原來比丁

10、少2，乙減少2與丁相等則乙原來比丁多2，丙除以2與丁相等則丙原來是丁的2倍。如圖：根據(jù)線段圖可以看出，圖中共有條小線段，共表示那么每條小線段表示：即丁原來是110，那么甲為，乙為，丙為：方法二：設(shè)四個數(shù)經(jīng)過變化后都等于，那么甲原來是，乙原來是，丙原來是，列出方程有： 即丁原來是110，那么甲為，乙為，丙為：練習：1、 有3條繩子，共長95米，第一條比第二條長7米，第二條比第三條長8米，問3條繩子各長多少米？（）2、 果園里有桃樹、梨樹、蘋果樹共552棵，桃樹比梨樹的2倍多12棵，蘋果樹比梨樹少20棵。求桃樹、梨樹、蘋果樹各有多少棵？（）3、某駐軍有三個坦克連，共有115輛坦克，一連坦克數(shù)量比二

11、連的2倍多2，二連的坦克數(shù)量比三連的3倍多1。求一連比三連多幾輛坦克？（）2、 差倍問題（1） 差倍例12、小陳為找工作準備了中、英文兩份簡歷，中文簡歷的字數(shù)是英文簡歷字數(shù)的3倍，而且中文簡歷比英文簡歷多220個字。請問：中文簡歷的字數(shù)是多少？（）分析：方法一：選英文簡歷字數(shù)為“1”，用一條小線段表示根據(jù)線段圖可以看出，220字由條小線段表示，那么每一條小線段表示：字所以中文簡歷的字數(shù)是：方法二：設(shè)英文簡歷有字，那么中文簡歷有字，列出方程 即英文簡歷110字，中文簡歷字例13、甲、乙兩位學生原計劃每周做同樣數(shù)量的練習，實際上甲每周多做了18道題，而乙偷懶每周少做了14道題，結(jié)果乙三周的做題量只

12、相當于甲一周的數(shù)量。請問：他們原計劃每周做幾道題？（）分析：方法一：選乙實際每周做題數(shù)量為“1”，用一條小線段表示，那么甲實際每周做題數(shù)量用三條小線段表示，再用另一條線段表示他們原計劃做題數(shù)，如圖根據(jù)線段圖可以看出，甲實際每周比乙多做道，由兩條小線段表示那么每條小線段表示道即乙每周做16道，那么原計劃每周做道方法二：設(shè)原計劃每周做道題，那么乙實際每周做道題，甲實際每周做道題，根據(jù)題意列出方程： 即原計劃每周做30道題例14、甲房地產(chǎn)公司有資金100億元，乙房地產(chǎn)公司有資金40億元，兩公司聯(lián)合投資一塊地皮，用去同樣多的資金后，甲公司剩下的資金是乙公司的5倍。請問：兩公司投資這塊地皮共用去多少億元

13、？（）分析：原來甲公司比乙公司多億元，因為他們用去同樣多的資金，所以甲剩下的資金仍比乙公司多60億元，又甲剩下的資金是乙公司的5倍，那么乙公司剩下的資金為：億元所以乙公司投資地皮用去：億元則兩公司投資地皮共用去：億元例15、有兩根同樣長的繩子，第一根截去12米，第二根接上14米，這時第二根的長度是第一根長的3倍，兩根繩子原來各長多少米？（）分析：兩根繩子原來一樣長，第一根截去12米，第二根接上14米后，第二根比第一根長米，又此時第二根是第一根的3倍，那么第一根這時長度為：米，所以兩根繩子原來長：米例16、亞洲杯決賽中，中國記者的數(shù)量是外國記者數(shù)量的3倍。比賽結(jié)束后中國記者有180人離場，外國記

14、者有40人離場，剩下的中、外記者數(shù)量相等。原來中、外記者各有多少人？（）分析：方法一：選外國記者數(shù)量為“1”，用一條小線段表示，如圖：由線段圖知，原來中國記者比外國記者多：人，由兩條小線段表示那么每條小線段表示：人即外國記者原有70人，那么中國記者原有：人方法二：設(shè)外國記者原有人，中國記者原有人，根據(jù)題意列方程： 即外國記者原有70人，那么中國記者原有：人例17、甲、乙兩個數(shù)，如果甲數(shù)加上320就等于乙數(shù)，如果乙數(shù)加上460就等于甲數(shù)的3倍。求兩個數(shù)各是多少？（）分析：用一條小線段表示甲數(shù)，如圖根據(jù)線段圖可以看出：由兩條小線段表示那么每條小線段表示：即甲為390，那么乙為：練習：1、學校合唱團

15、成員中，女生人數(shù)是男生的3 倍，而且女生比男生多80 人合唱團里男生和女生各有多少人？（） 2、一只大象的體重比一頭牛重4500 千克，又知大象的重量是一頭牛的10 倍，一只大象和一頭牛的重量各是多少千克？（） 3、果園里的桃樹比杏樹多90 棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的3 倍，桃樹和杏樹各有多少棵？（） 4、有兩塊布，第一塊長74 米，第二塊長50 米，兩塊布各剪去同樣長的一塊布后，剩下的第一塊米數(shù)是第二塊的3 倍，問每塊布各剪去多少米？（） 5、三（1）班與三（2）班原有圖書數(shù)一樣多.后來，三（1）班又買來新書74 本，三（2）班從本班原書中拿 出96 本送給一年級小同學，這時，三（1）班圖書是三

16、（2）班的3 倍，求兩班原有圖書各多少本？（） 6、兩塊同樣長的花布，第一塊賣出31 米，第二塊賣出19 米后，第二塊是第一塊的4 倍，求每塊花布原有多少米？（） 7、甲、乙兩校教師的人數(shù)相等，由于工作需要，從甲校調(diào)30 人到乙校去，這時乙校教師人數(shù)正好是甲校教師 人數(shù)的3 倍，求甲、乙兩校原有教師各多少人？ （） 8、兩筐重量相同的蘋果，從甲筐取出7 千克，乙筐加入19 千克，這時乙筐是甲筐蘋果的3 倍，問兩筐原有蘋果多少千克？（） 9、有兩塊同樣長的布，第一塊賣出25 米，第二塊賣出14 米，剩下的布第二塊是第一塊的2 倍，求每塊布原有多少米？（） 10、 菜站運來的白菜是蘿卜的3 倍，賣

17、出白菜1800 千克，蘿卜300 千克，剩下的兩種蔬菜的重量相等， 菜站運來的白菜和蘿卜各是多少千克？（） 2）差倍多 例18、小悅和阿奇在操場上練習跑步一段時間過后，阿奇跑的距離比小悅跑的3 倍還多80 米如果小悅比阿奇少跑了500 米，那么小悅和阿奇分別跑了多少米？（）分析：選小悅跑的為“1”，用一條小線段表示，如圖根據(jù)線段圖可以看出：米由兩條小線段表示，那么每條小線段表示米，即小悅跑了210米，那么阿奇跑了米 例19、 阿奇家有兩根繩子，長的那根有163 米，短的只有97 米他把兩根繩子剪去同樣長的一段，結(jié)果長繩所剩長度比短繩所剩長度的7 倍還多6 米那么兩根繩子都剪去了多少米？（） 分

18、析：方法一：長的比短的多米，剪去后長的還是比短的多66米，如圖兩根線段分別表示長的和短的剪去后的長度：根據(jù)線段圖可以看出，剪去后短繩子的倍為米，那么剪去后短繩子長度為：米，所以剪去了米方法二：設(shè)剪去了米，那么長繩和短繩剪去后分別為和，根據(jù)題意列方程 即剪去了87米 例20、 有兩個炮兵營參加軍事演習，它們各準備了若干枚炮彈開始一營比二營多準備了5 枚炮彈后來因為演習需要，一營給了二營20 枚炮彈這時二營炮彈數(shù)量就比一營的3 倍還多3 枚一營最開始準備了幾枚炮彈？（） 分析：如圖：根據(jù)線段圖知，一營給二營20枚后，二營比一營多枚又此時二營比一營的3倍還多3枚，如圖根據(jù)線段圖知，此時一營的兩倍為：

19、枚，那么一營的數(shù)量為：枚，那么一營最開始有：枚練習： 有兩款數(shù)碼相機，一款是高檔專業(yè)相機，一款是普通家用相機家用相機價格較低，比專業(yè)相機便宜了4600元買1 臺專業(yè)相機的錢足夠買4 臺家用相機，而且還能剩下100 元請問：專業(yè)相機的價格是多少錢？（） 3）差倍少 例21、小悅和阿奇在操場上練習跑步一段時間過后，阿奇跑的距離比小悅跑的3 倍少80米如果小悅比阿奇少跑了500 米，那么小悅和阿奇分別跑了多少米？（） 分析：如圖根據(jù)線段圖可以看出，小悅的2倍為：米那么小悅跑了米那么阿奇跑了米練習： 1、原先花城日報和鵬城晚報有同樣數(shù)目的版面后來花城日報擴充版面，增加了10 版，這樣花城日報的版面比鵬

20、城晚報的4 倍少2 版兩種報紙現(xiàn)在各有多少版？ （） 2、甲、乙兩筐蘋果重量相等現(xiàn)在從甲筐拿12 千克蘋果放入乙筐，結(jié)果乙筐蘋果的重量就比甲筐的3 倍少2千克兩筐蘋果原來各有多少千克？ （） 三、和差問題 1)和差 例22、 冬冬在玩具店看中了兩件汽車模型如果兩件都買，一共需要400 元已知較貴的模型比便宜的模型貴60 元，這兩件模型各要多少錢？ （） 分析：如圖，根據(jù)線段圖可以看出，便宜的模型的2倍為：元那么便宜的價錢為：元貴的為：元練習： 1、張先生投資股票，2006 年和2007 年一共盈利40 萬元，其中2006 年比2007 年少盈利14 萬元張先生2007年盈利多少萬元？（） 2、

21、甲、乙兩位火炬手負責把火炬從A 地傳遞到B 地先由甲從A 地出發(fā)，并在途中將火炬?zhèn)鬟f給乙；乙接過火炬后繼續(xù)慢跑前往B 地已知A ，B 兩地相距2400 米，并且甲比乙多跑了600 米請問：甲跑了多少米？（） 3、兩筐水果共重150 千克，第一筐比第二筐多8 千克，兩筐水果各多少千克？ （） 4、果園里有桃樹和梨樹共150 棵，桃樹比梨樹多20 棵，兩種果樹各有多少棵？ （） 5、用錫和鋁制成500 千克的合金，鋁的重量比錫多100 千克，錫和鋁各是多少千克？ （） 2)和差問題綜合 例23、 登月行動地面控制室的成員由兩組專家組成，兩組共有專家125 人原來第一組人數(shù)較多，所以從第一組調(diào)了20

22、 人到第二組，即使這樣第一組人數(shù)仍比第二組多5 人原來第一組有多少名專家？ （） 分析：如圖根據(jù)線段圖知，原來第一組比第二組多人那么原來第一組人數(shù)的兩倍為：人，則第一組原來的人數(shù)為：人例24、 一輛公共汽車出發(fā)時有48 人，到達第一站時有若干人下車，而且下車的比留下的多8 人到達第二站時，又有人下車，這次下車的比留下的少8 人請問：最后有幾個人留在了車上？（注：每個車站都無人上車）（） 分析：第一站后，留下的人數(shù)為：人，第二站后留下的人數(shù)為：人例25、 小悅和冬冬玩游戲，每玩一局，輸?shù)木鸵o贏的1 枚棋子一開始小悅有18 枚棋子，冬冬則有22 枚玩了若干局之后，小悅反而比冬冬多了10 枚棋子請

23、問：此時小悅有多少枚棋子？ （） 分析：小悅和冬冬共有枚棋子，兩人的棋子總數(shù)不變，此時小悅比冬冬多10枚棋子，那么小悅的棋子數(shù)為：枚例26、 今年小強7 歲，爸爸35 歲，當兩人年齡和是58 歲時，兩人年齡各多少歲？ （） 分析：小強與爸爸的年齡差不變，小強總是比爸爸小歲，那么小強的年齡為：歲，爸爸的年齡為歲例27、 小明期末考試時語文和數(shù)學的平均分數(shù)是94 分，數(shù)學比語文多8 分，問語文和數(shù)學各得了幾分？（） 分析：語文數(shù)學總分為：分，數(shù)學比語文多8分，那么語文的分數(shù)為：分，數(shù)學分數(shù)為：分例28、 甲、乙兩桶油共重30 千克，如果把甲桶中6 千克油倒入乙桶，那么兩桶油重量相等，問甲、乙兩桶

24、原有多少油？（） 分析：因為把甲桶中6千克油倒入乙桶兩桶油重量相等，那么甲桶原來比乙桶多千克，則甲桶原來有油千克，乙桶原有油千克例29、 三個物體平均重量是31 千克，甲物體比乙、丙兩個物體重量之和輕1 千克，乙物體比丙物體重量的2倍還重2 千克，三個物體各重多少千克？ （） 分析：方法一：三個物體總重量為：千克，因為甲物體比乙、丙兩個物體重量之和輕1 千克，那么甲的重量為千克，乙、丙兩個物體重量和為千克，又乙物體比丙物體重量的2倍還重2 千克，那么丙的3倍為，則丙的重量為千克，乙的重量為千克方法二：三個物體總重量為：千克，設(shè)丙的重量為千克，那么乙的重量為千克，甲的重量為千克，列出方程： 即丙

25、重15千克，那么乙重32千克，甲重46千克例30、 公園里柳樹和楊樹共43 棵，松樹和柏樹共42 棵，并且楊樹比松樹多2 棵，松樹比柳樹少7 棵，那么公園里有柏樹多少棵？（） 分析： 因為楊樹比松樹多2 棵，松樹比柳樹少7 棵，所以柳樹比楊樹多5棵，那么楊樹數(shù)量為：棵，則松樹數(shù)量為棵，則柏樹數(shù)量為：棵練習： 1、甲、乙兩個學校共有學生1245 人，如果從甲校調(diào)20 人去乙校后，甲校比乙校還多5 人，兩校原有學生各多少人？（） 2、甲、乙兩個工程隊共有1980 人，甲隊為了支援乙隊，抽出285 人加入乙隊，這時乙隊人數(shù)還比甲隊少24人，求甲、乙兩隊原有工人多少人？ （） 3、甲乙兩校共有學生864 人，為了照顧學生就近入學，從甲校調(diào)