與三角形有關的線段與三角形有關的角多邊形及其內角和

1、【本講教育信息】一.教學內容：與三角形有關的線段、與三角形有關的角、多邊形及其內角和二.教學要求（一）研究三角形及有關概念，理解三角形的邊、頂點、內角、外角等基本概念，學習這些概念的文字表述、符號語言表述、圖形表述；（二）理解三角形的三邊關系，會根據(jù)三條線段的長判斷能否構成三角形，知道三角形具有穩(wěn)定性；（三）會按角和邊的關系對三角形進行分類；（四）理解三角形的角平分線、中線和高等基本概念，并能正確地畫出一個三角形的角平分線、中線和高，從而逐步提高觀察能力、語言表達能力以及基本作圖能力；（五）掌握三角形的內角和定理及其推論；（六）會用公式求多邊形的內角和，知道多邊形的外角和等于。三.重點及難點（

2、一）重點1、掌握三角形的基本概念，分類方法；2、理解并掌握三角形三邊的內在關系；3、掌握三角形中的主要線段三角形的角平分線、中線和高；4、三角形的內角和定理及其推論；多邊形的內角和及多邊形的外角和。（二）難點1、三角形三邊關系的應用；2、三角形中的主要線段三角形的角平分線、中線和高；3、三角形的內角和定理及其推論【知識要點】（一）三角形的有關概念1、三角形及三角形的邊、頂點、內角、外角。由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。組成三角形的線段叫做三角形的邊，相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點，相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內角，簡稱三角形的角。三角形的一邊與另一邊的延長線

3、組成的角，叫做三角形的外角?！叭切巍庇梅枴啊北硎?，頂點是A、B、C的三角形，記作“ABC”，讀作“三角形ABC”。2、三角形的分類（1）三角形按角分類（2）三角形按邊分類幾種特殊三角形的有關概念：不等邊三角形：三邊都不相等的三角形叫做不等邊三角形。等腰三角形：有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形。在等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰和底邊的夾角叫底角。等邊三角形：三邊都相等的三角形叫做等邊三角形（也叫正三角形）。3、三角形中的主要線段（1）三角形的角平分線：三角形中，一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線。（2）三角形

4、的中線：在三角形中，連結一個頂點和它的對邊中點的線段叫做三角形的中線。（3）三角形的高：從三角形的一個頂點向它的對邊畫垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高。注意：三角形的角平分線、中線和高都是線段。要區(qū)別角的平分線和三角形的角平分線。一個三角形有三條角平分線，三條中線，三條高。三條角平分線，三條中線都在三角形的內部，而三條高的位置與三角形的形狀有關：銳角三角形的三條高都在三角形內部；直角三角形的兩條直角邊就是它的兩條高，另一條高在三角形內部；鈍角三角形的兩條高在三角形的外部，另一條高在三角形內部。三角形的三條角平分線，三條中線，三條高（或其延長線）都相交于一點。利用這個特性

5、，可檢驗所畫的三條角平分線，三條中線，三條高是不是準確。（二）三角形三邊關系的定理及推論定理：三角形兩邊之和大于第三邊。推論：三角形兩邊之差小于第三邊。注意：這里說的兩邊指的是“任意”兩邊。（三）三角形角之間的關系1、三角形三個內角的和等于。（證明要用以前學過的涉及的知識去證，可從三個方向考慮：平角；鄰補角；兩直線平行同旁內角互補）2、三角形的外角三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。在三角形的每一個頂點處，有兩個外角，這兩個角是相等的角，任取其中的一個，那么在三個頂點處得到三個外角，這三個外角的和叫做三角形的外角和。三角形外角和等于。3、三角形內角和定理的推論（1）直角三角

6、形的兩個銳角互余；（2）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；（3）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。（四）多邊形及其內角和1、多邊形的定義：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。2、多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內角；多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。3、連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。4、多邊形的內角和：邊形內角和等于。5、多邊形的外角和等于?！镜湫屠}】例1.如圖，已知，（）（A）（B）（C）（D）分析：添加恰當?shù)妮o助線，把所求的角的和轉化為三角形的內角和或多邊形的內角和，即可得出解答。解答：連結，選。說明：解

7、決這類問題只要善于運用三角形和多邊形的內角和定理，就不困難了。例2.如圖，在ABC的邊BC上取兩點D、E，使BD=CE，請你運用三角形三邊的關系和平移的知識，觀察AB+AC與AD+AE之間的長度關系，提出一個設想，并加以證明.分析：通過觀察、測量等方法可以猜想：.要比較它們的大小，就需將這四條線段相對集中，為此可將AEC沿EB方向平移到FBD的位置.于是由三角形的三邊關系知，從而易解決問題.解答：如圖，將AEC沿EB方向平移到FBD的位置.由平移的特征知：經過平移，對應線段平行且相等，.設FD與AB的交點為O，在AOD中，在FOB中，例3.如圖（1）所示，中，的平分線交于點，求證：.（1）（2

8、） （3）變式1：如圖（2）所示，中，內角和外角的平分線交于點，求證：.變式2：如圖（3）所示，中，外角的平分線交于點，求證：.分析：本題已知的內角平分線和外角平分線，從而想到可利用三角形角平分線的性質，三角形的內角和定理以及外角與內角的關系證題。解答：如圖（1），在中，又的平分線交于點，變式1：是的一個外角，平分，平分，且是的外角，即變式2：在中， 在中，平分，且三點共線，同理可證例4.如圖，已知等腰三角形的周長為21cm，一腰上的中線把等腰三角形分成周長之差為3cm的兩個三角形，求等腰三角形各邊的長。分析：本題考查了三角形中線的概念，從題意中，中線分成的兩個三角形周長差為3cm，根據(jù)分析，

9、差值是由于腰和底邊的長不同而產生的，但不能確定腰和底邊誰長誰短，所以要分情況討論。解答：設腰長為cm，底邊長為y cm，（1）若腰比底邊長，由題意，得，解得（2）若底邊比腰長，由題意，得，解得這個三角形的三邊長為8，8，5或6，6，9。例5.已知：如圖，在中，分別是邊上的高，相交于，求的度數(shù)。分析：由已知可求，在中，故先求和。解答：設，則，解得為邊上的高，在中，同理在中，例6.多邊形的內角和與某一個外角的度數(shù)總和為，求多邊形的邊數(shù)。分析：利用多邊形的內角和公式來求，另外此題隱含邊數(shù)為正整數(shù)這個條件。解答：設邊數(shù)為，這個外角為，則，依題意有：為正整數(shù)，（）必為180的倍數(shù)。又，同學們還可以想想其

10、它方法來解決這個問題?！拘〗Y】1、掌握三角形的基本概念及分類；2、三角形中的主要線段三角形的角平分線，中線，高線；3、三角形的三邊關系；4、掌握三角形的內角和定理及其推論；5、會用公式求多邊形的內角和，知道多邊形的外角和等于?！灸M試題】（答題時間：40分鐘）一.選擇題1.三角形的角平分線是一條（）（A）射線（B）直線（C）線段或射線（D）線段2.三角形的一個外角小于與它相鄰的內角，這個三角形是（）（A）銳角三角形（B）直角三角形（C）鈍角三角形（D）無法確定3.下面三條線段中，能組成三角形的是（）（A）3，6，7（B）2，4，6（C）3，4，9（D）5，5，104.一個三角形的三個內角中，最

11、多有（）（A）兩個銳角（B）一個鈍角（C）兩個直角（D）不能確定5.在中，點是平分線的交點，則的度數(shù)是（）（A）（B）（C）（D）6.等腰三角形中，有一個角是，則另外兩個角分別是（）（A），（B），（C），（D），或，7.下面各角能成為某多邊形的內角的和的是（）（A）（B）（C）（D）二、填空題8.的三邊為，且，若，則的取值范圍是9.在等腰中，一腰上的中線將這個等腰三角形的周長分成15和6兩部分，求這個三角形的腰長和底邊長分別是10.如圖所示，（1）在中，邊上的高是；（2）在中，邊上的高是；（3）在中，邊上的高是；（4）若，則=，。11.如圖，則=度。11題 12題 13題12.如圖，已知，求13.如圖，中，平分，于，則=14.一個多邊形的每一個外角都等于，這個多邊形的邊數(shù)是，它的內角和是三.解答題15.中，三邊長為5，12，周長為奇數(shù)，求整數(shù)的值及周長的最大值