空間向量與立體幾何單元測(cè)試有答案

1、第三章空間向量與立體幾何單元測(cè)試(時(shí)間：90分鐘滿分：120分)第I卷(選擇題，共50分)一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.1以下四組向量中，互相平行的組數(shù)為()a = (2,2,1), b= (3, 2, 2);a= (8,4, 6), b= (4,2, 3); a= (0, 1,1), b = (0,3, 3);a= ( 3,2,0), b= (4, 3,3)A . 1組B. 2組C. 3組D . 4組1解析：t中a= 2b,a/b;中a= 3b,a/b;而中的向量不平行.答案：B2. 在以下命題中，不正確的個(gè)數(shù)為()|a| |b|= |a + b|是a, b共線的充要條

2、件；若a/ b,則存在唯一的 實(shí)數(shù)入使a= b;對(duì)空間任意一點(diǎn)0和不共線的三點(diǎn)A, B, C,若0P= 20A 20B 0C,貝S P, A, B, C四點(diǎn)共面；若a, b, c為空間的一組基底，則a + b, b+ c, c+ a構(gòu)成空間的另一組基底；|(a b) c | = |a| | b| |c |.A . 2個(gè)B. 3個(gè)C. 4個(gè)D . 5個(gè)解析：|a| |b|= |a + b|? a與b共線，但a與b共線時(shí)|a| |b| = |a + b|不一定成立，故不正確；b需為非零向量，故不正確；因?yàn)? 21工1,由共面向量定理知，不正確；由基底的定義知正確；由向量的數(shù)量積的性質(zhì)知，不正確.答

3、案：C3. 如圖，已知四邊形ABCD為矩形，PA丄平面ABCD，連接AC, BD,PB, FC, FD，則下列各組向量中，數(shù)量積不一定為零的是 ()T TA. FC與 BDT TB. DA 與 FBC.FD 與 AB解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)矩形ABCD的長(zhǎng)、寬分別為a, b, FA長(zhǎng)為c,則A(0,0,0), B(b,O,O),D(0, a,0), C(b, a,0), P(0,0, c).則 PC= (b, a, c), BD = ( b, a,0), DA = (0, a, 0), PB= (b,0,TTTTc), PD = (0, a, c), AB= (b,0,0), F

4、A= (0,0, c), CD = ( b,0,0).T T/PC BD = b2 + a2 不一定為 0.T TT TT TDA FB = 0, FD AB = 0, FA CD = 0.答案：A4. 已知向量e2、e3是兩兩垂直的單位向量，且 a = 3ei + 2e? e3, b1=e + 2巳，則（6a） 2b 等于（）A. 15B. 3C. 3D . 51解析：(6a) qb = 3a b = 3(3ei + 2e2 e3)(ei+ 2e3)= 9|ei|2 6|e3|2= 3.答案：BcDA. 1C. 25. 如圖，AB= AC= BD = 1, AB?面 a, AC丄面 a, B

5、D丄AB, BD 與面a成30角，則C、D間的距離為（）B. 2D. 3解析：|CD|2= |CA + AB+ BD|2 = |CA|2 + |AB|2 + |BD|2 + 2CA AB+ 2AB BDT TT+ 2CA BD = 1 + 1 +1 + 0+ 0+ 2X1 x 1X cos120 = 2. /.|CD|= 2.答案：C6. 已知空間三點(diǎn) 0(0,0,0), A(- 1,1,0), B(0,1,1)在直線OA上有一點(diǎn)H滿足BH丄OA,則點(diǎn)H的坐標(biāo)為()A . (-2,2,0)B. (2,- 2,0)C.-1-2,2 0D. 2- 0T解析：由OA= (- 1,1,0),且點(diǎn)H在直

6、線OA上，可設(shè)H(入入0),T則 BH =(入1,- 1).T T又 BH丄OA,aBH OA= 0,即(-入入1,- 1) (- 1,1,0)= 0,1 1 1即入+入一 1 = 0,解得=2,H 2, 2 0.答案：C7. 已知 a= (cos a 1, si n, b= (sin a, 1 , cos a)，則向量 a + b 與 a- b的夾角是()A. 90B. 60C. 30D . 0解析：(a+ b) ( b) = a2 b2= (cos2 a+ sin2 a+ 1)- (sin2 a+ 1 + cos2 a)=0,.(a + b)丄(a-b).答案：A8已知E、F分別是棱長(zhǎng)為1

7、的正方體ABCD-AiBiCiDi的棱BC、CCi的中點(diǎn)，則截面AEFD1與底面ABCD所成二面角的正弦值是()2A3B省C逅C. 3解析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA、DC、DDi分別為x軸、y軸、z軸建1i立空間直角坐標(biāo)系，如圖.則 A(1,0,0), E2，1, 0 , F 0, 1, 2 , Di(0,0,1),ff 1l 所以AD1 = ( 1,0,1), AE= 2, 1, 0 .fn AD1 = 0, 則fn AE= 0,設(shè)平面AEFDi的法向量為n = (x, y, z).x+z= 0,x2+y=0.x= 2y= z取y= 1,貝S n = (2,1,2),而平面ABCD的一個(gè)法向量

8、為u =sin n,2(0,0,1),tcos = 3,答案：CBrnrn37 .B. 2,2 4C.3,43,3 3二正切值 tan m, n = 6.答案：ATTT10. 已知 OA= (1,2,3), OB= (2,1,2), OP= (1,1,2),點(diǎn) Q 在直線 OP 上T T運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)QA QB取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）131A. 2， 4， 3T解析：vQ 在 OP 上，可設(shè) Q(x, x,2x),則QA= (1-x,2- x,3-2x),TQB= (2 - x,1 x,2 - 2x).T T.QA QB = 6x2- 16x+ 10,x= 3時(shí),T TQA QB最小,44這

9、時(shí)Q 3, 3,答案：C第H卷（非選擇題，共70分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20 分.11. 已知 a = (3,- 2,- 3), b = ( 1, x- 1,1)，且 a 與 b 的夾角為鈍角，則x的取值范圍是bv0,因此 a b解析：因?yàn)閍與b的夾角為鈍角，于是一1v cosa,v0,且a與b的夾角不為n即cosa, b工一1.55解得 x 2, 3 U 3，+ .55答案：2, 3 U亍+A-BCD 中,12.如圖所示，已知正四面體AE = ?AB,1CF = 4CD，貝卩直線DE和BF所成的角的余弦值為 1解析：ED = EA+ AD = 4BA + AD,1BF

10、= BC+ CF = BC + 4CD, ED BF cos ED, BF=|ED|BF| 1 1&BA + AD BC + 4CD；bA+ adT 1 TBC+4CD2413.答案:41313. 已知 a = (x,2, 4), b= ( 1, y,3), c= (1, 2, z)，且 a, b, c 兩兩垂直，則(x, y, z) =.x+ 2y 12 = 0,解析：由題意知 x 4 4z= 0,1 2y+ 3z= 0,解得 x= 64, y= 26, z= 17.答案：(64, 26, 17)14. 已知空間四邊形 OABC,如圖所示，其對(duì)角線為 OB、AC, M、NTTT分別為OA、B

11、C的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且MG = 3GN,現(xiàn)用基向量OA、T TTTTTTOB、OC表示向量OG,并設(shè)OG= xOA + y OB + z OC，貝S x、y、z的和為解析:OGOM + MG =丘 + 4MN =丘 + 3-2oA+ oC +icB 二iOAx= |,33y = |，z= |.TTTTTTT|oa+3OC+3OB-3OC=*OA+8oB+|oc,7x+y+ z= |.答案：7三、解答題：本大題共4小題，滿分50分.15. (12 分)已知 a= (1,2,- 2).(1)求與a共線的單位向量b;若a與單位向量c= (0, m, n)垂直，求m、n的值.解：(1)設(shè)b=(

12、入2入2?),而b為單位向量，= 1，即 卩？ + 4?+ 4? = 9 ?= 1. ?= g（4 分）. 1b= 3,23,2 13 或 b= 3由題意，知a = 0,?|c|= i,i x 0+ 2m-2n = 0,；m2+ n2+ 02 = i,m=y,m=-2-2 ,解得-門(mén)V2或亞（i2分）n_ 2 ，n=2 .（1）求證：AiC丄平面BCDE;16. （12 分）如下（左）圖，在 Rt ABC 中，/ C= 90 BC= 3, AC= 6, D, E分別為AC、AB上的點(diǎn)，且 DE / BC, DE = 2,將厶ADE沿DE折起 到厶AiDE的位置，使AiC丄CD，如下（右）圖.若

13、M是AiD的中點(diǎn)，求CM與平面AiBE所成角的大小.解：（i）TAC丄BC, DE /BC,.DE丄AC.DE 丄 AiD, DE 丄 CD , ADE 丄平面 AiDC.DE 丄 AiC.又 vAiCX CD,AiC丄平面 BCDE.（4 分）如圖所示，以 C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,則Ai(0,0,2 , 3), D(0,2,0), M(0,1 ,3), B(3,0,0), E(2,2,0).設(shè)平面 AiBE 的法向量為 n = (x, y, z),貝S n AiB = 0, n BE = 0.T又AiB= (3,0,- 2 3),TBE= (- 1,2,0),3x- 2.

14、3z=0,x+ 2y= 0.令 y= 1,則 x= 2, z= 3,5 = (2,1,3).設(shè)CM與平面AiBE所成的角為9TCM = (0,1,3),sin 0= |cosn,CM |=|n CMT4=28X 4=2In |CM|n.CM與平面AiBE所成角的大小為4.（12分）17. （12分）如圖，已知正方形 ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB= 2, AF= 1，M是線段EF的中點(diǎn).（1）求證：AM /平面BDE;試在線段AC上確定一點(diǎn)P,使得PF與CD所成的角是60解：（1）證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè) ACA BD = N,連接 NE,則N乎,乎，0 , E(0,

15、0,1),T/.NE=-返返12 ,2 ， 1 又 A( 2,2, 0), M 子,孑 1，T AM =-亞電12 ， - 2 ， 1 */.NE= AM，且NE與AM不共線.NE/AM.又NE?平面BDE, AM?平面BDE,AM /平面 BDE.(6 分)設(shè) P(t, t,0)(0t 2),TT則PF = ( 2-1,2-1,1), CD = ( . 2, 0,0).T T解之得t =3 .22（舍去）.故點(diǎn)P為AC的中點(diǎn).（12分）又VPF與CD所成的角為60 18.C是AB的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn).(1) 證明：平面POD丄平面FAC;(2) 求二面角解：(1)證明OP所在直線分別為x軸

16、，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則0(0,0,0),A( 1,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0), P(0,0,2), D 2, 2 0 .設(shè)m = (X1, y1,乙)是平面POD的一個(gè)法向量，則由n 1 OD = 0, m OP1 1(4分)一 qxi + 2i = 0,2zi = 0.2 = 0, xi = yi.取 yi= 1,得 ni = (1,1,0).設(shè)n2 = (x2, y2, z2)是平面PAC的一個(gè)法向量，則由n2 PA= 0, n2 PC =0,X2 2z2 = 0,y2_ , 2z2= 0.X2 = 2z2, y2= 2z2,取 Z2= 1,得 n2= ( 2,