隨機(jī)過程大作業(yè)s

1、信息與通信工程學(xué)院（小論文）專業(yè)：信息與通信工程2017年10月看病排隊(duì)分析摘要:排隊(duì)問題是生活中比較常見而且比較難解決的問題，因此研究如何解決排隊(duì)問題對(duì)于生活有很大幫助。本文通過研究看病排隊(duì)這一具體問題分析，來分析排隊(duì)這一類的問題。看病排隊(duì)問題的實(shí)質(zhì)是解決需求和供給之間的關(guān)系，如何合理分配醫(yī)療資源是解決這個(gè)問題的關(guān)鍵。通過對(duì)實(shí)際看病過程中的排隊(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析來搭建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)模型來分析這一類問題是研究排隊(duì)問題的一種常見思路。排隊(duì)問題的模型有很多，這里采用泊松過程來進(jìn)行分析。對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理來驗(yàn)證使用泊松過程解決看病排隊(duì)問題的合理性。主要實(shí)用MATLAB這款數(shù)據(jù)處理軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，通

2、過圖形直觀的顯示驗(yàn)證結(jié)果。關(guān)鍵詞：泊松過程MATLAB 一、研究背景排隊(duì)等待是我們每個(gè)人都要經(jīng)歷的，比如等待交款、等候就餐、等電梯、等公交等?；颊卟煌诮】等?，患者的病情是拖不起的，同時(shí)排隊(duì)等待對(duì)患者的身心不利，也會(huì)產(chǎn)生人群聚集而不利于系統(tǒng)的預(yù)防工作，“非典”疫情是使老百姓也充分意識(shí)到系統(tǒng)排隊(duì)等待的一些弊端。隨著人們防病意識(shí)的增加、生活節(jié)奏的加快和對(duì)醫(yī)療服務(wù)水平要求之高，排隊(duì)等待的組織管理問題尤顯重要。系統(tǒng)如果使患者等待，將會(huì)導(dǎo)致患者不滿意或可能失去患者，甚至發(fā)生交叉感染。因此，患者排隊(duì)等待問題是應(yīng)該引起系統(tǒng)管理者高度重視的問題。看病排隊(duì)等待問題在生活中是不可避免的。等待絕對(duì)不發(fā)生的唯一條件是

3、，規(guī)定患者在固定的時(shí)間間隔到達(dá)，而且服務(wù)時(shí)間是一定的。由于醫(yī)療服務(wù)能力與需求不可能完全匹配，比如多數(shù)系統(tǒng)受成本、設(shè)施、人員等客觀條件的限制，不能輕易增加設(shè)備和人員，以適應(yīng)和配合患者的需求變化，或者醫(yī)療需求較難預(yù)測(cè)而醫(yī)療服務(wù)能力缺乏相應(yīng)的彈性。由于患者到達(dá)系統(tǒng)的時(shí)間是隨機(jī)的，接受服務(wù)所需要的時(shí)間也是隨機(jī)的，即使預(yù)約患者按照約定時(shí)間到達(dá)系統(tǒng)，但由于醫(yī)生對(duì)疾病診治時(shí)間的不確定性，后面的患者也不得不等待。所以排隊(duì)是醫(yī)療服務(wù)過程中不可避免的就診過程，特別是在大系統(tǒng)接受就診，排隊(duì)等待時(shí)間（特別是排隊(duì)掛號(hào)、候診、交款、等待檢查）占就診時(shí)間的很大部分。在不可避免排隊(duì)等待的情況下，怎樣充分利用醫(yī)療資源對(duì)于解決排

4、隊(duì)等候排隊(duì)有很大幫助。因此研究分析患者看病排隊(duì)等候問題有利于分析患者看病需求和系統(tǒng)醫(yī)療資源的切合點(diǎn)，達(dá)到患者和系統(tǒng)都滿意。排隊(duì)論就是解決排隊(duì)等待問題的一門學(xué)科，又稱為等待線問題、隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論等，是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)分支。排隊(duì)論的基本思量是由丹麥數(shù)學(xué)家、電氣工程師愛而郎1909年將概率論應(yīng)用于自動(dòng)電話設(shè)計(jì)問題中，從而開創(chuàng)了排隊(duì)論這一應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科，并且為排隊(duì)論建立了許多基本的原則。排隊(duì)論通過對(duì)服務(wù)對(duì)象到來及服務(wù)時(shí)間的統(tǒng)計(jì)研究，得出這些數(shù)量指標(biāo)（等待時(shí)間、排隊(duì)長度等）的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，然后根據(jù)這些規(guī)律來改進(jìn)服務(wù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或某些指標(biāo)最優(yōu)。本文由于受時(shí)間和水平的限制，不能對(duì)排隊(duì)等待問題做深入的研究，僅根據(jù)所學(xué)隨

5、機(jī)過程這門課，對(duì)于排隊(duì)這個(gè)問題用泊松過程來研究的理論驗(yàn)證。二、基本原理1、對(duì)研究排隊(duì)系統(tǒng)來說，最關(guān)心排隊(duì)系統(tǒng)的一些數(shù)量指標(biāo)，主要包括：（1）單位時(shí)間到達(dá)系統(tǒng)的患者數(shù)的期望值，即單位時(shí)間內(nèi)的患者到達(dá)率，記作，而1/表示相鄰兩個(gè)患者到達(dá)的平均時(shí)間間隔。（2）單位時(shí)間內(nèi)服務(wù)患者數(shù)的期望值，即單位時(shí)間內(nèi)患者的平均離去率，記作，而1/表示每個(gè)患者的平均服務(wù)時(shí)間。（3）在時(shí)刻t系統(tǒng)中恰好有n個(gè)患者的概率是Pn(t)，顯然P0(t)為系統(tǒng)空閑率。（4）系統(tǒng)內(nèi)的平均患者數(shù)，即正在接受診斷的患者與排隊(duì)等候的患者數(shù)之和，也稱為隊(duì)長，記作L。通常需要隊(duì)長的分布和前二階矩。（5）系統(tǒng)內(nèi)排隊(duì)等待的平均患者數(shù)稱為等待隊(duì)長

6、，記作Lq。等待隊(duì)長與隊(duì)長的關(guān)系是等待隊(duì)長不包括正在接受服務(wù)的患者數(shù)。（6）患者從進(jìn)入系統(tǒng)到接受診斷完離開系統(tǒng)的平均時(shí)間稱為患者在系統(tǒng)中花費(fèi)的時(shí)間或平均逗留時(shí)間，記作W。（7）患者在系統(tǒng)內(nèi)排隊(duì)等待的平均時(shí)間稱為患者花費(fèi)在排隊(duì)系統(tǒng)中的平均等待時(shí)間，一般記作Wq。平均等待時(shí)間與平均逗留時(shí)間的關(guān)系是平均等待時(shí)間不包括被服務(wù)所花費(fèi)的時(shí)間。以上7個(gè)指標(biāo)主要從患者出發(fā)提出的技術(shù)指標(biāo)，而從服務(wù)機(jī)構(gòu)角度來說，還關(guān)心以下幾個(gè)技術(shù)指標(biāo)。（8）單位時(shí)間內(nèi)被服務(wù)的患者數(shù)稱為系統(tǒng)的絕對(duì)通過能力。（9）單位時(shí)間被服務(wù)患者數(shù)與請(qǐng)求診斷患者數(shù)之比稱為系統(tǒng)的相對(duì)通過能力。（10）空閑的服務(wù)機(jī)構(gòu)從有患者到達(dá)時(shí)起一直到系統(tǒng)沒有患者

7、時(shí)為止這段時(shí)間稱為忙期。（11）系統(tǒng)從開始沒有患者起到一直系統(tǒng)有患者時(shí)為止這段時(shí)間稱為閑期。閑期與忙期是相對(duì)應(yīng)的。（12）對(duì)于有n個(gè)服務(wù)臺(tái)的系統(tǒng)，從系統(tǒng)開始有k個(gè)患者在等待服務(wù)時(shí)起一直到有一個(gè)服務(wù)臺(tái)空閑時(shí)為止這段時(shí)間稱為系統(tǒng)的k階繁忙期。而零階繁忙期又稱為繁忙期。（13）對(duì)于損失制的排隊(duì)系統(tǒng)中、系統(tǒng)的滿員概率稱為系統(tǒng)的損失率。2、根據(jù)排隊(duì)系統(tǒng)的表示方法，我們將到達(dá)醫(yī)院等待服務(wù)的患者的人數(shù)設(shè)定為服從泊松分布，患者相繼到達(dá)時(shí)間和服務(wù)時(shí)間都服從負(fù)指數(shù)分布，其具有無記憶性。我們將相應(yīng)的排隊(duì)數(shù)學(xué)模型表示為如下圖1：患者到達(dá)診斷完成離開診斷完成離開隊(duì)列醫(yī)生1醫(yī)生kM/M/N系統(tǒng)即服務(wù)機(jī)構(gòu)有N個(gè)服務(wù)臺(tái)，而患

8、者源的數(shù)量無限。設(shè)M/M/N系統(tǒng)的輸入過程是參數(shù)為的泊松過程，每個(gè)服務(wù)臺(tái)的服務(wù)時(shí)間是都服從參數(shù)的負(fù)指數(shù)分布?；颊叩竭_(dá)時(shí)間和工作人員服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立。根據(jù)模型，患者的到來遵循參數(shù)為的泊松過程，即任意兩個(gè)患者到來的時(shí)間間隔遵循參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布：我們都知道在醫(yī)院里都是取號(hào)按到達(dá)的先后順序依次接受服務(wù)的，所以可以將之等同于患者排成一個(gè)隊(duì)列按到達(dá)的先后順序依次接受服務(wù)。在本文的模型中，一共有N個(gè)服務(wù)窗口，假設(shè)每個(gè)服務(wù)窗口服務(wù)一次的時(shí)間遵循參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，各個(gè)服務(wù)窗口之間是相互獨(dú)立的，且服務(wù)窗口與患者的到達(dá)時(shí)間也是相互獨(dú)立的。那么以相應(yīng)關(guān)系給出所需要的全部數(shù)量指標(biāo)符號(hào)2： ：平均隊(duì)長，表示系統(tǒng)中的患

9、者數(shù)，是排隊(duì)等候的患者數(shù)和正在掛號(hào)的患者數(shù)總和。：平均列隊(duì)長，表示系統(tǒng)中排隊(duì)等候的患者數(shù)。：平均占用服務(wù)臺(tái)數(shù)，即正在掛號(hào)的患者數(shù)。：平均逗留時(shí)間，包括等待時(shí)間和掛號(hào)時(shí)間。：平均等待時(shí)間，也稱平均排隊(duì)等待時(shí)間。：系統(tǒng)到達(dá)平衡時(shí)，所有服務(wù)臺(tái)空閑的概率。：患者到達(dá)的平均速率，即單位時(shí)間內(nèi)平均到達(dá)的患者數(shù)。：平均掛號(hào)速率，即單位時(shí)間內(nèi)掛號(hào)完畢離去的患者數(shù)。：服務(wù)強(qiáng)度，表示每個(gè)窗口單位時(shí)間內(nèi)的平均掛號(hào)時(shí)間，且只有當(dāng)?shù)臅r(shí)候才不會(huì)排成無限的隊(duì)列。nn=n-1=2=1=2=2n3=30=210n-1nn+11=n-1=(n-1)我們可以根據(jù)上述轉(zhuǎn)移關(guān)系圖得到M/M/N系統(tǒng)相關(guān)轉(zhuǎn)移計(jì)算公式，如下：這里要求1.在

10、本文的模型中，醫(yī)院服務(wù)窗口數(shù)量一方面要考慮患者者的需求，另一方面也要考慮自身人力消耗的因素。所以我們最后的目標(biāo)是求出在不同的患者量的情況下的最佳窗口數(shù)目N。即得到兩者的一個(gè)確定的表達(dá)式 ，下面對(duì)該模型的進(jìn)行理論求解。設(shè)患者到達(dá)的速率為N，服務(wù)的速率為，窗口數(shù)為N，記狀態(tài)為隊(duì)伍里有個(gè)人等待時(shí)的狀態(tài)。則有狀態(tài)時(shí)的患者到達(dá)率為，狀態(tài)時(shí)的服務(wù)率為將某時(shí)刻存在個(gè)患者排隊(duì)的概率設(shè)為，即得到的平衡方程。將其進(jìn)行整理如下：采用遞推法，遞推先關(guān)表達(dá)式得到下述結(jié)果：3我們將上式歸一化處理得到相關(guān)求和結(jié)果：給定系統(tǒng)的服務(wù)強(qiáng)度為33、平均隊(duì)長系統(tǒng)中患者的平均數(shù)即平均隊(duì)長為：4、平均列隊(duì)長若存在排隊(duì)等待的患者，就說明系

11、統(tǒng)中患者數(shù)大于服務(wù)臺(tái)數(shù)量，因此有個(gè)患者在接受服務(wù)時(shí)，排隊(duì)等候的患者數(shù)為。那么系統(tǒng)中排隊(duì)患者的平均數(shù)即為等待列隊(duì)長，即：5、平均占用服務(wù)臺(tái)數(shù)根據(jù)上述數(shù)量指標(biāo)解釋：6、患者等待時(shí)間的分布2將相應(yīng)結(jié)果帶入醫(yī)院M/M/N系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型中：2根據(jù)上述算式，可以通過確定的平均速率和平均服務(wù)速率，進(jìn)行計(jì)算來確定服務(wù)臺(tái)窗口數(shù)量。7、平均逗留時(shí)間在系統(tǒng)平穩(wěn)條件滿足的情況下，患者在系統(tǒng)逗留時(shí)間包括等待時(shí)間和接受服務(wù)時(shí)間兩個(gè)部分，由于等待時(shí)間和接受服務(wù)時(shí)間是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，因此接受服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布，它的概率密度函數(shù)，求得的均值和方差如下，所以可以得到：因此可以得到逗留時(shí)間的分布函數(shù)為8、系統(tǒng)通過能力由于M/M/N

12、系統(tǒng)的患者數(shù)量無限制，因此它屬于等待制的排隊(duì)系統(tǒng)，即到達(dá)系統(tǒng)中的患者遲早得到服務(wù)臺(tái)服務(wù)，因此系統(tǒng)損失率為系統(tǒng)相對(duì)通過能力為系統(tǒng)絕對(duì)通過能力為三、仿真分析通過對(duì)以上數(shù)據(jù)了解分析，這里使用Matlab編程對(duì)比仿真結(jié)果和理論結(jié)果，以證明理論推導(dǎo)的，正確性代碼見附錄1、2、3。我們對(duì)仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)行如下設(shè)計(jì)：設(shè)模擬的總?cè)藬?shù)為n，服務(wù)窗口數(shù)為N，首先利用一個(gè)的矩陣來記錄每個(gè)人的信息。其中第一行表示到達(dá)時(shí)刻，第二行表示服務(wù)時(shí)間長度，第三行表示等待時(shí)間長度，第四行表示離開時(shí)刻。其中到達(dá)時(shí)刻和服務(wù)時(shí)間長度可由己知的求得。易知離開的時(shí)刻=到達(dá)的時(shí)刻+服務(wù)時(shí)間長度+等待時(shí)間長度。用長度為N的Serve_State表示

13、每個(gè)窗口的接受服務(wù)的人的離開時(shí)刻。前N個(gè)人到達(dá)后不需要等待，故等待時(shí)間為零。從第N+1個(gè)人開始，先由Serve_State求出N 個(gè)窗口中的提早結(jié)束服務(wù)的窗口，如果結(jié)束服務(wù)的時(shí)刻小于患者到來的時(shí)刻，則該患者的等待時(shí)間為零：如果結(jié)束服務(wù)的時(shí)刻大于患者到來的時(shí)刻，則二者之差為該患者的等待時(shí)間。同時(shí)更新該窗的接受服務(wù)的人的離開時(shí)刻。在求出所有患者的等待時(shí)間后，對(duì)其求平均值，得到最后要求的平均等待時(shí)間。初始值設(shè)定：服務(wù)窗口數(shù)N=5，模擬總?cè)藬?shù)n=500,服務(wù)速率mu=4,患者到達(dá)速率lambda=100。我們對(duì)患者到達(dá)速率和服務(wù)臺(tái)工作速率分別進(jìn)行50仿真實(shí)驗(yàn)，取其中一組圖像展示如下：圖1 患者到達(dá)速率

14、仿真結(jié)果和理論結(jié)果圖2 服務(wù)速率仿真結(jié)果與理論結(jié)果分別對(duì)如上實(shí)驗(yàn)結(jié)果求解均方誤差MSE，結(jié)果如下圖所示：圖3 患者到達(dá)速率均方誤差圖4 服務(wù)臺(tái)工作速率均方誤差結(jié)論：根據(jù)數(shù)值結(jié)果，我們可以看出此模型推算出的相關(guān)參數(shù)的患者到達(dá)速率和服務(wù)臺(tái)工作速率的5仿真結(jié)果大致相似，擬合程度較高。同時(shí)計(jì)算50次仿真的均方誤差曲線數(shù)值較小，說明預(yù)測(cè)模型描述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)具有比較好的精確度。模型符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果要求，針對(duì)此類問題可作出合理規(guī)劃滿足實(shí)際情況。4、 參考文獻(xiàn)1何選森.隨機(jī)過程與排隊(duì)論.長沙:湖南大學(xué)出版社.2羅鵬飛,張文明.隨機(jī)信號(hào)分析與處理.北京:清華大學(xué)出版社,2006.3王梓坤.隨機(jī)過程通論.北京:北京師范大

15、學(xué)出版社,1996.五、附錄1、main.m%主要程序：對(duì)仿真結(jié)果和理論結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，證明理論推導(dǎo)的正確性N=5;%服務(wù)窗口數(shù)n=500;%模擬實(shí)際人數(shù)mu=4;%服務(wù)速率lambda=1:0.5:20;%對(duì)參數(shù)患者到達(dá)速率lambda進(jìn)行掃描y1=zeros(1,length(lambda);%儲(chǔ)存排隊(duì)仿真結(jié)果y2=zeros(1,length(lambda);%儲(chǔ)存排隊(duì)理論結(jié)果for t=1:50for i=1:length(lambda)y1(i)=MMN(lambda(i),mu,n,N);y2(i)=time(lambda(i),mu,N);enda(t)=mse(y1,y2);%計(jì)

16、算均方誤差endfigureplot(lambda,y1,r,LineWidth,2);hold onplot(lambda,y2,c,LineWidth,2);xlabel(患者到達(dá)速率)legend(仿真結(jié)果,理論結(jié)果); title(仿真結(jié)果與理論結(jié)果對(duì)比);figureplot(a,y);legend(患者到達(dá)速率mse);lambda=100; mu=20:0.5:40;%對(duì)服務(wù)速率mu進(jìn)行掃描 y1=zeros(1,length(mu);%儲(chǔ)存排隊(duì)仿真結(jié)果 y2=zeros(1,length(mu);%儲(chǔ)存排隊(duì)理論結(jié)果for j=1:50for i=1:length(mu)y1(i

17、)=MMN(lambda,mu(i),n,N);y2(i)=time(lambda,mu(i),N);end b(j)=mse(y1,y2);endfigureplot(mu,y1,b,LineWidth,2);hold onplot(mu,y2,g,LineWidth,2);xlabel(服務(wù)速率)legend(仿真結(jié)果,理論結(jié)果);title(仿真結(jié)果與理論結(jié)果對(duì)比);figureplot(b,m);legend(服務(wù)速率mse);2、MMN.m%MMN模型function y=MMN(lambda,mu,n,N)%lambda患者到達(dá)速率 mu服務(wù)速率 n仿真患者數(shù)目 N服務(wù)臺(tái)數(shù)%用4*

18、n的矩陣分別記錄每位患者到達(dá)時(shí)間、服務(wù)時(shí)間、等待時(shí)間和離開時(shí)間state=zeros(4,n);state(1,:)=exprnd(1/lambda,1,n);%患者到達(dá)時(shí)間服從指數(shù)分布temp=cumsum(state(1,:);state(1,:)=temp;state(2,:)=exprnd(1/mu,1,n);%患者接受服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布state(3,1:N)=zeros(1,N);%前N個(gè)人不用等直接可以進(jìn)行掛號(hào)state(4,1:N)=sum(state(1:3,1:N);%前N個(gè)人離開時(shí)間serve_state=zeros(1,N);%記錄窗口結(jié)束服務(wù)的時(shí)刻serve_state=state(4,1:N);%初始化for k=N+1:n%討論N+1個(gè)人以以后的患者m,position=min(serve_state