中考數(shù)學(xué)壓軸題及答案(1)

1、中考數(shù)學(xué)壓軸題及答案（1） 1. 如圖：拋物線經(jīng)過A （-3, 0）、B （0, 4）、C （4, 0）三點(diǎn). （1）求拋物線的解析式. （2）己知AD = AB （D在線段AC上），有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A沿線段AC以每秒1 個(gè)單位長度的速度移動(dòng)；同時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q以某一速度從點(diǎn)B沿線段BC移動(dòng)， 經(jīng)過t秒的移動(dòng)，線段PQ被BD垂直平分，求t的值； （3）在（2）的情況下，拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M,使MQ+MC的值最 小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由。 （注：拋物線y =血2+加+ 0的對(duì)稱軸為 解：設(shè)拋物線的解析式為y = ax2+bx + c （“HO）, 9a 3/? +

2、 4 = 0 解得 b = - 3 依題意得：c=4且彳, 16a + 4b + 4 = 0 所以 所求的拋物線的解析式為y = -x2 + Lx + 4 （2）連接 DQ,在 RtAAOB 中，AB = jAO1+BO2 =a/32 +42 =5 所以 AD 二 AB=5, AC=AD+CD=3+4 = 7, CD = AC - AD = 7 - 5 = 2 因?yàn)锽D垂直平分PQ,所以PD=QD, PQ丄BD,所以ZPDB=ZQDB 因?yàn)?AD二AB,所以ZABD二ZADB. ZABD二ZQDB,所以 DQAB 所以 ZCQD=ZCBAo ZCDQ=ZCAB,所以 ZCDQs A CAB D

3、Q CD AB CA 所以 AP=AD - DP 二 AD - DQ=5 10 = 25 TT 所以t的值是一 7 (3) 答對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)M,使MQ+MC的值最小 理由：因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為% = - = -所以A (-3, 0) , C (4, 0)兩點(diǎn)關(guān)于 2a 2 直線x =-對(duì)稱連接AQ交直線x = - 丁點(diǎn)M,則MQ+MC的值最小過點(diǎn)Q作QE丄x 2 2 軸，丁E,所以ZQED二ZBOA=90 DQAB, Z BAO=ZQDE, ADQE s 12 ABO即坐=Z =竺所以 QE=-, DE=-,所以 0E = BO AB AO 45377 OD + DE=2+- = ,所以 Q

4、 (,-) 設(shè)直線AQ的解析式為y = kx + m伙HO) 20,8 77 -3k + m = 0 由此得 1 41 24 m = 41 7777 1 x = 2 824 V = x + 4141 824 所以直線AQ的解析式為y = x + 聯(lián)立 0)的圖象的頂點(diǎn)為D點(diǎn), 與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3, 0), OB = OC , tanZAC0=- 3 (1) 求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式. (2) 經(jīng)過C、D兩點(diǎn)的直線，與天軸交于點(diǎn)E,在該拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)F, 使以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)：若 不

5、存在，請(qǐng)說明理由. （3）如圖10,若點(diǎn)G （2, y）是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AG下方的拋物線上 一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，AAPG的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和 APG的最大面積. (1) 由已知得：C (0, -3) , A (一 1, 0)1分 a-b+c=O 將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得9d + 3b + c = O2分 c = 3 a = 1 解得：* b = 23 c = 3 分 所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y = x2-2x-33分 （2）存在，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2, -3）4分 理由：易得D （1, -4）,所以直線CD的解析式為：y = x 3 E點(diǎn)的坐標(biāo)為（一3,

6、 0）4 分 由 A、C、E、F 四點(diǎn)的坐標(biāo)得：AE = CF = 2, AE/7CF 以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形 存在點(diǎn)F,坐標(biāo)為（2, -3）5 分 （3）過點(diǎn)P作y軸的平行線與AG交于點(diǎn)Q, 易得G （2, -3）,直線AG為y = -兀一1 設(shè) P (x, x2 2x 3 ),則 Q (- x1) 9 PQ= x2 + x + 2 . SSAPG = mpg + S、GPQ =(7 - + -V + 2) X 3 分 當(dāng)x =-時(shí)，AAPG的面積最大 2 此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(丄,-匕,Sa%的最大值為殳. 10 (24 )皿8 分 3. 如圖,已知拋物線與x軸交于A (-

7、1, 0)、B (3, 0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C (0, 3) o (1) 求拋物線的解析式； 設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D,在其對(duì)稱軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得APDC是等 腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由； 若點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，以B、C、D、M為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形，試求出點(diǎn)M 的坐標(biāo)。 拋物線與y軸交丁點(diǎn)C (0, 3), 設(shè)拋物線解析式為y = av2 +加:+ 3(“ H 0)1分 根據(jù)題意, b = 2. a /? + 3 = 0, 9a + 3h + 3 = 0, 拋物線的解析式為y =+ 2x + 3 存在。3分 由),=-F+2x + 3得，

8、D點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 4),對(duì)稱軸為x = lo 4分 若以CD為底邊，則PD = PC,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(xy),根據(jù)勾股定理, 得x2+(3_y)，=(牙_1)+(4_y)2,艮卩 y=4x。 5 分 乂 P 點(diǎn)(x,y)在拋物線上，：.4-x = -x2 +2x + 3,即x2-3x + 1=O6 分 解得兀=注色，應(yīng)舍去 .兀=玄色。7分 2 2 2 .y = 4 兀=仝，即點(diǎn)P坐標(biāo)為(出丄,匕竺|。$分 2 2 2 若以CD為一腰，因?yàn)辄c(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上，由拋物線對(duì)稱性知，點(diǎn)P與點(diǎn) C關(guān)于直線x=l對(duì)稱，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為(2, 3) o 符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為(沁丄,江空|或(2, 3)

9、。9分 I 22 由B (3, 0) , C (0, 3) , D (1, 4),根據(jù)勾股定理， 得 CB=3妊CD=,BD=2 （2）求此拋物線的表達(dá)式； （3）求AABC的面積； 2 丸N-2 o j廠 r x 一2 （4）若點(diǎn)E是線段43上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)4、點(diǎn)B不重合），過點(diǎn)E作 EF/AC交BC于點(diǎn)F,連接C&設(shè)AE的長為m CEF的面積為S,求S與 加之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量加的取值范圍； （5）在（4）的基礎(chǔ)上試說明S是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出S的最大 值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，判斷此時(shí)ABCE的形狀；若不存在，請(qǐng)說明理山. 解：（1）解方程 X2 10 x4-16 =

10、 0 得 x嚴(yán)2、*2=8 點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，且OBVOC 點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2, 0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0, 8） 乂拋物線y=局+加的對(duì)稱軸是直線兀=一2 由拋物線的對(duì)稱性可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(一6, 0) A、B、C 三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 A (-6, 0)、B (2, 0)、C (0, 8) (2) I點(diǎn)、C (0, 8)在拋物線y=dH+bx+c的圖象上 c=8,將A (-6, 0)、B (2, 0)代入表達(dá)式y(tǒng)=dF+bx+8,得 j0=36“ 一 6b+8 lo=4“+2b+8 所求拋物線的表達(dá)式為)，=一 |x2-|a-+8 (3) 53=8, OC=S *Smbc

11、 =,8x8=32 (4) 依題意，AE=mf 則 BE=8m, PA = 6, OC=8,.AC= 10 ：EF/AC HBEFs BAC .EF_BE EF S-m.40_5加 ACABK|70_ 8EF4 4 過點(diǎn) F 作 FG丄AB,垂足為 G,則 sinZFEG=sinZCAB=T S = SBCE SBFE = 2 （8 /?7）x8 （8？） （8 7） 2（8?）（8 8+am） =2（8/J）m=2+4 自變量加的取值范圍是0加8 (5) 存在.理由： S=-yfr+4m=- (加一4) 2+8且一*0, 當(dāng)加=4時(shí)，S有最大值,S最大值=8 加=4,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-2, 0

12、) BCE為等腰三角形. 5.己知拋物線y = -ax2 +2ax+b與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(-l,0),與y軸的正半軸交于點(diǎn)C. 直接寫出拋物線的對(duì)稱軸，及拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)： 當(dāng)點(diǎn)C在以AB為直徑的OP上時(shí)，求拋物線的解析式： 坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)M,使得以點(diǎn)M和中拋物線上的三點(diǎn)A、B、C為頂點(diǎn) 的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由. 解：對(duì)稱軸是直線：x = L點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3,0). 說明：每寫對(duì)1個(gè)給1分，“直線”兩字沒寫不扣分. (2)如圖,連接PC, V點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A(-l,0)、B(3,0), AB=4.PC詁侶卜4 = 2

13、在 RtAPOC 中，VOP=PA-OA = 2-1 = 1. OC = yiPC2-PO2 =松-卩=、 Ab= Vl 3 分 當(dāng) x = -1, y =0 時(shí)，-a-2a + y/3 =0, d = 4分 廠_迪*+竺屈分 33 存在6分 理由：如圖，連接AC、BC.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(x,y). 當(dāng)以AC或BC為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)M在x軸上方，此時(shí)CMAB,且CM=AB. 由知，AB=4,|x| =4, y = OC = VJ . x = 4.點(diǎn)M的坐標(biāo)為旳(4,巧)或(7,).9分 說明：少求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)扣1分. 當(dāng)以AB為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)M在x軸下方. 過 M 作 MN丄AB 于 N,則ZMNB = ZA0C=90o. T四邊形AMBC是平行四邊形，AAC = MB,