三角形外接圓與內(nèi)切圓半徑求法

1、三角形的外接圓與內(nèi)切圓半徑的求法 一、求三角形的外接圓的半徑 1、直角三角形 如果三角形是直角三角形，那么它的外接圓的直徑就是直角三角形的斜邊. r 例 1 已知：在AABC 中.AB=13, BC = 12, AC=5 求AABC的外接圓的半徑. 解:VAB=13, BC = 12, AC=5, .-.ab2=bc:+ac A ZC = 90 , .AB為 ABC的外接圓的直徑， ABC的外接圓的半徑為. 2、一般三角形 已知一角和它的對邊 c 例 2 如圖，在ZXABC 中，AB=10, ZC=100 , 求AABC外接圓00的半徑.（用三角函數(shù)表示） 分析：利用直徑構(gòu)造含已知邊AB的直角

2、三角形. 解：作直徑BD,連結(jié)AD. 則ZD=180 -ZC=80Q , ZBAD=90 .沏=竺=旦 sinD sin 80 .ABC外接圓。的半徑為盤 注：已知兩邊和其中一邊的對角，以及已知兩角和一邊，都可以利用本題的方法求岀三 角形的外接圓的半徑. 例 3 如圖，已知，在AABC 中，AB = 10, ZA=70 , ZB=50 求AABC外接圓00的半徑. 分析：可轉(zhuǎn)化為的情形解題. 解：作直徑AD，連結(jié)BD. 則ZD=ZC=180 -ZCAB-ZBAC=60 , ZDBA=90 1 /.AD= AB 10 sinD sin 60 BE=BC-CE=2, AB= y/AE2 + BE2

3、 = 41 ABC外接圓O0的半徑為厲 已知兩邊夾一角 例 4 如圖，已知.在AABC 中，AC=2, BC=3, ZC=60 求AABC外接圓00的半徑. 分析：考慮求岀AB,然后轉(zhuǎn)化為的情形解題. 解：作直徑AD，連結(jié)BD作AE丄BC,垂足為E. 則 ZDBA=90 , ZD=ZC=60 , CE=1AC=1, AE=的， A AABC外接圓OO的半徑為. 已知三邊 例 5 如圖，已知，在AABC 中，AC = 13, BC = 14, AB=15 求AABC外接圓O0的半徑. 上的髙AE,利用相似三角形就可以求出直徑AD. 解：作直徑AD，連結(jié)BD.作AE丄BC,垂足為E. 則ZDBA=

4、ZCEA=90 , ZD=ZC 分析：作出直徑AD,構(gòu)造RtAABD.只要求出AABC中BC邊 AADBAACE AADBAACE AD AB 2 2 已知兩邊夾一角 設(shè) CE=x, VACCEAEABBE2 A 13:-x:=15:-(14-x)2 x=5,即 CE = 5 /.AE=12 A =4 AD= ABC 外接圓00 的半徑為竺. 二、求三角形的內(nèi)切圓的半徑 1、直角三角形 例 6 已知：在ZkABC 中，ZC=90 , AC=b, BC=a, AB = c 求AABC外接圓O0的半徑. 解：可證四邊形ODCE為正方形.設(shè)O0的半徑為r, 則 CD=CE=r, BD=a-r, AE

5、=b-r,(a-r) + (b-r) =c, 二匕導(dǎo)，即AABC外接圓00的半徑為好工. 2 2 2、一般三角形 已知三邊 例 7 已知：如圖，在ZkABC 中，AC = 13, BC = 14, AB=15 求ZXABC內(nèi)切圓Q0的半徑r. 分析：考慮先求出AABC的面積，再利用“而積橋”，從而 求出內(nèi)切圓的半徑. 解：利用例5的方法，或利用海倫公式Sa= Vs(s-a)(s-b)(s-c)(其中s二斗王)可求 出 Ssc=84,從而丄 ABr+丄 BCr+丄 ACr二84, Z.r=4 例 8 已知：如圖，在AABC 中，cotB=i ,AB = 5, BC=6 求AABC內(nèi)切圓Q0的半徑= 分析：考慮先通過解三角形，求出AABC的而積及AC的長, 再利用“而積橋S從而求出內(nèi)切圓的半徑. 解：作AABC的高AD.解直角三角形可得AD=3, CD=2, AC= V13 , 因?yàn)閬AABt+1 BCr+丄ACr二丄BCAD,可求得r卜血 已知兩角夾一邊 例 9 已知：如圖，在ZABC 中，ZB=60 , ZC=45 ,BC