圓錐曲線綜合試題全部大題目含答案

1、1.平面上一點(diǎn)向二次曲線作切線得兩切點(diǎn)，連結(jié)兩切點(diǎn)的線段我們稱切點(diǎn)弦設(shè)過拋物線2x =2py外一點(diǎn)P(X0, y。)的任一直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)為C、D，與拋物線切點(diǎn)弦 AB 的交點(diǎn)為Q。(1 )求證：拋物線切點(diǎn)弦的方程為x0x = p(y+ y0)；(2)求證：1 + 1lPClIP D|I PQ|2.已知定點(diǎn)F (1，0)，動(dòng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn) P作PM交x軸于點(diǎn)M,并延長 MP到點(diǎn)N,且PM PF= 0,1 PM H PN |.(1)動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程;(2)線I與動(dòng)點(diǎn)N的軌跡交于 A, B兩點(diǎn)，若OA OB = -4,且4J6 | AB I蘭430，求直線I的斜率k的取值范圍2 2

2、2x yx3.如圖，橢圓G : + L=1的左右頂點(diǎn)分別為A、B, P為雙曲線C2 ： 4342=1右支3上( x軸上方)一點(diǎn)，連 AP交G于C,連PB并延長交 G于D,且 ACD與 PCD的面積 相等，求直線PD的斜率及直線CD的傾斜角4.已知點(diǎn)M (-2,0), N(2,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件I PM ITPN |= 2.記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為 W.(I)求W的方程;(n)若A,B是W上的不同兩點(diǎn)，0是坐標(biāo)原點(diǎn)，求 oA OB的最小值.2 25.已知曲線C的方程為：kx2+(4-k)y=k+1,(k R)(I)若曲線C是橢圓，求k的取值范圍；(n)若曲線C是雙曲線，且有一條漸近線的傾斜角是60,求

3、此雙曲線的方程；(川)滿足(n)的雙曲線上是否存在兩點(diǎn)P, Q關(guān)于直線l: y=x-1對稱，若存在,Q的直線方程；若不存在，說明理由。求出過p,6.如圖(21)圖，M (-2, 0)和N (2, 0)是平面上的兩點(diǎn)， 動(dòng)點(diǎn)P滿足：PM(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;若PM PN二13MPN求點(diǎn)P的坐標(biāo).2 2x y7.已知F為橢圓 P +=7 =1 (a Ab aO)的右焦點(diǎn)，直線I過點(diǎn)F且與雙曲線a bx2PN =6.2b-1的兩條漸進(jìn)線Ii,l2分別交于點(diǎn)M,N，與橢圓交于點(diǎn) A,B.氣若NM0-，雙曲線的焦距為4。求橢圓方程。T T(II)若OM MN =0 ( O為坐標(biāo)原點(diǎn))，F(xiàn)A=-AN，求

4、橢圓的離心率e。328.設(shè)曲線C1:+y1 （ a為正常數(shù)）與C2：y2=2（x + m）在x軸上方只有一個(gè)公共點(diǎn)（I）求實(shí)數(shù) m的取值范圍（用a表示）；（n） O為原點(diǎn)，若Ci與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)1A，當(dāng)Ocac丄時(shí)，試求AOAP的面積的最2大值（用a表示）。1.( 1)略（2 ）為簡化運(yùn)算，設(shè)拋物線方程為（X-X0）2=2p（y-y。），點(diǎn)Q, C, D的坐標(biāo)分別為(X3, y3),(xi, yi),(x2, y)，點(diǎn) PQQ，直線 y=kx，2(XX0) =2p( kxy。)x2 -2(x0+pk)x +x2 +2py0 =0一方面。要證1,12lPCl|PD|PQ|化斜為直后1只須證：

5、+丄=2X1X2X3由于丄+丄二心x為x2X x2 2(X0 + pk)x： +2 pk由于P（0,0）所以切點(diǎn)弦方程為:-x0(x X0)= p(y 2yo)所以x： +2pkX3 =X0 + pk從而1丄12十=X1X2X3即1丄12十|PC| |PD| |PQ|2.（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x,y）,則2分另一方面,1X0 中 pkX3x2+2 pkM(x,0), P(0寸)(xa0),PM),2瑋W 一2）,由莎齊=0得一 x+y=0，因此，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為y2=4x（x：0）.4(2)設(shè)I與拋物線交于點(diǎn) A (Xi,yi) ,B(X2,y2),當(dāng)I與x軸垂直時(shí),則由 OAOB = /，

6、得力=2722 =2(21 AB 1=4/2 0)上有yi2 =4xi, yf =4x2,故yy =-8.又 y =4x, y=kx+b 得 ky 4y+4b=0, 8分2所以 色=-8,b =-2k.i =16(1 +2k2),| AB |2= (篡 + 32)kk k2因?yàn)?(6勻AB芒4,所以96蘭葦丄厝+32)蘭480.解得直線I的斜率的 取值范圍是10分1 1Zg,1】.12分3.由題意得C為AP中點(diǎn)，設(shè)C(Xo,yo), A(2,0)，P (2xo +2,2yo),把C點(diǎn)代入橢圓方程、P點(diǎn)代入雙曲線方程可得- 2 23xo +4yo =12223(2xo+2) -4yo =1277

7、、/IX) =1解之得：j 3,故 C(1,-), P( 4,3),又寫 B(2,0) yo =72. 2故直線PD的斜率為匚0，直線PD的方程為4-223rx-2),3y =2(x-2)2 2x_+143聯(lián)立又半焦距c=2，故虛半軸長b Jc2 - a2 =解得D(1 -)，故直線CD的傾斜角為90,2)4.解法一:(I)由|PM| -1 PN|= 2/2知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以 M,N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，實(shí)所以W(n)設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為(捲，), (x2, y2)2 2的方程為0-紅=1,xJ22 2-y12=2.f-2當(dāng)AB丄X軸時(shí)，X1 = X2,從而y1 =-y2,從而OA OB =

8、X1X2 *小討2 =捲 當(dāng)AB與X軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y =kx + m，與W的方程聯(lián)立，消去y得(1 _k2)x2 -2kmx-m2-2 =0.故 X1+X21 -km2 +2X1X2 =k2 _1所以O(shè)A=x1x +y1yx1x22 2+ 代捲+m)(kx2 +m) =(1 + k )X1X2 +km(X1+x2)+m2=守=2+亠 k21k210,所以 k2 -1 0，從而 OA OB 2.2222(1+k )(m +2) 2k m 2 + 2 k -11 -k+ m2又因?yàn)閤1x2綜上，當(dāng)AB丄X軸時(shí)，OA OB取得最小值2.解法二：(I)同解法(n)設(shè)A, B的坐標(biāo)分別為

9、，則(Xj,%), (x2, y2),則2 2Xi -yi =(x i+ y )(X yi) =2(i =1,2). 令 s =Xi +y 暑=人一y：, 則 sti =2,且 s O,ti 0(i =1,2)所以O(shè)A SBg + y1y2 4$ 壯心切7)6-切1 1=尹2+尹2二序=2,當(dāng)且僅當(dāng)$2=2,即勺2時(shí)=成立.“1 = -y2所以O(shè)A OB的最小值是2.5. (1)2Xk當(dāng)k=0或k=-1或k=4時(shí)，C表示直線;2+ - =1 ,為橢圓的充要條件是 k+14k當(dāng)kM0且kM -1且kM4時(shí)方程為k +1口 k+1k+1k +1: 0且0,豐k4k k 4-k即是 0k2或 2k4

10、k+1為雙曲線的充要條件是：亍k +14k0,即k 1 或-1k 4,當(dāng)k 0,.存在滿足條件的P、Q,直線PQ的方程為y =-x-* 長軸長2a=6的橢圓.6.由橢圓的定義，點(diǎn) P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn), 因此半焦距c=2,長半軸a=3，從而短半軸b= Ja2 -c2 = 45，所以橢圓的方程為2由p* N=epn,得PM|IpN|cosMPN =|PM|PN-2.因?yàn)閏osMPN工1,P不為橢圓長軸頂點(diǎn)，故 P M、N構(gòu)成三角形.在PMN中,MN =4,由余弦定理有2 _MN = PM +P N|2-2| PM|Up N|cos MPN.將代入，得4 pm2 +|p n|2 -2(1 pm

11、IEp N-2).故點(diǎn)P在以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為 2亞 的雙曲線2 =1 上.2 2由知，點(diǎn)p的坐標(biāo)又滿足 Z+1=1，所以95 2由方程組!5xix+ 9y =45,2+3y=3.2解得2I45八亍即p點(diǎn)坐標(biāo)為,343 45、（）、（辺27.解：(I) 丁 NMON =3，M ,N是直線l與雙曲線兩條漸近線的交點(diǎn),373b=ta亠a 63即 a = J3b寫雙曲線的焦距為4,/. a2 +b2 =4解得，a2=3,b2=12x 2橢圓方程為+ y2=13（II）解：設(shè)橢圓的焦距為2c，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（c,0）寫直線11的斜率為二直線丨的方程為ay =-(x-a)bby = Xa設(shè) A(x,

12、y),由 FA = 1AN，31 (a2)X -c =-(-x) 即3 cJaby =;( I 3 c-y)常點(diǎn)A在橢圓上,丨丄11a，二直線丨的斜率為一， abaypx - c)|x解得ya2cabc1得(x-c,y)=3即點(diǎn)N叵業(yè)）c c(ac3c2 +a2x =4caby=74c-2,2 ,A(3- +a ab,)4c 4c10分。2 ,2 216a2c216c2.(3c2 +12分(3c2 +a2)2 +a4 =16a2c2，二(3e2 +1)2 +1 =16e24 2 29e -10e + 2=0 e5 77橢圓的離心率是e= 丁5萬2 28.(I)由+ 2a X +(2m 1)a

13、=0 ,y2 =2(x + m)設(shè) f(X)=x2+2a2x+(2m-1)a2,則問題(I)轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間(-a, a)上有唯一解:a2 +1若=0= m = a 2 1，此時(shí)Xp =T2，當(dāng)且僅當(dāng)av a2 ca，即0cac1適合;若 f(a)f(a)v0，貝yamva ； 若 f (-a) =0= m =a ,此時(shí) Xp =a 2a2 ,當(dāng)且僅當(dāng)-a a 2a2 va ,即 0ca vl 時(shí)適合;a2 +1若 f (a) =0 = m = -a，此時(shí) Xp = _a -2a2，但 一a -2a2 v -a，從而 m Ha。a m a。綜上所述，當(dāng)0ca1時(shí)，m= -或一am1時(shí),21 1(n) AOAP的面積是S=?ayp。因?yàn)镺cav，所以有兩種情形:當(dāng)一a cm a 時(shí)，0 ca2 +aja2 -2m +1 ca，由唯一性得 Xp =a