4-4-3-圓與扇形(三).教師版

1、圓與扇形例題精講研究圓、扇形、弓形與三角形、矩形、平行四邊形、梯形等圖形組合而成的不規(guī)則圖形，通過變動圖形的位置或?qū)D形進行分割、旋轉(zhuǎn)、拼補，使它變成可以計算出面積的規(guī)則圖形來計算它們的面積圓的面積；扇形的面積；圓的周長；扇形的弧長一、 跟曲線有關的圖形元素：扇形：扇形由頂點在圓心的角的兩邊和這兩邊所截一段圓弧圍成的圖形，扇形是圓的一部分我們經(jīng)常說的圓、圓、圓等等其實都是扇形，而這個幾分之幾表示的其實是這個扇形的圓心角占這個圓周角的幾分之幾那么一般的求法是什么呢？關鍵是比如：扇形的面積所在圓的面積；扇形中的弧長部分所在圓的周長扇形的周長所在圓的周長2半徑(易錯點是把扇形的周長等同于扇形的弧長)

2、弓形：弓形一般不要求周長，主要求面積一般來說，弓形面積扇形面積-三角形面積(除了半圓)”彎角”：如圖： 彎角的面積正方形-扇形”谷子”：如圖： “谷子”的面積弓形面積二、 常用的思想方法：轉(zhuǎn)化思想(復雜轉(zhuǎn)化為簡單，不熟悉的轉(zhuǎn)化為熟悉的)等積變形(割補、平移、旋轉(zhuǎn)等)借來還去(加減法)外圍入手(從會求的圖形或者能求的圖形入手，看與要求的部分之間的”關系”)板塊、曲線型旋轉(zhuǎn)問題【例 1】 正三角形的邊長是6厘米，在一條直線上將它翻滾幾次，使點再次落在這條直線上，那么點在翻滾過程中經(jīng)過的路線總長度是多少厘米？如果三角形面積是15平方厘米，那么三角形在滾動過程中掃過的面積是多少平方厘米？(結果保留)【

3、考點】曲線型旋轉(zhuǎn)問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 如圖所示，點在翻滾過程中經(jīng)過的路線為兩段的圓弧，所以路線的總長度為：厘米；三角形在滾動過程中掃過的圖形的為兩個的扇形加上一個與其相等的正三角形，面積為：平方厘米【答案】【鞏固】直角三角形放在一條直線上，斜邊長厘米，直角邊長厘米如下圖所示，三角形由位置繞點轉(zhuǎn)動，到達位置，此時，點分別到達，點；再繞點轉(zhuǎn)動，到達位置，此時，點分別到達，點求點經(jīng)到走過的路徑的長【考點】曲線型旋轉(zhuǎn)問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 由于為的一半，所以，則弧為大圓周長的，弧為小圓周長的，而即為點經(jīng)到的路徑，所以點經(jīng)到走過的路徑的長為(厘米)【答案】【鞏固

4、】如圖，一條直線上放著一個長和寬分別為和的長方形它的對角線長恰好是讓這個長方形繞頂點順時針旋轉(zhuǎn)后到達長方形的位置，這樣連續(xù)做三次，點到達點的位置求點走過的路程的長 【考點】曲線型旋轉(zhuǎn)問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 因為長方形旋轉(zhuǎn)了三次，所以點在整個運動過程中也走了三段路程(如右上圖所示)這三段路程分別是：第1段是弧，它的長度是()；第2段是弧，它的長度是()；第3段是弧，它的長度是()；所以點走過的路程長為：()【答案】6【例 2】 草場上有一個長20米、寬10米的關閉著的羊圈，在羊圈的一角用長30米的繩子拴著一只羊(見如圖)問：這只羊能夠活動的范圍有多大？(圓周率取) 【考點】曲線

5、型旋轉(zhuǎn)問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 如圖所示，羊活動的范圍可以分為，三部分，其中是半徑米的個圓，分別是半徑為米和米的個圓所以羊活動的范圍是【答案】2512【鞏固】一只狗被拴在底座為邊長的等邊三角形建筑物的墻角上(如圖)，繩長是，求狗所能到的地方的總面積(圓周率按計算)【考點】曲線型旋轉(zhuǎn)問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 如圖所示，羊活動的范圍是一個半徑，圓心角300的扇形與兩個半徑，圓心角120的扇形之和所以答案是【答案】43.96【例 3】 如圖是一個直徑為的半圓，讓這個半圓以點為軸沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，此時點移動到點，求陰影部分的面積(圖中長度單位為，圓周率按計算)【考點】曲

6、線型旋轉(zhuǎn)問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 面積圓心角為的扇形面積半圓空白部分面積(也是半圓)圓心角為的扇形面積【答案】4.5【例 4】 如圖所示，直角三角形的斜邊長為10厘米，此時長5厘米以點為中心，將順時針旋轉(zhuǎn)，點、分別到達點、的位置求邊掃過的圖形即圖中陰影部分的面積(取3)【考點】曲線型旋轉(zhuǎn)問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 注意分割、平移、補齊如圖所示，將圖形移補到圖形的位置，因為，那么，則陰影部分為一圓環(huán)的所以陰影部分面積為(平方厘米) 【答案】75【鞏固】如右圖，以為斜邊的直角三角形的面積是24平方厘米，斜邊長10厘米，將它以點為中心旋轉(zhuǎn)，問：三角形掃過的面積是多少？(

7、取3)【考點】曲線型旋轉(zhuǎn)問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 從圖中可以看出，直角三角形掃過的面積就是圖中圖形的總面積，等于一個三角形的面積與四分之一圓的面積之和圓的半徑就是直角三角形的斜邊因此可以求得，三角形掃過的面積為：(平方厘米)【答案】99【鞏固】(“學而思杯”數(shù)學試題)如圖，直角三角形中，為直角，且厘米， 厘米，則在將繞點順時針旋轉(zhuǎn)的過程中，邊掃過圖形的面積為 () 【考點】曲線型旋轉(zhuǎn)問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 如右上圖所示，假設旋轉(zhuǎn)到達的位置陰影部分為邊掃過的圖形從圖中可以看出，陰影部分面積等于整個圖形的總面積減去空白部分面積，而整個圖形總面積等于扇形的面積與的面

8、積之和，空白部分面積等于扇形的面積與的面積，由于的面積與的面積相等，所以陰影部分的面積等于扇形與扇形的面積之差，為(平方厘米)【答案】12.56【例 5】 如下圖，ABC是一個等腰直角三角形，直角邊的長度是1米?，F(xiàn)在以C點為圓點，順時針旋轉(zhuǎn)90度，那么，AB邊在旋轉(zhuǎn)時所掃過的面積是平方米 。（=3.14）【考點】曲線型旋轉(zhuǎn)問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 邊掃過的面積為左下圖陰影部分，可分為右下圖所示的兩部分。 因為，所以。所求面積為（平方米）【答案】0.6775【例 6】 如圖30-14，將長方形ABCD繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90度，若AB=4，BC=3，AC=5，求AD邊掃過部分的面積

9、(取3.14)【考點】曲線型旋轉(zhuǎn)問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 如下圖所示，如下圖所示，端點A掃過的軌跡為，端點D掃過軌跡為，而AD之間的點，掃過的軌跡在以A、D軌跡，AD，所形成的封閉圖形內(nèi)，且這個封閉圖形的每一點都有線段AD上某點掃過，所以AD邊掃過的圖形為陰影部分顯然,有陰影部分面積為,而直角三角形、ACD面積相等 即AD邊掃過部分的面積為7065平方厘米【答案】7.065【例 7】 (祖沖之杯競賽試題)如圖，是一個長為，寬為，對角線長為的正方形，它繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，分別求出四邊掃過圖形的面積【考點】曲線型旋轉(zhuǎn)問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 容易發(fā)現(xiàn)，邊和邊旋轉(zhuǎn)后

10、掃過的圖形都是以線段長度為半徑的圓的，如圖：因此DC邊掃過圖形的面積為，邊掃過圖形的面積為2、研究邊的情況在整個邊上，距離點最近的點是點，最遠的點是點，因此整條線段所掃過部分應該介于這兩個點所掃過弧線之間，見如圖中陰影部分： 下面來求這部分的面積觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，所求陰影部分的面積實際上是：扇形面積三角形面積三角形面積一扇形面積扇形面積一扇形面積3、研究邊掃過的圖形由于在整條線段上距離點最遠的點是，最近的點是，所以我們可以畫出邊掃過的圖形，如圖陰影部分所示：用與前面同樣的方法可以求出面積為：旋轉(zhuǎn)圖形的關鍵，是先從整體把握一下”變化過程”，即它是通過什么樣的基本圖形經(jīng)過怎樣的加減次序得到的先不去

11、考慮具體數(shù)據(jù)，一定要把思路捋清楚最后你會發(fā)現(xiàn)，所有數(shù)據(jù)要么直接告訴你，要么就”藏”在那兒，一定會有可以進一步思考，比如平行四邊形的旋轉(zhuǎn)問題、一般三角形的旋轉(zhuǎn)問題等等，此類問題的解決對提高解決幾何圖形問題的能力是非常有益的【答案】（1）邊掃過圖形的面積為 （2）邊掃過圖形的面積為 （3）邊掃過圖形的面積為 （4）DC邊掃過圖形的面積為【例 8】 (華杯賽初賽)半徑為25厘米的小鐵環(huán)沿著半徑為50厘米的大鐵環(huán)的內(nèi)側(cè)作無滑動的滾動，當小鐵環(huán)沿大鐵環(huán)滾動一周回到原位時，問小鐵環(huán)自身轉(zhuǎn)了幾圈？【考點】曲線型旋轉(zhuǎn)問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 對于這類問題，可以在初始時在小環(huán)上取一點，觀察半徑，

12、如圖，當小環(huán)沿大環(huán)內(nèi)壁滾動到與初始相對的位置，即滾動半個大圓周時，如圖，半徑也運動到了與初始時相對的位置這時沿大環(huán)內(nèi)壁才滾動了半圈繼續(xù)進行下半圈，直到與初始位置重合，這時自身轉(zhuǎn)了1圈，因此小鐵環(huán)自身也轉(zhuǎn)了1圈【總結】對于轉(zhuǎn)動的圓來說，當圓心轉(zhuǎn)動的距離為一個圓周長時，這個圓也恰好轉(zhuǎn)了一圈所以本題也可以考慮小鐵環(huán)的圓心軌跡，發(fā)現(xiàn)是一個半徑與小鐵環(huán)相等的圓，所以小鐵環(huán)的圓心轉(zhuǎn)過的距離等于自己的圓周長，那么小鐵環(huán)轉(zhuǎn)動了1圈【答案】1圈【鞏固】如果半徑為25厘米的小鐵環(huán)沿著半徑為50厘米的大鐵環(huán)的外側(cè)作無滑動的滾動，當小鐵環(huán)沿大鐵環(huán)滾動一周回到原位時，問小鐵環(huán)自身轉(zhuǎn)了幾圈？【考點】曲線型旋轉(zhuǎn)問題 【難度

13、】3星 【題型】解答【解析】 如圖，同樣考慮小圓的一條半徑，當小圓在大圓的外側(cè)滾動一周，即滾動了大圓的半周時，半徑滾動了，滾動了一圈半，所以當小圓沿大圓外側(cè)滾動一周時，小圓自身轉(zhuǎn)了3圈 也可以考慮小圓圓心轉(zhuǎn)過的距離小圓圓心轉(zhuǎn)過的是一個圓周，半徑是小圓的3倍，所以這個圓的周長也是小圓的3倍，由于小圓的圓心每轉(zhuǎn)動一個自身的周長時，小圓也恰好轉(zhuǎn)了一圈，所以本題中小圓自身轉(zhuǎn)了3圈【答案】3圈【鞏固】如圖所示，大圓周長是小圓周長的()倍，當小圓在大圓內(nèi)側(cè)(外側(cè))作無滑動的滾動一圈后又回到原來的位置，小圓繞自己的圓心轉(zhuǎn)動了幾周？【考點】曲線型旋轉(zhuǎn)問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 為了確定圓繞圓心轉(zhuǎn)

14、動幾周，首先要明確圓心轉(zhuǎn)動的距離設小圓的半徑為“單位1”，則大圓的半徑為“”在內(nèi)測滾動時，如圖所示，因為圓心滾動的距離為所以小圓繞自己的圓心轉(zhuǎn)動了：(圈) 在外側(cè)滾動時，如圖所示因為圓心滾動的距離為所以小圓繞自己的圓心轉(zhuǎn)動了：(圈)【答案】n-1和n+1【例 9】 如圖，枚相同的硬幣排成一個長方形，一個同樣大小的硬幣沿著外圈滾動一周，回到起始位置問：這枚硬幣自身轉(zhuǎn)動了多少圈？【考點】曲線型旋轉(zhuǎn)問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 當硬幣在長方形的一條邊之內(nèi)滾動一次時，由于三個硬幣的圓心構成一個等邊三角形，所以這枚硬幣的圓心相當于沿著半徑為硬幣2倍的圓旋轉(zhuǎn)了而硬幣上的每一點都是半徑等于硬幣的

15、圓旋轉(zhuǎn)，所以硬幣自身旋轉(zhuǎn)了120當硬幣從長方形的一條邊滾動到另一條邊時，這枚硬幣的圓心相當于沿著半徑為硬幣2倍的圓旋轉(zhuǎn)了而硬幣上的每一點都是半徑等于硬幣的圓旋轉(zhuǎn)，所以硬幣自身旋轉(zhuǎn)了300長方形的外圈有12個硬幣，其中有4個在角上，其余8個在邊上，所以這枚硬幣滾動一圈有8次是在長方形的一條邊之內(nèi)滾動，4次是從長方形的一條邊滾動到另一條邊，所以這枚硬幣轉(zhuǎn)動了2160，即自身轉(zhuǎn)動了6圈另解：通過計算圓心軌跡的長度，每走一個即滾動了一周【答案】6圈【鞏固】12個相同的硬幣可以排成下面的4種正多邊形(圓心的連線) 用一個同樣大小的硬幣，分別沿著四個正多邊形的外圈無滑動地滾動一周問：在哪個圖中這枚硬幣自身

16、轉(zhuǎn)動的圈數(shù)最多，最多轉(zhuǎn)動了多少圈？【考點】曲線型旋轉(zhuǎn)問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 對于同樣是12個硬幣，所轉(zhuǎn)動的圓心軌跡其實分為兩部分，一是在”角”上的轉(zhuǎn)動，一是在”邊”上的滾動抓住關鍵方法：圓心軌跡長度自身轉(zhuǎn)動圈數(shù)結論：一樣多；都是6圈【答案】一樣多；都是6圈【例 10】 一枚半徑為1的圓形硬幣相互緊靠著平放在桌面上，讓一枚硬幣沿著它們的外輪廓滾過后回到原來的位置，那么與原點重合的點是_硬幣自己轉(zhuǎn)動_，硬幣圓心的運動軌跡周長為_【考點】曲線型旋轉(zhuǎn)問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 先計算軌跡的長度：三個半徑為的半圓，即為周，所以答案為點，周，【答案】點，周，【例 11】 先

17、做一個邊長為的等邊三角形，再以三個頂點為圓心，為半徑作弧，形成曲邊三角形(如左圖)再準備兩個這樣的圖形，把一個固定住(右圖中的陰影)，另一個圍繞著它滾動，如右圖那樣，從頂點相接的狀態(tài)下開始滾動請問此圖形滾動時經(jīng)過的面積是多少平方厘米？() 【考點】曲線型旋轉(zhuǎn)問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 在處理圖形的運動問題時，描繪出物體的運動軌跡是解決問題的第一步，只有大的方向確定了，才能實施具體的計算 在數(shù)學中，本題所作出的這個曲邊三角形叫“萊洛三角形”，“萊洛三角形”有一個重要的性質(zhì)就是它在所有方向上的寬度都相同為了求出“萊洛三角形”滾動時經(jīng)過的面積，可以分2步來思考：第1步：如圖所示，當“萊

18、洛三角形”從頂點的上方滾動到頂點的左邊時，這時陰影“萊洛三角形”滾動的這部分面積是以為圓心、為半徑、圓心角為的扇形在頂點、處各有這樣的一個扇形；第2步：如圖所示，當“萊洛三角形”在邊上滾動時，這時可以把陰影“萊洛三角形”看作是以圖中點為圓心的圓的一部分，這個圓在以點為圓心的弧上滾動，可知此時圓心運動的軌跡是圖中的弧，所以此時陰影“萊洛三角形”滾動的這部分面積是以為圓心、為半徑、圓心角為的扇形減去半徑為的的扇形；綜上所述，去掉圖中陰影“萊洛三角形”后所形成的組合圖形就是要求的面積滾動時經(jīng)過的面積是：【答案】25.12【例 12】 下圖為半徑20厘米、圓心角為1440的扇形圖.點C、D、E、F、G

19、、H、J是將扇形的B、K弧線分為8等份的點.求陰影部分面積之和【考點】曲線型旋轉(zhuǎn)問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 如下圖,做出輔助線,KMA與ANG形狀相同(對應角相等),大小相等(對應邊相等),有KMAANG,而LMA是兩個三角形的公共部分,所以上圖中的陰影部分面積相等所以,GNMK與扇形KGA的面積相等,那么KGEB的面積為2倍扇形KGA的面積扇形KGA的圓心角為3=540,所以扇形面積為平方厘米那么KGEB的面積為60=120平方厘米如下圖,做出另一組輔助線 JQA與ARH形狀相同(對應角相等),大小相等(對應邊相等),有JQAARH,=5A,而PQA是兩個三角形的公共部分,所以右圖中的陰影部分面積相等.所以,JHRQ與扇形JHA的面積相等,那么JHDC的面積為2倍扇形JHA的面積扇形JHA的圓心角為,所以扇形面積為平方厘米那么JHDC的面積為平方厘米所以,原題圖中陰影部分面積為803.14=251.2平方厘米【答案】251.2【例 13】 10個一樣大的圓擺成如圖所示的形狀過圖中所示兩個圓心A，B作直線，那么直線右