全等三角形經(jīng)典例題（經(jīng)典實(shí)用）

1、全等三角形經(jīng)典例題（全等三角形的概念和性質(zhì)）類(lèi)型一、全等形和全等三角形的概念1、全等三角形又叫做合同三角形，平面內(nèi)的合同三角形分為真正合同三角形與鏡面合同三角形，假設(shè)ABC和A1B1C1是全等(合同)三角形，點(diǎn)A與點(diǎn)A1對(duì)應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)B1對(duì)應(yīng)，點(diǎn)C與點(diǎn)C1對(duì)應(yīng)，當(dāng)沿周界ABCA，及A1B1C1A1環(huán)繞時(shí)，若運(yùn)動(dòng)方向相同，則稱(chēng)它們是真正合同三角形(如圖1)，若運(yùn)動(dòng)方向相反，則稱(chēng)它們是鏡面合同三角形(如圖2)，兩個(gè)真正合同三角形都可以在平面內(nèi)通過(guò)平移或旋轉(zhuǎn)使它們重合，兩個(gè)鏡面合同三角形要重合，則必須將其中一個(gè)翻轉(zhuǎn)180，下列各組合同三角形中，是鏡面合同三角形的是( ) （答案）B；提示：抓住關(guān)鍵語(yǔ)

2、句，兩個(gè)鏡面合同三角形要重合，則必須將其中一個(gè)翻轉(zhuǎn)180，B答案中的兩個(gè)三角形經(jīng)過(guò)翻轉(zhuǎn)180就可以重合，故選B；其它三個(gè)選項(xiàng)都需要通過(guò)平移或旋轉(zhuǎn)使它們重合.類(lèi)型二、全等三角形的對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角類(lèi)型三、全等三角形性質(zhì)3、如圖，將長(zhǎng)方形沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，如果，那么等于（ ）A.60 B.45 C.30 D.15（答案）D；（解析）因?yàn)锳FE是由ADE折疊形成的，所以AFEADE，所以FAEDAE，又因?yàn)?，所以FAEDAE15.（點(diǎn)評(píng)）折疊所形成的三角形與原三角形是全等的關(guān)系，抓住全等三角形對(duì)應(yīng)角相等來(lái)解題.舉一反三：（變式）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，將BCD沿其對(duì)角線(xiàn)BD翻折得到BED，若

3、135，則2_.（答案）35；提示：將BCD沿其對(duì)角線(xiàn)BD翻折得到BED，所以2CBD，又因?yàn)锳DBC，所以1CBD，所以235.4、 如圖，ABE和ADC是ABC分別沿著AB，AC翻折180形成的，若1232853，的度數(shù)是_.（答案）80（解析）1232853，設(shè)128，25，33，285336180，5即1140，225，315ABE和ADC是ABC分別沿著AB，AC翻折180形成的，ABEADCABC2ABE，3ACDEBCBCD2223503080（點(diǎn)評(píng)）此題涉及到了三角形內(nèi)角和，外角和定理，并且要運(yùn)用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題.見(jiàn)“比例”設(shè)未知數(shù)x是比較常用的解題思路.舉

4、一反三：（變式）如圖，在A(yíng)BC中，A:ABC:BCA 3:5:10，又MNCABC，則BCM：BCN等于（ ）A1:2 B1:3 C2:3 D1:4（答案）D；提示：設(shè)A3，ABC5，BCA10，則351018180，10. 又因?yàn)镸NCABC，所以NB50，CNCB，所以NCBN50，ACBMCN100，BCN180505080，所以BCM：BCN20：801：4.（全等三角形判定一（SSS，SAS）類(lèi)型一、全等三角形的判定1“邊邊邊”1、如圖，在A(yíng)BC和ADE中，ABAC，ADAE，BDCE，求證：BADCAE.(答案與解析）證明：在A(yíng)BD和ACE中，ABDACE（SSS）BADCAE（全

5、等三角形對(duì)應(yīng)角相等）.(點(diǎn)評(píng)）把證明一對(duì)角或線(xiàn)段相等的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個(gè)三角形全等，綜合應(yīng)用全等三角形的判定和性質(zhì). 要證BADCAE，先找出這兩個(gè)角所在的三角形分別是BDA和CAE，然后證這兩個(gè)三角形全等.舉一反三：(變式）已知：如圖，ADBC，ACBD.試證明：CADDBC.(答案）證明：連接DC， 在A(yíng)CD與BDC中ACDBDC（SSS）CADDBC（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）類(lèi)型二、全等三角形的判定2“邊角邊”2、3、 舉一反三：(變式）已知，如圖，在四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，并且AE（ABAD），求證：BD180.(答案）證明：在線(xiàn)段AE上，截取EFEB

6、，連接FC，CEAB，CEBCEF90在CBE和CFE中，CBE和CFE（SAS）BCFEAE（ABAD），2AE ABAD AD2AEABAEAFEF，AD2（AFEF）AB2AF2EFABAFAFEFEBABAFABAB，即ADAF在A(yíng)FC和ADC中AFCADC（SAS）AFCD AFCCFE180，BCFE.AFCB180，BD180.類(lèi)型三、全等三角形判定的實(shí)際應(yīng)用4、如圖，公園里有一條“Z字形道路ABCD，其中ABCD，在A(yíng)B，BC，CD三段路旁各有一個(gè)小石凳E，M，F(xiàn)，且BECF，M在BC的中點(diǎn).試判斷三個(gè)石凳E，M，F(xiàn)是否恰好在一條直線(xiàn)上？Why？ (答案與解析）三個(gè)小石凳在一條

7、直線(xiàn)上證明：AB平行CD（已知）BC（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）M在BC的中點(diǎn)（已知）BMCM（中點(diǎn)定義）在BME和CMF中 BMECMF（SAS）EMBFMC（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）EMFEMBBMFFMCBMFBMC180（等式的性質(zhì)）E，M，F(xiàn)在同一直線(xiàn)上(點(diǎn)評(píng)）對(duì)于實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，首先要能將它化成數(shù)學(xué)模型，再根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)去解決. 由已知易證BMECMF，可得EMBFMC，再由EMFEMBBMFFMCBMFBMC180得到E，M，F(xiàn)在同一直線(xiàn)上.（全等三角形判定二（ASA，AAS）類(lèi)型一、全等三角形的判定3“角邊角”1、如圖，G是線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，AC和DG相交于點(diǎn)E.請(qǐng)先作出ABC的平分線(xiàn)

8、BF，交AC于點(diǎn)F；然后證明：當(dāng)ADBC，ADBC，ABC2ADG時(shí)，DEBF.(答案與解析）證明：ADBC，DACC BF平分ABC ABC2CBF ABC2ADG CBFADG在DAE與BCF中DAEBCF（ASA）DEBF(點(diǎn)評(píng)）利用全等三角形證明線(xiàn)段(角)相等的一般方法和步驟如下： (1)找到以待證角(線(xiàn)段)為內(nèi)角(邊)的兩個(gè)三角形； (2)證明這兩個(gè)三角形全等； (3)由全等三角形的性質(zhì)得出所要證的角(線(xiàn)段)相等(變式）已知：如圖，在MPN中，H是高M(jìn)Q和NR的交點(diǎn)，且MQNQ求證：HNPM.(答案）證明：MQ和NR是MPN的高， MQNMRN90， 又132490，34 12 在M

9、PQ和NHQ中， MPQNHQ（ASA） PMHN類(lèi)型二、全等三角形的判定4“角角邊”2、已知：如圖，是經(jīng)過(guò)點(diǎn)的一條直線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)A、B 分別作、，垂足為E、F，求證：.(答案與解析）證明： ， 在和中（） (點(diǎn)評(píng)）要證，只需證含有這兩個(gè)線(xiàn)段的.同角的余角相等是找角等的好方法.3、平面內(nèi)有一等腰直角三角板（ACB90）和一直線(xiàn)MN過(guò)點(diǎn)C作CEMN于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BFMN于點(diǎn)F當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)（如圖1），易證：AFBF2CE當(dāng)三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線(xiàn)段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，不需證明(答案與解析

10、）解：圖2，AFBF2CE仍成立，證明：過(guò)B作BHCE于點(diǎn)H，CBHBCHACEBCH90CBHACE 在A(yíng)CE與CBH中， ACECBH（AAS）CHAE，BFHE，CEEF，AFBFAEEFBFCHEFHECEEF2EC(點(diǎn)評(píng)）過(guò)B作BHCE與點(diǎn)H，易證ACHCBH，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可證得AFBF2CE正確作出垂線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形是解決本題的關(guān)鍵.舉一反三：(變式）Error! Reference source not found.已知RtABC中，ACBC，C90，D為AB邊的中點(diǎn)，EDF90，EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、CB于E、F當(dāng)EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DEAC于

11、E時(shí)（如圖1），易證；當(dāng)EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時(shí)，在圖2情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明.窗體底端(答案）解：圖2成立； 證明圖2：過(guò)點(diǎn)作 則在A(yíng)MD和DNB中，AMDDNB（AAS）DMDNMDEEDNNDFEDN90， MDENDF在DME與DNF中，DMEDNF（ASA）可知，類(lèi)型三、全等三角形判定的實(shí)際應(yīng)用4、在一次戰(zhàn)役中，我軍陣地與敵軍碉堡隔河相望，為了炸掉敵軍的碉堡，要知道碉堡與我軍陣地的距離.在不能過(guò)河測(cè)量又沒(méi)有任何測(cè)量工具的情況下，一名戰(zhàn)士想出了這樣一個(gè)辦法：他面向碉堡站好，然后調(diào)整帽子，使視線(xiàn)通過(guò)帽檐正好落在碉堡的底

12、部.然后，他轉(zhuǎn)身向后，保持剛才的姿態(tài)，這時(shí)視線(xiàn)落在了自己這岸的某一點(diǎn)上.接著，他用步測(cè)的辦法量出了自己與該點(diǎn)的距離，這個(gè)距離就是他與碉堡的距離.這名戰(zhàn)士的方法有道理嗎？請(qǐng)畫(huà)圖并結(jié)合圖形說(shuō)明理由.(答案與解析）設(shè)戰(zhàn)士的身高為AB，點(diǎn)C是碉堡的底部，點(diǎn)D是被觀(guān)測(cè)到的我軍陣地岸上的點(diǎn)，由在觀(guān)察過(guò)程中視線(xiàn)與帽檐的夾角不變，可知BADBAC，ABDABC90.在A(yíng)BD和ABC中，ABD和ABC（ASA）BDBC.這名戰(zhàn)士的方法有道理.(點(diǎn)評(píng)）解決本題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形說(shuō)明那名戰(zhàn)士測(cè)出的距離就是陣地與碉堡的距離，可以先畫(huà)出示意圖，然后利用全等三角形進(jìn)行說(shuō)明.解決本題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)

13、問(wèn)題并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)分析和解決.直角三角形全等判定類(lèi)型一、直角三角形全等的判定“HL”1、 判斷滿(mǎn)足下列條件的兩個(gè)直角三角形是否全等，不全等的畫(huà)“”，全等的注明理由：（1）一個(gè)銳角和這個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等；（ ）（2）一個(gè)銳角和斜邊對(duì)應(yīng)相等； （ ）（3）兩直角邊對(duì)應(yīng)相等； （ ）（4）一條直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)相等 （ ）(答案）（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SAS”；（4）全等，“HL”.(解析）理解題意，畫(huà)出圖形，根據(jù)全等三角形的判定來(lái)判斷.(點(diǎn)評(píng)）直角三角形全等可用的判定方法有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.舉一反三：(變式）下列說(shuō)法中，正確的畫(huà)“”

14、；錯(cuò)誤的畫(huà)“”，并舉出反例畫(huà)出圖形.（1）一條直角邊和斜邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（ ）（2）有兩邊和其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（ ）（3）有兩邊和第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（ ）(答案）（1）；（2）；在A(yíng)BC和DBC中，ABDB，AE和DF是其中一邊上的高，AEDF （3）. 在A(yíng)BC和ABD中，ABAB，ADAC，AH為第三邊上的高，2、已知：如圖，DEAC，BFAC，ADBC，DEBF.求證：ABDC.(答案與解析）證明：DEAC，BFAC，在RtADE與RtCBF中RtADERtCBF （HL） AECF，DEBFAEEFCFEF，即AFCE在RtCD

15、E與RtABF中，RtCDERtABF（SAS）DCEBAF ABDC.(點(diǎn)評(píng)）從已知條件只能先證出RtADERtCBF，從結(jié)論又需證RtCDERtABF.我們可以從已知和結(jié)論向中間推進(jìn)，證出題目.3、 舉一反三：(變式）4、如圖，ABC中，ACB90，ACBC，AE是BC邊上的中線(xiàn)，過(guò)C作CFAE，垂足為F，過(guò)B作BDBC交CF的延長(zhǎng)線(xiàn)于D.（1）求證：AECD；（2）若AC12，求BD的長(zhǎng).(答案與解析）（1）證明：DBBC，CFAE，DCBDDCBAEC90DAEC又DBCECA90，且BCCA，DBCECA（AAS）AECD（2）解：由（1）得AECD，ACBC，CDBAEC（HL）

16、BDECBCAC，且AC12 BD6(點(diǎn)評(píng)）三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件.角的平分線(xiàn)的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)四、三角形角平分線(xiàn)的性質(zhì)三角形三條角平分線(xiàn)交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，此點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心且這一點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.三角形的一內(nèi)角平分線(xiàn)和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線(xiàn)交于一點(diǎn).這點(diǎn)叫做三角形的旁心.三角形有三個(gè)旁心.所以到三角形三邊所在直線(xiàn)距離相等的點(diǎn)共有4個(gè).如圖所示：ABC的內(nèi)心為，旁心為，這四個(gè)點(diǎn)到ABC三邊所在直線(xiàn)距離相等.(典型例題）類(lèi)型一、角的

17、平分線(xiàn)的性質(zhì)及判定1、已知：如圖，在中，AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F. 求證：AEAF(答案與解析）證明：AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F. DEDF（角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）（垂直定義）在和中 （HL）(點(diǎn)評(píng)）先由角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出DEDF，再證，即可得出AEAF.分析已知，尋找條件，順次證明舉一反三：(變式）如圖，AD是BAC的平分線(xiàn)，DEAB，交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，DFAC于點(diǎn)F，且DBDC.求證：BECF.(答案）證明：DEAE，DFAC，AD是BAC的平分線(xiàn)， DEDF，BEDDFC90 在RtBDE與RtCDF中，RtBDERtCDF（HL） BE

18、CF2、3、如圖，AC=DB，PAC與PBD的面積相等求證：OP平分AOB(答案與解析）證明：作PMOA于M，PNOB于N ，且 又ACBD PMPN 又PMOA，PNOB OP平分AOB (點(diǎn)評(píng)）觀(guān)察已知條件中提到的三角形PAC與PBD，顯然與全等無(wú)關(guān)，而面積相等、底邊相等，于是自然想到可得兩三角形的高線(xiàn)相等，聯(lián)系到角平分線(xiàn)判定定理可得.跟三角形的高結(jié)合的題目，有時(shí)候用面積會(huì)取得意想不到的效果.4、舉一反三：(變式）如圖，DCAB，BAD和ADC的平分線(xiàn)相交于E，過(guò)E的直線(xiàn)分別交DC、AB于C、B兩點(diǎn). 求證：ADABDC.(答案） 證明：在線(xiàn)段AD上取AFAB，連接EF，AE是BAD的角平

19、分線(xiàn)，12，AFAB AEAE，ABEAFE，BAFE由CDAB又可得CB180，AFEC180，又DFEAFE180，CDFE，DE是ADC的平分線(xiàn)，34，又DEDE，CDEFDE，DFDC，ADDFAF，ADABDC 全等三角形全章復(fù)習(xí)與鞏固類(lèi)型一、巧引輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形(1)倍長(zhǎng)中線(xiàn)法：1、已知，如圖，ABC中，D是BC中點(diǎn)，DEDF,試判斷BECF與EF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(答案與解析）BECFEF；證明：延長(zhǎng)FD到G，使DGDF,連結(jié)BG、EGD是BC中點(diǎn)BDCD又DEDF在EDG和EDF中EDGEDF（SAS）EGEF在FDC與GDB中FDCGDB(SAS)CFBGBGB

20、EEGBECFEF(點(diǎn)評(píng)）因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，按倍長(zhǎng)中線(xiàn)法，倍長(zhǎng)過(guò)中點(diǎn)的線(xiàn)段DF，使DGDF,證明EDGEDF，F(xiàn)DCGDB，這樣就把BE、CF與EF線(xiàn)段轉(zhuǎn)化到了BEG中，利用兩邊之和大于第三邊可證.有中點(diǎn)的時(shí)候作輔助線(xiàn)可考慮倍長(zhǎng)中線(xiàn)法（或倍長(zhǎng)過(guò)中點(diǎn)的線(xiàn)段）.舉一反三：(變式）已知：如圖所示，CE、CB分別是ABC與ADC的中線(xiàn)，且ACBABC求證：CD2CE(答案）證明： 延長(zhǎng)CE至F使EFCE，連接BF EC為中線(xiàn)， AEBE在A(yíng)EC與BEF中， AECBEF（SAS） ACBF，AFBE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等）又 ACBABC，DBCACBA，F(xiàn)BCABCA ACAB，DBCFBC

21、ABBF又 BC為ADC的中線(xiàn)， ABBD即BFBD在FCB與DCB中， FCBDCB（SAS） CFCD即CD2CE(2)作以角平分線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的翻折變換構(gòu)造全等三角形2、已知：如圖所示，在A(yíng)BC中，C2B，12求證：ABACCD(答案與解析）證明：在A(yíng)B上截取AEAC在A(yíng)ED與ACD中， AEDACD（SAS） AEDC(全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等)又 C2B AED2B由圖可知：AEDBEDB， 2BBEDB BEDB BEED即BECD ABAEBEACCD(等量代換)(點(diǎn)評(píng)）本題圖形簡(jiǎn)單，結(jié)論復(fù)雜，看似無(wú)從下手，結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)ABAC故用截長(zhǎng)補(bǔ)短法在A(yíng)B上截取AEAC這樣AB就變成了AEB

22、E，而AEAC只需證BECD即可從而把ABACCD轉(zhuǎn)化為證兩線(xiàn)段相等的問(wèn)題舉一反三：(變式）如圖，AD是的角平分線(xiàn)，H，G分別在A(yíng)C，AB上，且HDBD.(1)求證：B與AHD互補(bǔ)；(2)若B2DGA180，請(qǐng)?zhí)骄烤€(xiàn)段AG與線(xiàn)段AH、HD之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系，并加以證明.(答案）證明：（1）在A(yíng)B上取一點(diǎn)M, 使得AMAH, 連接DM. CADBAD, ADAD, AHDAMD. HDMD, AHDAMD. HDDB, DB MD. DMBB. AMDDMB 180, AHDB180. 即 B與AHD互補(bǔ). （2）由（1）AHDAMD, HDMD, AHDB180. B2DGA 180, AHD

23、2DGA. AMD2DGM. AMDDGMGDM. 2DGMDGMGDM. DGMGDM. MDMG. HD MG. AG AMMG, AG AHHD. （3）.利用截長(zhǎng)(或補(bǔ)短)法作構(gòu)造全等三角形：3、如圖所示，已知ABC中ABAC，AD是BAC的平分線(xiàn)，M是AD上任意一點(diǎn)，求證：MBMCABAC(答案與解析）證明：因?yàn)锳BAC，則在A(yíng)B上截取AEAC，連接ME在MBE中，MBMEBE（三角形兩邊之差小于第三邊）在A(yíng)MC和AME中， AMCAME（SAS） MCME（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）又 BEABAE， BEABAC， MBMCABAC(點(diǎn)評(píng)）因?yàn)锳BAC，所以可在A(yíng)B上截取線(xiàn)段AEA

24、C，這時(shí)BEABAC，如果連接EM，在BME中，顯然有MBMEBE這表明只要證明MEMC，則結(jié)論成立充分利用角平分線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，截長(zhǎng)補(bǔ)短是關(guān)鍵.舉一反三：(變式）如圖，AD是ABC的角平分線(xiàn)，ABAC,求證：ABACBDDC(答案）證明：在A(yíng)B上截取AEAC,連結(jié)DEAD是ABC的角平分線(xiàn)，BADCAD在A(yíng)ED與ACD中AEDADC（SAS）DEDC在BED中，BEBDDC即ABAEBDDCABACBDDC（4）.在角的平分線(xiàn)上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線(xiàn)段.4、如圖所示，已知E為正方形ABCD的邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，且DAEFAE求證：AFADCF(答案與解析）證明： 作MEAF于M，連接EF

25、 四邊形ABCD為正方形， CDEMA90又 DAEFAE， AE為FAD的平分線(xiàn)， MEDE在RtAME與RtADE中， RtAMERtADE(HL) ADAM(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)又 E為CD中點(diǎn)， DEEC MEEC在RtEMF與RtECF中， RtEMFRtECF(HL) MFFC(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)由圖可知：AFAMMF， AFADFC(等量代換)(點(diǎn)評(píng)）與角平分線(xiàn)有關(guān)的輔助線(xiàn)： 在角兩邊截取相等的線(xiàn)段，構(gòu)造全等三角形；在角的平分線(xiàn)上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線(xiàn)段. 四邊形ABCD為正方形，則D90而DAEFAE說(shuō)明AE為FAD的平分線(xiàn)，按常規(guī)過(guò)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)作出到角兩邊的距離，而E

26、到AD的距離已有，只需作E到AF的距離EM即可，由角平分線(xiàn)性質(zhì)可知MEDEAEAERtAME與RtADE全等有ADAM而題中要證AFADCF根據(jù)圖知AFAMMF故只需證MFFC即可從而把證AFADCF轉(zhuǎn)化為證兩條線(xiàn)段相等的問(wèn)題5、如圖所示，在A(yíng)BC中，AC=BC，ACB=90，D是AC上一點(diǎn)，且AE垂直BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于E， ，求證：BD是ABC的平分線(xiàn)(答案與解析）證明：延長(zhǎng)AE和BC，交于點(diǎn)F，ACBC，BEAE，ADE=BDC（對(duì)頂角相等），EAD+ADE=CBD+BDC即EAD=CBD在RtACF和RtBCD中所以RtACFRtBCD（ASA）則AF=BD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）AE=BD

27、，AE=AF，即AE=EF在RtBEA和RtBEF中，則RtBEARtBEF（SAS）所以ABE=FBE（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等），即BD是ABC的平分線(xiàn)(點(diǎn)評(píng)）如果由題目已知無(wú)法直接得到三角形全等，不妨試著添加輔助線(xiàn)構(gòu)造出三角形全等的條件，使問(wèn)題得以解決平時(shí)練習(xí)中多積累一些輔助線(xiàn)的添加方法.類(lèi)型二、全等三角形動(dòng)態(tài)型問(wèn)題6、在A(yíng)BC中，ACB90，ACBC，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作的垂線(xiàn)AE，BF，垂足分別為E，F(xiàn)。（1）如圖1當(dāng)直線(xiàn)不與底邊AB相交時(shí)，求證：EFAEBF。（2）將直線(xiàn)繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使與底邊AB相交于點(diǎn)D，請(qǐng)你探究直線(xiàn)在如下位置時(shí)，EF、AE、BF之間的關(guān)系，ADB

28、D；ADBD；ADBD.(答案與解析）證明：（1）AE，BF，AECCFB90，1290ACB90，239013。在A(yíng)CE和CBF中，ACECBF（AAS）AECF，CEBF EFCECF，EFAEBF。（2）EFAEBF，理由如下：AE，BF，AECCFB90，1290ACB90，2390，13。在A(yíng)CE和CBF中ACECBF（AAS）AECF，CEBFEFCFCE，EFAEBF。 EFAEBFEFBFAE證明同.(點(diǎn)評(píng)）解決動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題時(shí)要善于抓住以下幾點(diǎn)：(1) 變化前的結(jié)論及說(shuō)理過(guò)程對(duì)變化后的結(jié)論及說(shuō)理過(guò)程起著至關(guān)重要的作用；(2) 圖形在變化過(guò)程中，哪些關(guān)系發(fā)生了變化，哪些關(guān)系沒(méi)有發(fā)

29、生變化；原來(lái)的線(xiàn)段之間、角之間的位置與數(shù)量關(guān)系是否還存在是解題的關(guān)鍵；(3) 幾種變化圖形之間，證明思路存在內(nèi)在聯(lián)系，都可模仿與借鑒原有的結(jié)論與過(guò)程，其結(jié)論有時(shí)變化，有時(shí)不發(fā)生變化.舉一反三：(變式）已知：在A(yíng)BC中，BAC90，ABAC，點(diǎn)D為射線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AD，以AD為一邊且在A(yíng)D的右側(cè)作正方形ADEF（1）當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖1，求證：CFBD （2）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖2，第（1）問(wèn)中的結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由.(答案）證明：（1）正方形ADEF ADAF，DAF90 DAFDACBACDAC，即BADCAF 在A(yíng)BD和ACF中， A

30、BDACF（SAS） BDCF （2）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，仍有BDCF 此時(shí)DAFDACBACDAC，即BADCAF 在A(yíng)BD和ACF中， ABDACF（SAS） BDCF全等三角形全章復(fù)習(xí)與鞏固（基礎(chǔ)）類(lèi)型一、全等三角形的性質(zhì)和判定1、兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線(xiàn)上，連結(jié)DC(1)請(qǐng)找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說(shuō)明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）；(2)證明：DCBE .(答案與解析)解：（1）BAECAD 證明：BACEAD90 BAC CAEEAD CAE 即 BAECAD 又ABAC，AEAD，

31、 ABEACD（SAS）（2）由（1）得BEACDA,又COEAOD BEACOE CDAAOD90 則有DCE180 9090， 所以DCBE.(點(diǎn)評(píng))ABE與ACD中，已經(jīng)有兩邊，夾角可以通過(guò)等量代換找到，從而證明ABEACD；通過(guò)全等三角形的性質(zhì)，通過(guò)導(dǎo)角可證垂直.我們可以試著從變換的角度看待ABE與ACD，后一個(gè)三角形是前一個(gè)三角形繞著A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到的，對(duì)應(yīng)邊的夾角等于旋轉(zhuǎn)的角度90，即DCBE.舉一反三：(變式)如圖，已知：AEAB，ADAC，ABAC，BC，求證：BDCE.(答案)證明：AEAB，ADAC， EABDAC90 EABDAEDACDAE ，即DABEAC. 在

32、DAB與EAC中，DABEAC （SAS） BDCE.類(lèi)型二、巧引輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形(1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形：2、 如圖：在四邊形ABCD中，ADCB，ABCD.求證：BD.(答案與解析)證明：連接AC，ADCB，ABCD. 12，34 在A(yíng)BC與CDA中 ABCCDA（ASA）BD(點(diǎn)評(píng))B與D不包含在任何兩個(gè)三角形中，只有添加輔助線(xiàn)AC，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，可構(gòu)造出全等三角形.添加公共邊作為輔助線(xiàn)的時(shí)候不能割裂所給的條件，如果證AC，則連接對(duì)角線(xiàn)BD.舉一反三：(變式)在A(yíng)BC中，ABAC.求證：BC(答案)證明：過(guò)點(diǎn)A作ADBC在RtABD與RtACD中 RtABDRtACD（HL） BC.(2)倍長(zhǎng)中線(xiàn)法：3、(點(diǎn)評(píng))用倍長(zhǎng)中線(xiàn)法可將線(xiàn)段AC，2AD，AB轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，把分散的條件集中起來(lái).倍長(zhǎng)中線(xiàn)法實(shí)際上是繞著中點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180.舉一反三：(變式)若三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和7, 則第三邊的中線(xiàn)長(zhǎng)的取值范圍是( ) A.1 6 B.5 7 C.2 12 D.無(wú)法確定(答案)A ；提示：倍長(zhǎng)中線(xiàn)構(gòu)造全等三角形，7575，所以選A選項(xiàng).(3).作以角平分線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的翻折變換構(gòu)造全等三角形：4、在A(yíng)BC中，A