第講空間直線及其方程

1、一. 直線的方向向量 第四節(jié)第四節(jié) 空間直線及其方程空間直線及其方程 二. 空間直線的方程 三. 與直線有關(guān)的幾個(gè)問題 四. 平面束方程 一. 直線的方向向量 L s ? s ? , 平行的任一非零向量與已知直線L , 記為量均稱為該直線的方向向 ) , ,(。pnm s ? ? ) , , (不全為零pnm , , 的方向向量。也是則的方向向量是直線若LsRLs ? ? ,/ / , 1 1 的方向向量。也是則的方向向量是直線若LsLLLs ? 直線的方向數(shù)直線的方向數(shù) ) , ,( 的坐標(biāo)的任何一個(gè)方向向量直線pnmsL? ? , ,的一組方向數(shù)。稱為直線 Lpnm , 。它們相互間成比例

2、關(guān)系有無窮多組方向數(shù)直線 L 直線的方向余弦直線的方向余弦 ) , ,( pnmsL? ? 的任何一個(gè)方向向量直線 ,的方向余弦。稱為直線的方向余弦L cos 222 pnm m ? ? cos 222 pnm n ? ? cos 222 pnm p ? ? 直線的方向余弦也可作 為它的一組方向數(shù)。 )cos ,cos ,(cos。?s ? 或 )cos ,cos ,cos(。?s ? 二. 空間直線的方程 1.直線的一般方程 2. 直線的兩點(diǎn)式方程 3. 直線的參數(shù)方程 4. 直線的標(biāo)準(zhǔn)方程 )(一般方程 1. 直線的一般方程 )( , 3 的兩張平面的交線或重合任何不相互平行空間中R 為一

3、條直線。 , 0 : 1111 1 ?DzCyBxA? , 0 : 22222 ?DzCyBxA? , 21 的所確定的直線和則由例其中相應(yīng)的系數(shù)不成比L? 方程為 : 21 ?和設(shè)有平面 直線相交的兩平面確定一條 , 0 1111 ?DzCyBxA 0 2222 。?DzCyBxA 1 n ? 2 n ? 21 nns ? ? 例 ) ( 。軸的交線與坐標(biāo)面表示坐標(biāo)面xxzxy O x y z 0?z 0 ? y , 0?z 0。?y :L L , , jsks ? ? ? ? ? kjs ? ? ? 。i ? ? L 2. 直線的標(biāo)準(zhǔn)方程 ),( ) , ,( 0000 zyxMpnms和

4、點(diǎn)已知一非零向量? ? 0 的方程。為方向向量的直線且以求過點(diǎn)LsM ? 0 M ? M ? s ? ),( zyxML上任取一點(diǎn)在 ，故也在直線上而 0 M ,/ / 0 sMM ? ? 從而 . 000 p zz n yy m xx? ? ? ? ? 直線的方向向量：與直線平行的非零向量 )(標(biāo)準(zhǔn)方程 直線的標(biāo)準(zhǔn)方程（對(duì)稱式方程） ),( 0000 方向向量過點(diǎn)zyxM L 0 M ? ),(zyxM ? s ? ) , ,(的方程為的直線 Lpnm s ? ? 000 。 p zz n yy m xx? ? ? ? ? 0, 0, 0 ) 1 (?pnm 0 0 ? ? x x p zz

5、 n yy 00 ? ? ? 0, 0 )2(?pnm 0 0 ? ? x x 0 0 ? ? y y )(標(biāo)準(zhǔn)方程 000 。 p zz n yy m xx? ? ? ? ? )(參數(shù)式 3. 直線的參數(shù)式方程 ),( 0000 方向向量過點(diǎn)zyxM L 0 M ? ),(zyxM ? s ? ) , ,(的方程為的直線 Lpnm s ? ? , 0 tmxx? , 0 tnyy? , 0 tpzz? ) (R t? , 0 tmxx? , 0 tnyy? , 0 tpzz? 000 t p zz n yy m xx ? ? ? ? ? ? )(兩點(diǎn)式 4. 直線的兩點(diǎn)式方程 兩點(diǎn)確定一條直

6、線 為直線的方向向量。 則和點(diǎn)若直線過點(diǎn) ) , ,( , ),( ),( 12121221 22221111 zzyyxxMM zyxMzyxM ? ? , 得到該直線的方程為由直線的標(biāo)準(zhǔn)方程 12 1 12 1 12 1 。 zz zz yy yy xx xx ? ? ? ? ? ? ? ? )(一般方程 , 0 1111 ?DzCyBxA 0 2222 。?DzCyBxA )(標(biāo)準(zhǔn)方程 000 。 p zz n yy m xx? ? ? ? ? )(兩點(diǎn)式 12 1 12 1 12 1 。 zz zz yy yy xx xx ? ? ? ? ? ? ? ? )(參數(shù)式 , 0 tmxx?

7、 , 0 tnyy? , 0 tpzz? ) (R t? 例 解 , ) 1 , 0 , 0( jiML ? ?且平行于向量過點(diǎn)直線 )( 。對(duì)稱方程的標(biāo)準(zhǔn)方程求直線 L ? , , / 可取方向向量所以因?yàn)閖iL ? ? )0 , 1 , 1 (。?jis ? ? , ) 1 , 0 , 0( 的標(biāo)準(zhǔn)方程為故直線又直線過點(diǎn)LM 0 1 1 1 。 ? ? zyx 0 1 。或者寫為 ? ? z yx 求通過點(diǎn) A(2, ?3, 4)與 B(4, ?1, 3)的直線方程. 所以, 直線的對(duì)稱式方程為 1 4 2 3 2 2 ? ? ? ? ? ?z y x 直線的方向向量可取 AB = (2,

8、 2, ?1) 解解: 例 例 , 032 : )2, 0 , 1 ( 垂直且與平面過點(diǎn)直線?zyxML? , , 一般方程。參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)方程求直線 L 解 )3 , 1 , 2( , 。故可取因?yàn)?nsL ? ? , )2 , 0 , 1 ( 的故直線又直線過點(diǎn)LM? :標(biāo)準(zhǔn)方程 3 2 12 1 。 ? ? ? ? ?zyx :參數(shù)方程 , 21tx? , ty? , 32tz? 。R t? :一般方程 , 12 1 ? ? ?yx 。 3 2 1 ? ? ? zy 即 , 012?yx , 023? ? z y 對(duì)稱方程 例 解 : L求直線 0532?zyx 0223?zyx 的標(biāo)準(zhǔn)

9、方程。 )2 , 1 , 3 ( , ) 1 , 3 , 2 ( 21 。為兩個(gè)平面的法向量分別?nn ? , , : , 21 nsnssL ? ?滿足其方向向量為兩平面的交線直線 故取 ). 11 , 7 , 5( 213 132 21 ? ? ? kji nns ? ? , 0 , 得到方程組不妨令上的一點(diǎn)為求直線?zL , 532?yx , 23? ? y x , 1 , 1?yx )0 , 1 , 1 ( 。過點(diǎn)?ML 例 解 : L求直線 0532?zyx 0223?zyx 的標(biāo)準(zhǔn)方程。 )2 , 1 , 3 ( , ) 1 , 3 , 2 ( 21 。為兩個(gè)平面的法向量分別?nn

10、 ? , , : , 21 nsnssL ? ?滿足其方向向量為兩平面的交線直線 故取 ), 11 , 7 , 5( 213 132 21 ? ? ? kji nns ? ? , 0 , 得到方程組不妨令上的一點(diǎn)為求直線?zL , 532?yx , 23? ? y x , 1 , 1?yx )0 , 1 , 1 ( 。過點(diǎn)?ML 的標(biāo)準(zhǔn)方程為L(zhǎng) 117 1 5 1 。 zyx ? ? ? ? 三. 與直線有關(guān)的幾個(gè)問題 . 1 兩直線間的夾角 . 2 直線與平面間的夾角 . 3 直線共面的條件 . 5 點(diǎn)到直線的距離 . 4坐標(biāo)直線與平面相交的交點(diǎn) . 1 兩直線間的夾角 義定 , 角。稱為這

11、兩條直線間的夾夾角兩直線的方向向量間的 , , 2211 則的方向向量為直線的方向向量為設(shè)直線sLsL ? , , , 2121 ?ssLL ? | | ,cos 21 21 21 。 ss ss LL ? ? ? ? 常指銳角 . 12 2 2 : 1 3 41 1 : 21 的夾角和求直線 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?zyx L zyx L 直線L1, L2的方向向量 有: 222222 ) 1()2(21)4(1 | ) 1(1)2()4(21 | ? ? ? 4 ? ?所以: 解 2 2 ? 例 | | ,cos 21 21 21 。 ss ss LL ? ? ? ? s1=

12、(1, ? 4, 1 ) s2=(2, ? 2, ? 1) 的條件兩直線相互平行和垂直 設(shè)有直線 , : 1 1 1 1 1 1 1 p zz n yy m xx L ? ? ? ? ? , : 2 2 2 2 2 2 2 p zz n yy m xx L ? ? ? ? ? 則 0 / / / / 212121 ? ? ?ssssLL 0 212121 ?ssssLL ? 0 212121 。?ppnnmm , 2 1 2 1 2 1 p p n n m m ? 例 解 : ) 5 , 2 , 3( 1 LM且與直線求過點(diǎn)? 34 ?zx 152?zyx 平行的 的方程。直線L 11 為的方

13、向向量直線sL ? ) 1 , 3 , 4() 1, 3 , 4 ( 512 401 1 。? ? ? kji s ? ? ) 1 , 3 , 4( , , ,/ / 11 。即取可取所以因?yàn)?sssLL ? 的方程為故所求直線L 1 5 3 2 4 3 。 ? ? ? ? ?zyx . 2 直線與平面間的夾角 義定 , 2 的角影直線間所夾的小于直線與它在平面上的投 ? 角。稱為直線與平面間的夾 ? L? ? ; 2 , ? ?則規(guī)定若 L 0 ,/ / 。則規(guī)定若?L ? L ? n ? ? L? ? ? L n ? s ? ? , 在直線與平面的交點(diǎn)處 和直線的作平面的法向量 n ? ,

14、 記方向向量s ? , , ?ns ? ? 2 , 。則? ? ?ns ? , sin) 2 ( cos , sin) 2 ( cos ? ? ? ? ?而 | ,cos| | cos| | ) 2 ( cos| sin?ns ? ? ? ? ) 2 0 ( , | | | 。 ? ? ? ? ns ns ? ? 定理定理 1 ) ) , ,( ( : 000 pnms p zz n yy m xx L? ? ? ? ? ? 設(shè)直線 ) , ,( ( 0 : 的交角與平面CBAnDCzByAx? ? ? , 則為? ) 2 0 ( , | | | sin。 ? ? ? ? ns ns ? ?

15、例 解 2 4 32 : ? ? z yxL求直線 062 : 的夾角。與平面?zyx? , , ) 1 , 1 , 2( , ) 2 , 1 , 1 ( 所以因?yàn)?ns ? , 2 1 1) 1(2211 | 12) 1(121 | | | sin 222222 ? ? ? ? ? ? ns ns ? ? ? 6 。的夾角與平面故直線 ? ?L 的條件直線與平面平行和垂直 , ) ) , ,( ( : 000 pnms p zz n yy m xx L? ? ? ? ? ? 設(shè)有直線 , ) ) , ,( ( 0 : 則平面CBAnDCzByAx? ? ? 0 / /?nsnsL ? ? 0

16、 / / ? ? ?nsnsL? 0 。?CpBnAm , p C n B m A ? ? L s ? n ? ? L s ? n ? 判定下列各組直線與平面的關(guān)系 . . 3224: 37 4 2 3 :)1(? ? ? ? ? ? zyx z y x L和 L的方向向量 s =(?2, ?7, 3) ? 的法向量 n =(4, ?2, ?2) s ? ? n = (?2) ? 4 + (?7) ? (?2) + 3 ? (?2) = 0 又M0(?3, ? 4, 0)在直線 L上, 但不滿足平面方程, 所以L與? 平行, 但L不在? 內(nèi). 解 例 81446: 723 :)2(? ? ?z

17、yx z y x L和 L的方向向量 s =( 3, ?2, 7 ) ? 的法向量 n =( 6, ?4, 14 ) ? L 與 ? 垂直. 解解 . 3: 4 3 1 2 3 2 :)3(? ? ? ? ? ? ? zyx z y x L和 L的方向向量 s =( 3, 1, ?4 ) ? 的法向量 n =( 1, 1, 1 ) s ? ? n = 3 ? 1 + 1 ? 1 + (?4) ?1 = 0 又L上的點(diǎn) M0(2, ?2, 3)滿足平面方程, 所以 , L 在? 內(nèi). 解解 ? 1 L 2 L ? ? 1 M 2 M 1 s ? 2 s ? . 3 直線共面的條件 , ) ) ,

18、 ,( , ),( 111111111 pnmszyxML? ? 方向向量為過點(diǎn)設(shè)直線 ) ) , ,( , ),( 222222222 。方向向量為過點(diǎn)直線pnmszyxML? ? , 21 則引入向量 ? MM , , 212121 共面共面與 ? ?MMssLL ? 0)( 2121 ? ? MMss ? 0 222 111 121212 ? ? ? pnm pnm zzyyxx 定理定理 2 ) ) , ,( , ),( 11111111 的直線方向向量為過點(diǎn)pnmszyxM? ? ) ) , ,( , ),( 222222221 的直方向向量為與過點(diǎn)pnmszyxML? ? 2 共面

19、的充要條件為線 L 0 )( 222 111 121212 2121 。 ? ? ? ? pnm pnm zzyyxx MMss ? 例 解 2 1 3 1 : , )3 , 1 , 2( 10 z yx LML? ? ? ? 且與直線過點(diǎn)設(shè)直線 , 的方程。求直線垂直相交L ) , ,( 。的方向向量為設(shè)直線pnmsL? ? , , , 11 故有共面與所以垂直相交與由于LLLL , 02 123 0311) 1(2 ? ? pnm pnm 023 。及?pnm , , , 滿足方程組從而pnm , 02?pnm 023。?pnm 即可解令 1 ?p 4 1 , 2 1 。?nm , ,滿足

20、方程組pnm , 02?pnm 023。?pnm , , , ) 1 , 2 , 3( , ) 1 , 2 , 1 ( 故取則令bsasba ? ? ? ? ? )4 , 1 , 2( 2)8 , 2 , 4( 123 121 。? ? ? kji bas ? ? ? 的方程為直線L 4 3 1 1 2 2 。 ? ? ? ? ? ?zyx )3 , 1 , 2( 0 ML過點(diǎn) . 4坐標(biāo)直線與平面相交的交點(diǎn) :交點(diǎn)坐標(biāo)的方法計(jì)算直線與平面相交的 . 1的參數(shù)方程寫出直線L , 0 xtmx? , 0 ytny? 0 。ztpz? . 2的方程中的方程代入平面將?L 0) ()() ( 000

21、 。?DztpCytnBxtmA , 0 . 3時(shí)當(dāng)?CpBnAm 唯一一個(gè)交點(diǎn)。 / / , 0 , 0 000 且無交點(diǎn)。時(shí)當(dāng)?LDCzByAxCpBnAm? , 0 , 0 000 上。位于時(shí)當(dāng)?LDCzByAxCpBnAm? , 000 CpBnAm DCzByAx t ? ? ? 例 解 5 3 4 2 2 1 : )10 , 3 , 4( 21 ? ? ? ? ?zyx LMM關(guān)于直線與點(diǎn)設(shè)點(diǎn) , 2 的坐標(biāo)。求點(diǎn)對(duì)稱M L ? ? ? 1 M 2 M ? M , , 1 MLM其交點(diǎn)為作平面過點(diǎn)? 21 的線段的中點(diǎn)。和為連接點(diǎn)且MMM , , 所以因?yàn)?L )5 , 4 , 2

22、(。? ? s n ? , )10 , 3 , 4( 1 故它的方程為過點(diǎn)又平面M? 070542。?zyx 點(diǎn)的坐標(biāo)。程來求直線與平面的交我們利用直線的參數(shù)方 5 3 4 2 2 1 : 的參數(shù)方程為直線 ? ? ? ? ?zyx L , 1 2 ? ?tx , 2 4 ? ?ty 3 5。?tz ) , ( , 上也在上交點(diǎn)既在得的方程中將它代入平面?L , 070)3 5( 5)2 4( 4) 1 2( 2?ttt , 從而 1 554422 70352412 。? ? ? ?t 070542:?zyx? 的交點(diǎn)的坐標(biāo)為與平面故直線?L , 3112?x , 6214?y , 8315?

23、z )8 , 6 , 3( 。即M , ) , ,( )10 , 3 , 4( )8 , 6 , 3( 22221 故的中點(diǎn)與是由于點(diǎn)zyxMMM , 2 10 8 , 2 3 6 , 2 4 3 222 zyx? ? ? ? ? ? 6) 9, (2, , 2 。所求點(diǎn)為從而M 交點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算方法。歸納直線與平面相交的 . 5 點(diǎn)到直線的距離 M s l M1 ? ) , ,( 的距離到直線空間中任意一點(diǎn)LzyxM 1 dMM? 定理 3 , ) , ,( , ),( 0000 pnmszyxML? ? 方向向量通過點(diǎn)設(shè)直線 ) , ,( 的距離為到直線則空間中任意一點(diǎn)LzyxM | | d

24、0 。 s sMM ? ? ? ? ? L s ? 0 M M ? ? d d 底邊長(zhǎng) 平行四邊形的面積 ? 。 | | 0 s sMM ? ? ? ? ? . 5 點(diǎn)到直線的距離 例例 解解 : ) 1 , 1 , 2( LM到直線求點(diǎn)? 012?zyx 032?zyx d 。的距離 直線的方向向量 )4 , 2 , 0( 121 121 。? ? ? kji s ? ? , 0 得方程組令?y , 1? ? z x , 3? ? z x )2 , 0 , 1( 0 。上一點(diǎn)解之得?ML 。故 5 46 420 6)12()2( | | d 222 222 0 ? ? ? ? ? ? ? s

25、 sMM ? ? , )6 ,12 , 2( 420 113 0 ? ? kji sMM ? ? L 1 ? 2 ? 四. 平面束方程 : L設(shè)直線 , 0 11111 ?DzCyBxA 0 22222 ?。?DzCyBxA 的平面將有無窮多個(gè)。則通過直線L k ? 的方程？如何表示平面 k ? ) , 2 , 1 ( ?k : L設(shè)直線 , 0 11111 ?DzCyBxA 0 22222 ?。?DzCyBxA : L以下的平面均通過直線 0)()( 22221111 ?DzCyBxADzCyBxA 0)( )( 22221111 ?DzCyBxADzCyBxA? ? ) (R? 0)()( 22221111 ?DzCyBxADzCyBxA? 。該式不含平面 2 ? 。該式不含平面 1 ? 義定 : L設(shè)直線 , 0 1111 ?DzCyBxA , 0 2222 ?DzCyBxA 則稱 )2( 0)( )( 22221111 ?DzCyBxADzCyBxA? )1( 0)()( 22221111 ?DzCyBxADzCyBxA? 和 , , 。其中的平面束方程為過直線RL? 0 )1( 1111