專題——圓錐曲線定值問題

1、高三二輪圓錐曲線中的“定值”問題概念與用法圓錐曲線中的定值問題是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，也是圓錐曲線問題中的一個(gè)難點(diǎn)解決這個(gè)難點(diǎn)的基本思想是函數(shù)思想， 可以用變量表示問題中的直線方程、 數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等不受變量所影響的一個(gè)值，就是要求的定值具體地說，就是將要證明或要求解的量表示為某個(gè)合適變量的函數(shù)，化簡(jiǎn)消去變量即得定值基本解題數(shù)學(xué)思想與方法在圓錐曲線中， 某些幾何量在特定的關(guān)系結(jié)構(gòu)中， 不受相關(guān)變?cè)闹萍s而恒定不變，則稱該變量具有定值特征解答此類問題的基本策略有以下兩種：1、把相關(guān)幾何量的變?cè)厥饣谔乩星蟪鰩缀瘟?的定值，再證明結(jié)論與特定狀態(tài)無關(guān)2、把相關(guān)

2、幾何量用曲線系里的參變量表示，再證明結(jié)論與求參數(shù)無關(guān)題型示例一證明某一代數(shù)式為定值：1、如圖，M 是拋物線上 y2=x 上的一點(diǎn)， 動(dòng)弦 ME 、MF 分別交 x 軸于 A 、B 兩點(diǎn)，且 MA=MB.若 M 為定點(diǎn)，證明：直線EF 的斜率為定值；解：設(shè) M （ y 02,y0 ），直線 ME 的斜率為 k(l0) ，直線 MF 的斜率為 k，直線 ME 方程為 yy0k( xy02 ).由y y0k( xy02 ) ，消 x得 ky2y y0 (1 ky0 ) 0y2x解得 yF1ky0 ,xF(1ky0 ) 2；同理 y F1 ky, xF1 ky2kk 2kk 2yEyF1ky01ky0

3、21 kEFkkk(定值 )xExF(1 ky0 ) 2(1ky0 )24ky02y0k 2k 2k 2所以直線 EF 的斜率為定值利用消元法2、已知拋物線 x2 4y 的焦點(diǎn)為 F ，A、B 是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，、且 AF FB （ 0）過 AB 兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M 證明 FM AB 為定值解：由已知條件，得F(0， 1)， 0設(shè) A( x1，y1 )， B(x2， y2)由 AF FB ，即得( x1， 1 y) (x2， y2 1)，所以 x x 121y1 (y2 1) 12122將式兩邊平方并把y1 4x1 ， y2 4x2 代入得y1 y2解、式得 y1，且有 x

4、2 4y1， y2 1x2 x22 4，1x2，求導(dǎo)得1A、 B 兩點(diǎn)的切線方程分別是拋物線方程為 yy x所以過拋物線上4211112112y x1 (x x1) y1， yx2(x x2) y2，即 y x1 x x1 ， y x2xx2 222424xx2xxx x解出兩條切線的交點(diǎn)M 的坐標(biāo)為 (11 2122，4 )(， 1)2 x1x21221x22 12所以 FM AB (2， 2) (x2 x1， y2 y1 ) (x2 x1 ) 2(4x1 ) 024 0利用不變因素所以 FM AB 為定值，其值為x 2y 21 ab 0 的離心率為 e.直線 l : yexa與 x軸、 y

5、軸 分別交于3、已知橢圓b 2a 2點(diǎn) A、 B， M 是直線 l與該橢圓的一個(gè)公共點(diǎn) 。求證： AM 為定值 。ABa ,0 , B 0,a 。yexaxc解：設(shè) AMAB,由題意得 A由 x2y 2, 得b 2ea2b21yac, b2a , b2acaM, AMAB,ca , a ,即 e2e ，而aeaebaaca 2b 2 ,1e2 且1 e20,故 AM1e2 為定值。利用輔助元AB解析幾何中的定值問題是數(shù)學(xué)中的重要問題，求解這類問題需要綜合應(yīng)用解析幾何和代數(shù)的相關(guān)知識(shí)與方法。以上幾種思維策率是高中數(shù)學(xué)中常用到的。要注意體會(huì)。二證明動(dòng)直線過定點(diǎn)或動(dòng)點(diǎn)在定直線上問題4、如圖 ,橢圓

6、x2y2 1 的兩焦點(diǎn) F1 ， F2與短軸兩端點(diǎn) B1 ， B2 構(gòu)成B2 F1B1 為 120o ,面a2b2積為 2 3 的菱形。 （ 1）求橢圓的方程；（ 2）若直線 l : y kx m與橢圓相交于 M 、 N 兩點(diǎn) ( M 、 N 不是左右頂點(diǎn) ),且以 MN 為直徑的圓過橢圓右頂點(diǎn)A 求證 : 直線 l 過定點(diǎn) , 并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)解：(1)易得 橢圓的方程為 x 2y 2143ykxm（2） 由x2y2,消去 y得到43134k 2x28kmx4m 2120,直線 l 與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，0 ，即8km 24 34k 2 4m21248k 212m 236 12 4k 2m23

7、0設(shè) M x1, y1, N x2 , y2 ，則有 x1x28km, x1x24m21234k234k2因?yàn)橐?MN 為直徑的圓過橢圓右頂點(diǎn)A ，所以 AMAN0,即x12, y1x22, y20 ，而 y1kx1m, y2kx2m代入并整得1 k 2 x1 x2x1 x2 km 2m24 01k2 4m2128kmkm2m24 ，化簡(jiǎn)整理得到34k 234k 27m216km4k 20,m2k 7m2k0,m2k或 m2 k7m2k, m2 k 均滿足判別式大于0，所以7當(dāng) m2k時(shí)， l : ykx2kk x2 , 此時(shí)，直線過定點(diǎn) 2,0當(dāng) m2 k時(shí)， l : ykx2 kkx2,此

8、時(shí)，直線過定點(diǎn)2 ,07777三探索曲線在某條件下某一代數(shù)式是否取定值5、已知一動(dòng)圓M,恒過點(diǎn) F(1,0) ，且總與直線 l : x1相切 , （）求動(dòng)圓圓心M的軌跡 C 的方程；（）探究在曲線 C 上 , 是否存在異于原點(diǎn)的A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 兩點(diǎn) , 當(dāng) y1 y216 時(shí),直線 AB恒過定點(diǎn) ?若存在 , 求出定點(diǎn)坐標(biāo) ; 若不存在 , 說明理由 .解： (1)因?yàn)閯?dòng)圓 M,過點(diǎn)F(1,0)且與直線l : x1相切 , 所以圓心 M到 F 的距離等于到直線 l 的距離。所以 , 點(diǎn) M的軌跡是以 F 為焦點(diǎn) ,l為準(zhǔn)線的拋物線 , 且 p1,p 22所以所求的軌跡方程為y24x(2) 假設(shè)存在 A,B在 y24x 上 , 所以 , 直線 AB 的方程 : yy1y2y1 ( x x1 ) ,x2x1即y2y1y12即 AB的方程為 : yy14