不可壓縮理想流體的平面規(guī)律運(yùn)動(dòng)

1、7 7不可壓縮理想流體的平面運(yùn)動(dòng) 基本內(nèi)容基本內(nèi)容： l掌握有旋運(yùn)動(dòng)與無(wú)旋運(yùn)動(dòng)掌握有旋運(yùn)動(dòng)與無(wú)旋運(yùn)動(dòng) l掌握勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)及其存在的條件掌握勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)及其存在的條件 l熟悉勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)的求法熟悉勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)的求法 平面運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng)是指整個(gè)流場(chǎng)中流體速度都平行于某一 平面，且流體各物理量在與該平面垂直的方向上沒(méi)有 變化的流動(dòng)。例如空氣橫向繞過(guò)塔設(shè)備、高樓等的流。例如空氣橫向繞過(guò)塔設(shè)備、高樓等的流 動(dòng)動(dòng), ,可視為垂直于柱體的平面流動(dòng)。在工程實(shí)際中，可視為垂直于柱體的平面流動(dòng)。在工程實(shí)際中， 常見(jiàn)的是不可壓縮理想流體的平面運(yùn)動(dòng)。常見(jiàn)的是不可壓縮理想流體的平面運(yùn)動(dòng)。 研究不可壓縮理想流體的平

2、面流動(dòng)，首先要建立 運(yùn)動(dòng)微分方程，然后結(jié)合邊界條件求解。 7.17.1流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析 在流體流動(dòng)時(shí)，流體微團(tuán)除了平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)之外，在流體流動(dòng)時(shí)，流體微團(tuán)除了平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)之外， 還伴有變形運(yùn)動(dòng)。還伴有變形運(yùn)動(dòng)。 在對(duì)流體微團(tuán)進(jìn)行變形運(yùn)動(dòng)分析時(shí)，不是看其變 形量的大小，而是看其變形速度的大小。 分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的基本量：分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的基本量： l線變形速度線變形速度 l剪變形速度剪變形速度 l平均旋轉(zhuǎn)角速度平均旋轉(zhuǎn)角速度 一、線變形速度一、線變形速度 首先看一維情首先看一維情 況。況。t時(shí)刻，在時(shí)刻，在x 軸上取一微小流軸上取一微小流 體線段體線段AB=x， A點(diǎn)的速度為點(diǎn)的

3、速度為vx，按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，B點(diǎn)的速點(diǎn)的速 度可表示為度可表示為 x dx dv v x x ABA?B? x x vxt (vx+(dvx/dx)x)t tt+t 經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)t時(shí)間后，時(shí)間后，AB運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)到A?B?，其長(zhǎng)度的改變量為，其長(zhǎng)度的改變量為： tx dx dv tvtx dx dv vABBA x x x x )( ABA?B? x x vxt (vx+(dvx/dx)x)t tt+t 則單位長(zhǎng)度在單位時(shí)間內(nèi)長(zhǎng)度的改變量為：則單位長(zhǎng)度在單位時(shí)間內(nèi)長(zhǎng)度的改變量為： dx dv tx ABBA x t x 0 lim 把把x叫做線段叫做線段AB在在x軸軸的線變形速度的線

4、變形速度。 x 正值正值 負(fù)值負(fù)值 拉伸拉伸 壓縮壓縮 對(duì)于三維空間，流體微團(tuán)的速度是空間坐標(biāo)對(duì)于三維空間，流體微團(tuán)的速度是空間坐標(biāo) 的函數(shù)，即的函數(shù)，即 ),( ),( ),( tzyxvv tzyxvv tzyxvv zz yy xx z v y v x v z z y y x x , 則有則有 下標(biāo)下標(biāo)x,y,z表示變形發(fā)生的方向。表示變形發(fā)生的方向。 00 z v y v x v z y x zyx 這就是不可壓縮流體的連續(xù)方程這就是不可壓縮流體的連續(xù)方程。 對(duì)于不可壓縮流體，在變形過(guò)程中，體積不對(duì)于不可壓縮流體，在變形過(guò)程中，體積不 發(fā)生改變發(fā)生改變，則有，則有 二、剪變形角速度二、

5、剪變形角速度 A BC D vx vy vxt y y v v x x x x v v y y ty y v v x x )( x y 經(jīng)經(jīng)t時(shí)間后，流體微團(tuán)發(fā)生變形，時(shí)間后，流體微團(tuán)發(fā)生變形，AB邊轉(zhuǎn)過(guò)邊轉(zhuǎn)過(guò) 的角度為的角度為，BC邊轉(zhuǎn)過(guò)的角度為邊轉(zhuǎn)過(guò)的角度為。則。則 t x v t y v y tvy y v v y x x x x )( tan 則定義剪變形角速度為則定義剪變形角速度為 )( 2 1 2 1 lim 0 y v x v t x y t z 即單位時(shí)間內(nèi)直角改變量的一半。即單位時(shí)間內(nèi)直角改變量的一半。 同理對(duì)三維空間可寫(xiě)出同理對(duì)三維空間可寫(xiě)出 )( 2 1 x v z v

6、zx y )( 2 1 z v y v y z x 剪變形角速度是流體微團(tuán)中某一直角的減 小速度的一半。 三、平均旋轉(zhuǎn)角速度三、平均旋轉(zhuǎn)角速度 y x I ( (+ +)/2)/2 D? C? B? DC BA I? 虛線是初始位置，經(jīng)過(guò)虛線是初始位置，經(jīng)過(guò) t時(shí)間后，流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)到時(shí)間后，流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)到 AB?C?D?。由幾何關(guān)系。由幾何關(guān)系 t y v x v IIA x y )( 2 1 )( 2 1 則單位時(shí)間內(nèi)角平分線轉(zhuǎn)過(guò)的角度為則單位時(shí)間內(nèi)角平分線轉(zhuǎn)過(guò)的角度為 )( 2 1 lim 0 y v x v t IIA x y t z 對(duì)于三維問(wèn)題同理可得出對(duì)于三維問(wèn)題同理可得出 )(

7、2 1 )( 2 1 x v z v z v y v zx y y z x y x I ( (+ +)/2)/2 D? C? B? DC BA I? 矢量式為矢量式為 zyx vvv zyx kji v 2 1 2 1 7.27.2有旋運(yùn)動(dòng)和無(wú)旋運(yùn)動(dòng)有旋運(yùn)動(dòng)和無(wú)旋運(yùn)動(dòng) 一般來(lái)說(shuō)，粘性流體的流動(dòng)是有旋的，而理想 流體的流動(dòng)可能是無(wú)旋的，也可能是有旋的。流動(dòng) 究竟是有旋還是無(wú)旋，是根據(jù)流體微團(tuán)本身是否旋 轉(zhuǎn)來(lái)確定的，而不是根據(jù)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是否 彎曲來(lái)判定。 zyx vvv zyx kji vrot 根據(jù)旋度的概念根據(jù)旋度的概念： 速度場(chǎng)的旋度與平均旋轉(zhuǎn)角速度相比較速度場(chǎng)的旋度與平均旋轉(zhuǎn)角速度

8、相比較: : vrot 2 1 所以所以平均旋轉(zhuǎn)角速度平均旋轉(zhuǎn)角速度不僅是分析流體微團(tuán)在 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的特征量，同時(shí)也是判斷流體是判斷流體 的運(yùn)動(dòng)是有旋運(yùn)動(dòng)還是無(wú)旋運(yùn)動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)的運(yùn)動(dòng)是有旋運(yùn)動(dòng)還是無(wú)旋運(yùn)動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)。 運(yùn)動(dòng)是有旋的 運(yùn)動(dòng)是無(wú)旋的 00 00 vrot vrot 流體運(yùn)動(dòng)中的有旋運(yùn)動(dòng)與剛體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)是 兩個(gè)完全不同的概念。流體的有旋與無(wú)旋不是通 過(guò)宏觀上流體運(yùn)動(dòng)的特征來(lái)判斷。也就是說(shuō)，宏 觀上作圓周運(yùn)動(dòng)的流場(chǎng)可能是無(wú)旋運(yùn)動(dòng)，而宏觀 作直線運(yùn)動(dòng)的流場(chǎng)也可能是有旋的。 例：如圖一維剪切流動(dòng)中，流體速度分布為例：如圖一維剪切流動(dòng)中，流體速度分布為 0, yx vcyv 其中其中c為常數(shù)

9、。判斷流動(dòng)是否無(wú)旋？為常數(shù)。判斷流動(dòng)是否無(wú)旋？ v0 vx y x 由判斷條件由判斷條件 0 2 1 )( 2 1 c y v x v x y z 故運(yùn)動(dòng)是有旋的。故運(yùn)動(dòng)是有旋的。 例：圖示為流體質(zhì)點(diǎn)繞某一圓心的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。已知例：圖示為流體質(zhì)點(diǎn)繞某一圓心的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。已知 流體速度分布為流體速度分布為 0, r v r c v 其中其中c為常數(shù)，試判斷為常數(shù)，試判斷 流動(dòng)有旋還是無(wú)旋？流動(dòng)有旋還是無(wú)旋？ r 在極坐標(biāo)系下的判斷條件為在極坐標(biāo)系下的判斷條件為 ) v r 1 )rv( rr 1 ( 2 1 r z 代入速度分布可得代入速度分布可得 0 z 故該流動(dòng)是無(wú)旋的。故該流動(dòng)是無(wú)旋的。 7.

10、37.3不可壓縮理想流體平面勢(shì)流的基本方程不可壓縮理想流體平面勢(shì)流的基本方程 工程上有許多問(wèn)題可簡(jiǎn)化為理想流體的 無(wú)旋流動(dòng)問(wèn)題，如流體機(jī)械內(nèi)的流動(dòng)。利 用無(wú)旋流動(dòng)的特性，可建立線性運(yùn)動(dòng)方程 來(lái)求解流體的速度分布，從而避開(kāi)求解歐 拉方程的困難。 7.3.17.3.1速度勢(shì)函數(shù)速度勢(shì)函數(shù) 對(duì)于無(wú)旋流動(dòng)，速度的旋度為零，即對(duì)于無(wú)旋流動(dòng)，速度的旋度為零，即 02 v 此時(shí)流體質(zhì)點(diǎn)都要滿足以下條件此時(shí)流體質(zhì)點(diǎn)都要滿足以下條件 y v z v z v x v x v y v z y xz y x , 由數(shù)學(xué)分析，上面的三個(gè)方程是由數(shù)學(xué)分析，上面的三個(gè)方程是 dzvdyvdxv zyx 成為某一函數(shù)的全微分

11、的充分必要條件，該函數(shù)記成為某一函數(shù)的全微分的充分必要條件，該函數(shù)記 為為(x,y,z,t)。 當(dāng)以當(dāng)以t為參數(shù)時(shí)，該函數(shù)的全微分是為參數(shù)時(shí)，該函數(shù)的全微分是 dz z dy y dx x d 所以有所以有 zyx v z v y v x , 按矢量分析有按矢量分析有 k z j y i x v 函數(shù)函數(shù)稱為速度勢(shì)函數(shù)，簡(jiǎn)稱速度勢(shì)。速度勢(shì)的稱為速度勢(shì)函數(shù)，簡(jiǎn)稱速度勢(shì)。速度勢(shì)的 梯度就是流場(chǎng)中的速度。梯度就是流場(chǎng)中的速度。 當(dāng)流體作當(dāng)流體作無(wú)旋流動(dòng)無(wú)旋流動(dòng)時(shí)，不論其是否可壓縮，總時(shí)，不論其是否可壓縮，總 有速度勢(shì)存在，所以無(wú)旋流動(dòng)又稱為有勢(shì)流動(dòng)。有速度勢(shì)存在，所以無(wú)旋流動(dòng)又稱為有勢(shì)流動(dòng)。 對(duì)于不

12、可壓縮流體，有下式存在對(duì)于不可壓縮流體，有下式存在 0 2 2 2 2 2 2 zyx 稱為拉普拉斯方程。稱為拉普拉斯方程。稱為拉普拉斯算子稱為拉普拉斯算子。 在平面極坐標(biāo)中，速度和速度勢(shì)之間的關(guān)系是在平面極坐標(biāo)中，速度和速度勢(shì)之間的關(guān)系是 r v r v r , 拉普拉斯方程為拉普拉斯方程為 0 1 22 2 2 rrrr 速度勢(shì)函數(shù)的意義：速度勢(shì)函數(shù)的意義： 在勢(shì)流中，如果已知速度勢(shì)函數(shù)，則 可根據(jù)速度與速度勢(shì)之間的關(guān)系很容易地計(jì) 算出速度矢量分量，從而將求解速度場(chǎng)的問(wèn) 題轉(zhuǎn)化為求解速度勢(shì)函數(shù)的問(wèn)題。 例題：已知一個(gè)平面不可壓縮定常有勢(shì)流動(dòng)的速度例題：已知一個(gè)平面不可壓縮定常有勢(shì)流動(dòng)的速度

13、 勢(shì)函數(shù)為勢(shì)函數(shù)為 22 yx 求在點(diǎn)求在點(diǎn)(2.0 , 1.5)處速度的大小。處速度的大小。 smvvV smy y v smx x v yx y x /5 /0 . 32 /42 22 解： ：不可壓縮流體平面流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)不可壓縮流體平面流動(dòng)的勢(shì)函數(shù) xyx 22 試確定：試確定： 1.1.該平面流動(dòng)的速度場(chǎng)。該平面流動(dòng)的速度場(chǎng)。 2.2.該流動(dòng)有旋還是無(wú)旋該流動(dòng)有旋還是無(wú)旋？ 3.3.該流動(dòng)是否滿足連續(xù)性方程該流動(dòng)是否滿足連續(xù)性方程? ? vx=2x+1,vy=-2y 無(wú)旋 滿足 關(guān)于速度勢(shì)關(guān)于速度勢(shì)的重要性質(zhì)的重要性質(zhì)： 1 1）等勢(shì)面與流線垂直）等勢(shì)面與流線垂直 將流場(chǎng)中速度勢(shì)相等的

14、點(diǎn)連接起來(lái)，形成一個(gè)空將流場(chǎng)中速度勢(shì)相等的點(diǎn)連接起來(lái)，形成一個(gè)空 間曲面，稱為等勢(shì)面。在平面流中，稱為等勢(shì)線。間曲面，稱為等勢(shì)面。在平面流中，稱為等勢(shì)線。 0 ),( dz z dy y dx x d zyx 或 常數(shù) 即即 0 0 l dv dzvdyvdxv zyx 因?yàn)橐驗(yàn)閐l是等勢(shì)面上的有向線段，所以等勢(shì)面與流線垂是等勢(shì)面上的有向線段，所以等勢(shì)面與流線垂 直。直。 2)2)速度勢(shì)在任何方向上的偏導(dǎo)數(shù)，等于速度在速度勢(shì)在任何方向上的偏導(dǎo)數(shù)，等于速度在 該方向上的投影該方向上的投影 根據(jù)數(shù)學(xué)上方向?qū)?shù)的概念，根據(jù)數(shù)學(xué)上方向?qū)?shù)的概念，在任意方向在任意方向l上上 的方向?qū)?shù)為的方向?qū)?shù)為 l

15、 zyx v zlvylvxlv zl z yl y xl xl ),cos(),cos(),cos( ),cos(),cos(),cos( 3)3)速度勢(shì)與積分速度勢(shì)與積分 的關(guān)系的關(guān)系 在勢(shì)流場(chǎng)中，沿任意曲線的速度的線積分等于在勢(shì)流場(chǎng)中，沿任意曲線的速度的線積分等于 終點(diǎn)和起點(diǎn)的速度勢(shì)之差。終點(diǎn)和起點(diǎn)的速度勢(shì)之差。 l dv A B B A AB B A B A zyx B A d dz z dy y dx x dzvdyvdxv l dv )( )( 在平面流動(dòng)中，對(duì)不可壓縮流體，由微分形式在平面流動(dòng)中，對(duì)不可壓縮流體，由微分形式 的連續(xù)性方程的連續(xù)性方程 0 y v x v y x 得

16、得 y v x v y x 該式是該式是 dxvdyv yx 成為某一函數(shù)成為某一函數(shù)(x,y)全微分的充要條件，即全微分的充要條件，即 dxvdyvdy y dx x d yx 因此有因此有 x v y v yx , 平面流動(dòng)的流線方程為平面流動(dòng)的流線方程為 0dxvdyv yx 所以在流線上有所以在流線上有 constd或0 在每條流線上函數(shù)在每條流線上函數(shù) 都有不同的值，故都有不同的值，故 被稱為被稱為流流 函數(shù)函數(shù)。在引出流函數(shù)時(shí)，并未涉及到流體的粘性和。在引出流函數(shù)時(shí)，并未涉及到流體的粘性和 是否為有勢(shì)流動(dòng)，是否為有勢(shì)流動(dòng)，只要是不可壓縮流體的平面流動(dòng)，只要是不可壓縮流體的平面流動(dòng)，

17、 就必然存在流函數(shù)就必然存在流函數(shù)。在三維流動(dòng)中一般不存在流函。在三維流動(dòng)中一般不存在流函 數(shù)，軸對(duì)稱流動(dòng)除外。數(shù)，軸對(duì)稱流動(dòng)除外。 關(guān)于流函數(shù)的物理意義關(guān)于流函數(shù)的物理意義 經(jīng)經(jīng)A、B兩點(diǎn)的實(shí)線為兩點(diǎn)的實(shí)線為 流場(chǎng)中的兩條流線，虛線流場(chǎng)中的兩條流線，虛線 AB與流場(chǎng)中的所有的流線與流場(chǎng)中的所有的流線 正交，現(xiàn)求通過(guò)虛線正交，現(xiàn)求通過(guò)虛線AB的的 流量。流量。 o II I vy vx dy dx B A y x 流線流線 dl 在虛線在虛線AB上取一微元弧段上取一微元弧段dl，顯然，顯然，vxdy是經(jīng)是經(jīng) dl從區(qū)從區(qū)I進(jìn)入?yún)^(qū)進(jìn)入?yún)^(qū)II的流量，的流量， vydx是經(jīng)是經(jīng)dl從從II區(qū)區(qū) 進(jìn)入

18、進(jìn)入I 區(qū)區(qū)的流量，那么經(jīng)的流量，那么經(jīng)dl從從I區(qū)進(jìn)入?yún)^(qū)進(jìn)入II區(qū)的凈流量為區(qū)的凈流量為 dxvdyvdq yx 對(duì)虛線積分可得到兩條流線之間的總流量對(duì)虛線積分可得到兩條流線之間的總流量 AB B A B A yx B A ddxvdyvdqq 流函數(shù)的物理意義是：平面流動(dòng)中 兩條流線之間通過(guò)的流體流量，等于兩 條流線上流函數(shù)的差。而且，沿流線全 長(zhǎng)兩流線之間的流量保持不變。 在不可壓縮流體的平面有勢(shì)流動(dòng)中，必然同時(shí)在不可壓縮流體的平面有勢(shì)流動(dòng)中，必然同時(shí) 存在速度勢(shì)和流函數(shù)。由無(wú)旋流動(dòng)的條件存在速度勢(shì)和流函數(shù)。由無(wú)旋流動(dòng)的條件 0 y v x v x y 將速度與流函數(shù)的關(guān)系式代入上式有將

19、速度與流函數(shù)的關(guān)系式代入上式有 0 2 2 2 2 2 yx 因此，流函數(shù)也滿足拉普拉斯方程。因此，流函數(shù)也滿足拉普拉斯方程。 0 , yyxx xyyx 與與 的關(guān)系的關(guān)系： 由速度與速度勢(shì)及流函數(shù)的關(guān)系可得由速度與速度勢(shì)及流函數(shù)的關(guān)系可得 上式表明，等勢(shì)線與流線相互正交。上式表明，等勢(shì)線與流線相互正交。 7.3.37.3.3流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)的求解方法流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)的求解方法 例：設(shè)平面流動(dòng)的速度分布為例：設(shè)平面流動(dòng)的速度分布為 yxyxyv xxyyxv y x 32 32 22 22 求求: (1)是否滿足連續(xù)性方程是否滿足連續(xù)性方程 (2)勢(shì)函數(shù)勢(shì)函數(shù) (3)流函數(shù)流函數(shù) 解：解： (1

20、) 0 322322 xyyx y v x v y x 所以滿足連續(xù)性方程。所以滿足連續(xù)性方程。 （2） 0)2222( 2 1 )( 2 1 xyyx y v x v x y z 是無(wú)旋流是無(wú)旋流 動(dòng)，存在動(dòng)，存在 勢(shì)函數(shù)勢(shì)函數(shù) dyyxvdxxvdyvdxv y y B A x xyx 00 ),()0 ,( 積分路徑如圖。所以積分路徑如圖。所以 o (x,y) (x,0) y x )()( 2 3 )( 3 1 )32( )3( 2233 0 22 0 2 yxxyyxyx dyyxyxy dxxx y x (3)因?yàn)闈M足連續(xù)方程，所以存在流函數(shù)因?yàn)闈M足連續(xù)方程，所以存在流函數(shù) dyvd

21、xv xy 積分路徑同上，則積分路徑同上，則 )3()( 3 1 )32( ),()0 ,( 33 0 22 0 2 00 yxxyyx dyxxyyxdxx dyyxvdxxv yx y x x y 練練 習(xí)習(xí) 試求下面不可壓縮流場(chǎng)的流函數(shù)及速度勢(shì)：試求下面不可壓縮流場(chǎng)的流函數(shù)及速度勢(shì)： 其中其中k為常數(shù)。為常數(shù)。 Ckxy Cyxk += +)( 2 1 = 22 0=,=,=wkyvkxu 7.4 7.4 簡(jiǎn)單的平面勢(shì)流及其疊加簡(jiǎn)單的平面勢(shì)流及其疊加 一、直均流一、直均流 所謂直均流，就是流體質(zhì)點(diǎn)以相同的速度相互平所謂直均流，就是流體質(zhì)點(diǎn)以相同的速度相互平 行地作等速直線運(yùn)動(dòng)。如圖，流動(dòng)

22、方向?yàn)樾械刈鞯人僦本€運(yùn)動(dòng)。如圖，流動(dòng)方向?yàn)閤軸。其速軸。其速 度分布為度分布為 x y v0 0 0 y x v vv 因?yàn)橐驗(yàn)?0)( 2 1 y v x v x y z 所以是無(wú)旋運(yùn)動(dòng)，存在速度勢(shì)所以是無(wú)旋運(yùn)動(dòng)，存在速度勢(shì) xv dyvdxv yx 0 在極坐標(biāo)系中在極坐標(biāo)系中 cos 0r v 將速度分布函數(shù)帶入連續(xù)性方程，因?yàn)闈M足將速度分布函數(shù)帶入連續(xù)性方程，因?yàn)闈M足 0 y v x v y x 所以存在流函數(shù)所以存在流函數(shù) yv dyvdxv xy 0 在極坐標(biāo)系中在極坐標(biāo)系中 sin 0r v 因直均流因直均流(平行流平行流)中各點(diǎn)的速度相同，由伯努利中各點(diǎn)的速度相同，由伯努利 方

23、程得方程得 Cpgz 如果忽略重力的影響，則有如果忽略重力的影響，則有 Cp 即在流場(chǎng)中各處的壓強(qiáng)都相等。即在流場(chǎng)中各處的壓強(qiáng)都相等。 二、源或匯二、源或匯 流體從平面一點(diǎn)均勻地向四周流出，一直流向無(wú)流體從平面一點(diǎn)均勻地向四周流出，一直流向無(wú) 窮遠(yuǎn)處，這樣的流動(dòng)稱為平面點(diǎn)源。流體流出的點(diǎn)稱窮遠(yuǎn)處，這樣的流動(dòng)稱為平面點(diǎn)源。流體流出的點(diǎn)稱 為源點(diǎn)，單位時(shí)間流出的體積流量稱為源強(qiáng)，用為源點(diǎn)，單位時(shí)間流出的體積流量稱為源強(qiáng)，用qv表表 示。將坐標(biāo)原點(diǎn)取在源點(diǎn)處，得極坐標(biāo)系中速度分布示。將坐標(biāo)原點(diǎn)取在源點(diǎn)處，得極坐標(biāo)系中速度分布 y x 0 2 v r q v v r 滿足勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)的存在條件的證明

24、：滿足勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)的存在條件的證明： 勢(shì)函數(shù)存在的條件為無(wú)旋流動(dòng)，在該平面流場(chǎng)中勢(shì)函數(shù)存在的條件為無(wú)旋流動(dòng)，在該平面流場(chǎng)中 0) 1 )( 1 ( 2 1 r z v r rv rr 所以存在勢(shì)函數(shù)。所以存在勢(shì)函數(shù)。 而流函數(shù)存在的條件為連續(xù)性方程只有兩項(xiàng)的平而流函數(shù)存在的條件為連續(xù)性方程只有兩項(xiàng)的平 面流。面流。 0 1)(1 v rr rv r r 極坐標(biāo)系下連續(xù)性方程為極坐標(biāo)系下連續(xù)性方程為 該流場(chǎng)顯然滿足要求，因此存在流函數(shù)。該流場(chǎng)顯然滿足要求，因此存在流函數(shù)。 勢(shì)函數(shù)為勢(shì)函數(shù)為 22 ln 2 ln 2 2 yx q r q r drq rdvdrv vv v r 流函數(shù)為流函數(shù)為

25、 )arctan( 22 2 x yqq d q rdvdrv vv v r 流函數(shù)的等值線是流函數(shù)的等值線是為常數(shù)的射線族。為常數(shù)的射線族。 匯是流體從無(wú)窮遠(yuǎn)處均勻地流向一點(diǎn)。匯是流體從無(wú)窮遠(yuǎn)處均勻地流向一點(diǎn)。 0 0 v q ，是源，是源 ，是匯，是匯 y x 如果如果xoy面是無(wú)限大的水平面，由伯努利方程有面是無(wú)限大的水平面，由伯努利方程有 pvp r 2 2 1 式中，式中，p是在是在r時(shí)的壓強(qiáng)，時(shí)的壓強(qiáng)， 該處速度為零。將速度表達(dá)式該處速度為零。將速度表達(dá)式 帶入上式帶入上式 22 2 1 8r q pp v y x 可見(jiàn)，壓強(qiáng)隨著半徑的減小而降低，可見(jiàn)，壓強(qiáng)隨著半徑的減小而降低， 設(shè)設(shè)r=r0時(shí)，時(shí)，p=0，則，則 p q r v 2 2 0 8 三、簡(jiǎn)單平面勢(shì)流的疊加三、簡(jiǎn)單平面勢(shì)流的疊加 在勢(shì)流理論中，經(jīng)常通過(guò)解拉普拉斯方程或利用在勢(shì)流理論中，經(jīng)常通過(guò)解拉