必修5(3)不等式

1、數(shù)學(xué) 必修 5 知識點(diǎn)第 3 章不等式1不等式的基本性質(zhì)：填空題采用“特殊值法”處理(1)abc0acbc(2)ab，cda cbd，c0acbc(3)ab0，cd0acbd(4)ab 011 ，ab011nnnnabab(5)ab0abb ， a(6)| x |a a0axa， | x |axa或 xa2一元二次不等式 ax 2bxc0(a0) 與相應(yīng)的 二次函數(shù) yax 2bxc(a0) 、相應(yīng)的 一元二次方程ax2bxc0( a0) 之間的關(guān)系：判別式b 24ac000二次函數(shù)yax 2bxc（ a0 ）的圖象一元二次方程有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根ax 2bxc0b無實(shí)根x1 , x2 (

2、 x1x2 )x1x2a0 的根2aax2 bxc0x x x1或x x2x xbR( a0) 的解集2aax 2bxc0x x1xx2( a0 )的解集3均值不等式： 若 a,bR ，則 a 2b22ab （當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取等號）若 a, b0，則 abab （當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取等號）2基本變形： ab2 ab ； ( a b) 2ab ( 當(dāng)且僅當(dāng) a b 時(shí)取“ =”號) 2a 2b2若 a, bR，則 a2b22ab ；ab22()2求最值時(shí)注意 “a， bR”且“等號成立”時(shí)的條件，積(ab ) 或和 (a b) 其中之一為定值 .應(yīng)用條件：“ 一正二定三相等；積定和小，和定積

3、大” .注：兩個(gè)正數(shù)a、b 的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、均方根之間的關(guān)系是：2abababa 2b2，R當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)等號成立ab22ab a2b 2c2abbccaa， bR當(dāng)且僅當(dāng) abc 時(shí)取等號 a b 0， m0， n 0，則 b b m1a n aaamb nb4作差法證明不等式步驟：-1-/3作差；變形（對差進(jìn)行因式分解或配方變成幾個(gè)數(shù)(式 )的完全平方和）；判斷差的符號.5不等式的解法：注意“ 系數(shù)化正 ”(1) 一元一次不等式 ： axb(a0) ；axb( a0)(2) 一元二次不等式 ： ax 2bxc0(a0)（“ 系數(shù)化正 ”，根據(jù)b24ac 的三種情況

4、（0，0，0 ）寫出解集）解一元二次不等式的步驟：（ 1）二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；（ 2）解對應(yīng)的一元二次方程；（ 3）根據(jù)一元二次方程的根，結(jié)合不等號的方向畫圖；（4）寫出不等式的解集一元二次不等式恒成立小結(jié)：ax2bxc 0 （ a0）恒成立a0ax2bxc0 （ a0 ）恒成立a 000(3) 絕對值不等式 ：若 a0 ，則 | x |ax2a 2axa (a0) ；| x | ax 2a 2x a或 xa (a0) ；注： ( ) 去絕對值符號的方法： 平方法：通過兩邊平方去絕對值；需要注意的是不等號兩邊須為非負(fù)值. 討論法：討論絕對值中式子0還是0 ，然后去絕對值符號，轉(zhuǎn)化為一般不等式.

5、等價(jià)轉(zhuǎn)化法：如| f ( x) |g (x)f (x)g ( x) 或 | f (x)g ( x) ；| f ( x) | g ( x)g ( x)f ( x)g (x) .( ) 含有多個(gè)絕對值符號的不等式可用“按零點(diǎn)分區(qū)間討論”的方法來解.轉(zhuǎn)化時(shí)利用“零點(diǎn)分段法”（找零點(diǎn)，分段討論，去掉絕對值符號，最后取各段的并集. ）如 : 解不等式 | x 1| x2 |5 ，由兩個(gè)零點(diǎn) x1及 x2將 R 分為三段去掉絕對值再求解，每一段的解都是不等式的解，最后取并集.( ) 絕對值不等式：ababab(4) 連不等式 Nf (x)M 的轉(zhuǎn)化：f ( x) N0 f ( x) M f (x) N 0

6、Nf ( x) Mf ( x)NMf ( x)Mf ( x)(5) 分式不等式的解法 ：分式不等式變形為整式不等式； f ( x)0f (x) g( x)0 ； f (x)0f (x) g( x) 0 且 g (x)0 ；g( x)g (x)注：分式不等式f ( x )解法：a a 0g ( x )(移項(xiàng)通分 ,分子分母因式分解, x 的系數(shù)化為1，用穿軸法求結(jié)果 ) f (x)0 等價(jià)于 f (x) g (x)0 且 g( x) 0 . 對于“等號”要慎重處理 .g ( x)(6) 高次不等式 ：方法 “序軸標(biāo)根法” (變形標(biāo)根穿線定解 )不等式轉(zhuǎn)化為 f ( x) 0 ( f (x) 系數(shù)

7、為 1, 根由小到大排列 ) ，將 f ( x) 分解為若干一次因式或二次不可分因式的乘積（使各括號內(nèi)x 的系數(shù)為正），再將各根有序的標(biāo)在數(shù)軸上，利用“奇穿偶回” ( 奇偶指冪指數(shù)的次數(shù) ) 的原則求解不等式 .用“穿軸法”解高次不等式技巧:“奇穿，偶切”（穿軸時(shí)從最大根的右上方開始）如: 1. 解不等式 (x 1)( x 2)0 ，(x 1)( x 3)123x解：原不等式等價(jià)于 ( x 1)( x1)( x 2)( x3) 0，1將方程 f (x) (x 1)(x 1)( x 2)( x 3)0的根 1,1,2,3標(biāo)在 x 軸上，從右到左畫出 f (x) 的示意圖，原不等式的解集是 x |

8、 1 x 1或 2x 3 -2-/3-3-102x2. 解不等式 ( x 3)( x1)2 x3 (x2)0 ，由圖知不等式的解集為 x| x3 或 x1或 0 x2 ，( 注意“等號”須單獨(dú)考慮)3. 解不等式 x 1 x1 2x2 30(7) 無理不等式 ：轉(zhuǎn)化時(shí)把握二點(diǎn)：一是兩邊非負(fù)才能平方，二是根式必須有意義f ( x)g (x)等價(jià)于g( x)0g( x)0或；f ( x)0f ( x)g 2 ( x)f ( x)0；f ( x)g ( x)g ( x )0f ( x) g ( x) 2f ( x)0f ( x)g ( x)g ( x )0；f ( x)g ( x ) f (x)g

9、(x)0 型，應(yīng)按g (x)0 和 g (x)0 進(jìn)行分類 .(8) 指數(shù)、對數(shù)不等式 ：轉(zhuǎn)化時(shí)把握“同底數(shù)原則”“單調(diào)性原則”，同時(shí)還要注意真數(shù)大于零，底數(shù)要使不等式有意義.當(dāng) a1 時(shí)a f (x )ag ( x)f (x) g(x) ； log a f ( x) log a g ( x)f ( x)0g ( x )0f ( x)g ( x )當(dāng)0a1時(shí)a f (x )ag ( x)f (x) g (x) ； log a f ( x) log a g ( x)f ( x)0g ( x )0f ( x)g ( x )(9) 含參數(shù)的不等式 ：合理分類是關(guān)鍵，根據(jù)零根、根式有意義、影響不等號方向等因素確定分類標(biāo)準(zhǔn)，分類時(shí)要做到不