四則運(yùn)算介紹及定律

1、計(jì)算問題解題原理思維及方法小學(xué)數(shù)學(xué)中在數(shù)的問題有以下三種算術(shù)：計(jì)數(shù)，計(jì)算，數(shù)論計(jì)數(shù)問題有以下方法:加法原理，乘法原理，排列與組合法，捆綁法，插板法，枚舉法，排除法，對應(yīng)法，樹形圖法，歸納法，整體法，遞推法，容斥原理和幾何圖形中的計(jì)數(shù)；數(shù)論問題有以下方法：奇偶數(shù)論，平方數(shù)論，費(fèi)爾馬定理，中國剩余定理，韓信點(diǎn)兵原理及其同余數(shù)周期應(yīng)用，整數(shù)拆分；考慮到現(xiàn)在三年級了，我們這2課主要講解計(jì)算問題：混合運(yùn)算，數(shù)學(xué)計(jì)算公式原理，換元法概念，湊整法概念，定義新運(yùn)算，數(shù)的整除余數(shù)，速算與巧算。1.四則運(yùn)算四則運(yùn)算：加法、減法、乘法和除法，統(tǒng)稱為四則運(yùn)算。其中，加法和減法叫做第一級運(yùn)算；乘法和除法叫做第二級運(yùn)算.

2、(高級運(yùn)算如平方，次方，數(shù)根，微分，積分等不講)運(yùn)算順序：只有一級運(yùn)算時，從左到右計(jì)算；有兩級運(yùn)算時，先乘除，后加減。有括號時，先算括號里的；有多層括號時，先算小括號里的。要是有平方，先算平方。在混合運(yùn)算中，先算括號內(nèi)的數(shù) ，括號從小到大。然后從高級到低級。表示方法脫式計(jì)算脫式計(jì)算是，即遞等式計(jì)算，把計(jì)算過程完整寫出來的運(yùn)算，也就是脫離豎式的計(jì)算。在計(jì)算混合運(yùn)算時，通常是一步計(jì)算一個算式(逐步計(jì)算，等號不能寫在原式上），要寫出每一步的過程。一般來說，等號要往前，不與第一行對齊。示例：1+2(8-3)5(14-6)89=1+2551689=1+2129=1+218=1+36=37橫式計(jì)算 示例：

3、1+2(8-3)5(14-6)89 =1+2551689 =1+2129 =1+218=1+36=37 運(yùn)算意義和運(yùn)算規(guī)律口算引入：83792436（5046）和650-646 36356396 （4832）5 （4832）5和548+532 （254）5和2554 6045和60（54） 向孩子提問：以上各式中都含有哪些運(yùn)算？它們的運(yùn)算順序是什么？使孩子明確：當(dāng)只有加減或乘除法時，按從左到右的順序計(jì)算；當(dāng)既有乘除法又有加減法，要先算乘法或除法，再算加法或減法；如果有小括號，先算括號內(nèi)后算括號外。明確運(yùn)算法則！學(xué)習(xí)新知：1.例1：計(jì)算7410053向孩子提問：這道題包含哪些運(yùn)算？按照以前學(xué)習(xí)的

4、運(yùn)算順序應(yīng)該先算什么？再算什么？你能按照這道題的運(yùn)算順序讀題嗎？ 提示：7 4加10 0除以5所得的商再乘3的積，和是多少？ 將上題變成74十100 35和74 100 3 5兩題 提問：誰能按照運(yùn)算順序讀出題來？該先算什么再算什么？為什么？ 先說出下面每道題的運(yùn)算順序，再計(jì)算。 65642 38+5673引導(dǎo)孩子思考：通過演算這幾道混合運(yùn)算式題，你有什么發(fā)現(xiàn)？使學(xué)生明確：在一道既有乘除法又有加減法的混合式題里，應(yīng)先算乘除法，后算加減法；乘除連在一起，或加減連在一起，要從左往右依次計(jì)算。2.例2：計(jì)算（440280）（300260）（加深難度440300-440260280300280260,

5、讓孩子總結(jié)出來）孩子自讀題目：440減280的差乘300減260的差，積是多少？引導(dǎo)孩子思考：這道題含有哪些運(yùn)算，與前邊的習(xí)題比較有什么不同？應(yīng)該怎樣計(jì)算？學(xué)生試做?？赡艹霈F(xiàn)兩種不同解法，板貼出來：（440280） （300260）（440280）（300260）=160（300260） =16040=16040 =6400=6400（引入440300-440260280300280260計(jì)算）讓孩子比較評議以上兩種解法，哪種解法更簡便？提問：看到這道題的簡便解法你聯(lián)想到什么嗎？ 教師讓學(xué)生先按照運(yùn)算順序用數(shù)學(xué)用語讀題再獨(dú)立完成。（59+21）（968） （220100）（152）提問：通過計(jì)

6、算這些道題，你又有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？鞏固提高：計(jì)算下面各題（試著用術(shù)語讀出下面各題）700854（27535）（1743）480（96166）（1540360）6注意強(qiáng)調(diào)運(yùn)算順序和書寫格式。要明確：括號里有兩級運(yùn)算，同樣先算乘除法， 后做加減法，小括號要照抄下來。課堂小結(jié)：要完成一道混合運(yùn)算，它的計(jì)算步驟是：審題，看清運(yùn)算符號、數(shù)字、有沒有小括號，確定先算什么，再算什么。計(jì)算。檢驗(yàn)，包括運(yùn)算順序，計(jì)算是否正確。布置作業(yè) 14+16450 74+（9668）7245+12111252018（806799）（沒有學(xué)過多位除法的用分解法）教學(xué)目標(biāo)使學(xué)生進(jìn)一步掌握含有二級運(yùn)算的混合式題的運(yùn)算順序，學(xué)會計(jì)

7、算含有乘除混合以及帶有小括號的三步式題。培養(yǎng)學(xué)生遷移類推的能力，提高計(jì)算能力。培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和敢于探索的科學(xué)精神，訓(xùn)練學(xué)生養(yǎng)成認(rèn)真審題、仔細(xì)驗(yàn)算的良好習(xí)慣。教學(xué)重點(diǎn)使學(xué)生掌握混合運(yùn)算順序，能熟練地進(jìn)行計(jì)算。教學(xué)難點(diǎn)幫助學(xué)生利用知識的遷移，探索混合運(yùn)算的運(yùn)算順序。2.小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算法則：整數(shù)加法計(jì)算法則：相同數(shù)位對齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)相加滿十，就向前一位進(jìn)一。（說明引入十進(jìn)制和二進(jìn)制區(qū)別，以及60進(jìn)制區(qū)別）整數(shù)減法計(jì)算法則：相同數(shù)位對齊，哪一位上的數(shù)不夠減，就從它的前一位退一作十，和本位上的數(shù)合并在一起，再減。整數(shù)乘法計(jì)算法則：先用一個因數(shù)每一位上的數(shù)分別去乘另一個因數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)，

8、用因數(shù)哪一位上的數(shù)去乘，乘得的數(shù)的末尾就對齊哪一位，然后把各次乘得的數(shù)加起來。（示例12344321）整數(shù)除法計(jì)算法則：先從被除數(shù)的高位除起，除數(shù)是幾位數(shù)，就看被除數(shù)的前幾位； 如果不夠除，就多看一位，除到被除數(shù)的哪一位，商就寫在哪一位的上面。如果哪一位上不夠商1，要補(bǔ)“0”占位。每次除得的余數(shù)要小于除數(shù)。（示例131313）小數(shù)乘法法則：先按照整數(shù)乘法的計(jì)算法則算出積，再看因數(shù)中共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)；如果位數(shù)不夠，就用“0”補(bǔ)足。（示例0.110.12，也可以用人民幣的錢數(shù)引入）除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法計(jì)算法則：先按照整數(shù)除法的法則去除，商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對

9、齊；如果除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù)，就在余數(shù)后面添“0”，再繼續(xù)除。（示例0.15，同樣可以引入人民幣錢數(shù)）除數(shù)是小數(shù)的除法計(jì)算法則：先移動除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，使它變成整數(shù)，除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)也向右移動幾位（位數(shù)不夠的補(bǔ)“0”），然后按照除數(shù)是整數(shù)的除法法則進(jìn)行計(jì)算。（只作簡單說明，有興趣可以深講）同分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算方法: 同分母分?jǐn)?shù)相加減，只把分子相加減，分母不變。（示例 和)異分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算方法:先通分，然后按照同分母分?jǐn)?shù)加減法的的法則進(jìn)行計(jì)算。 （示例和）帶整數(shù)分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法:整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分分別相加減，再把所得的數(shù)合并起來。(示例12和21)分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算法則:分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，用分?jǐn)?shù)的分子

10、和整數(shù)相乘的積作分子，分母不變；分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。 （示例12和）分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則:甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù) （示例）3.數(shù)學(xué)運(yùn)算定律：加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變，即a+b=b+a 。加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，再加上第三個數(shù)；或者先把后兩個數(shù)相加，再和第一個數(shù)相加它們的和不變，即（a+b)+c=a+(b+c) 。乘法交換律：兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置它們的積不變，即ab=ba。乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，再乘以第三個數(shù)；或者先把后兩個數(shù)相乘，再和第一個數(shù)相乘，它們的積不變，即(ab

11、)c=a(bc) 乘法分配律：兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，可以把兩個加數(shù)分別與這個數(shù)相乘再把兩個積相加，即(a+b)c=ac+bc 。減法的性質(zhì)：從一個數(shù)里連續(xù)減去幾個數(shù)，可以從這個數(shù)里減去所有減數(shù)的和，差不變，即a-b-c=a-(b+c) 。4.A速算與技巧：例1 2452554=(25)(425)54 (利用了交換律和結(jié)合律)=1010054=54000例2 54125168625=54(1258)(62516) (利用了交換律和結(jié)合律)=54100010000=例3 56425125 （將64分解為2、4、8的連乘積是關(guān)鍵一步）=5(248)25125=(52)(425)(8125)=101

12、001000=例4 3748625=37(316)625（注意373=111）=(373)(16625)=11110000=例5 2725+1325，=(27+13)25（逆用乘法分配律這樣做叫提公因數(shù)）=4025=1000例6 12323+123+12376=12323+1231+12376=123(231+76)=123100=12300（注意123=1231;再提公因數(shù)123）例7 81+9919(把81改寫叫分解因數(shù)，為99是為了下一步提出公因數(shù)9)=99+9919=(9+991)9 =10009=9000例8 11199=111(100-1)=111100-111=11100-111

13、=10989例9 2357-4823+23=23(57-48+1)=2310=230例10 求1+2+3+24+25的和. 解：此題是求自然數(shù)列前25項(xiàng)的和.方法1：利用上一講得出的公式 和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))項(xiàng)數(shù)2 1+2+3+24+25=(1+25)252=26252=325方法2：把兩個和式頭尾相加(注意此法多么巧妙!)想一想，這種頭尾相加的巧妙求和方法和前面的“拼補(bǔ)法”有聯(lián)系嗎?例11 求8+16+24+32+792+800的和. 解：可先提公因 8+16+24+32+792+800=8(1+2+3+4+99+100)=8(1+100)1002=85050=40400例12 某劇院有25排

14、座位，后一排都比前一排多2個座位，最后一排有70個座位，問這個劇院一共有多少個座位?解：由題意可知，若把劇院座位數(shù)按第1排、第2排、第3排、第25排的順序?qū)懗鰜恚厥且粋€等差數(shù)列.那么第1排有多少個座位呢?因?yàn)椋旱?排比第1排多2個座位，2=21第3排就比第1排多4個座位，4=22第4排就比第1排多6個座位，6=23這樣，第25排就比第1排多48個座位，48=224.所以第1排的座位數(shù)是：70-48=22.再按等差數(shù)列求和公式計(jì)算劇院的總座位數(shù)：和=(22+70)252=92252=1150.B速算與巧算5.趣味數(shù)學(xué)數(shù)數(shù)與計(jì)算解析1數(shù)數(shù)與計(jì)算解析2-等式加減法例1 大、小二數(shù)之和等于10，之差

15、等于2，求二數(shù).解：依題意，列等式，并把等式兩邊分別相加.得：大數(shù)=122=6 小數(shù)=6-2=4.例2 已知：+=10 -=2 求：=?=?解：根據(jù)等式兩邊分別相加，結(jié)果仍相等，有得：=122=6 再將代入(1)式 得：6+=10注+)表示等式兩邊分別相加. =10-6=4例3 已知：+=16 +=14 求：=?=?解：根據(jù)等式兩邊分別相加，結(jié)果仍相等，有或3(+)=30 得+=10. (3) 根據(jù)等式兩邊分別相減，結(jié)果仍相等，有進(jìn)一步(3)式+(4)式即得=122=6 把的值代入(4)式： 得6-=2 得=6-2=4.例4 已知：+=21 +=27 求=?解：將兩個等式改寫為 2+3=21

16、(1) 2+5=27 (2)(2)-(1)得： 2=27-21=6 得=62=3.例5 小明買1支鉛筆和2塊橡皮共用去2角4分錢，又知1支鉛筆比2塊橡皮貴4分錢.問小明買的鉛筆每支多少錢?解：先列出下列等式：1支鉛筆+2塊橡皮=24 (1) 1支鉛筆-2塊橡皮=4 (2)(1)+(2)： 2支鉛筆=28 1支鉛筆=14(分)=1角4分.例6 在一次數(shù)學(xué)考試中，小玲和小軍的成績加起來是195分，小玲和小方的成績加起來是198分，小軍和小方的成績加起來是193分.問他們?nèi)烁鞯枚嗌俜?解：列出下列等式：小玲+小軍=195 (1) 小玲+小方=198 (2) 小軍+小方=193 (3)將三個等式的左

17、邊和右邊各項(xiàng)分別相加，得：2(小玲+小軍+小方)=586即小玲+小軍+小方=293 (4) 由(4)式-(1)式得 小方=293-195=98由(4)式-(2)式得 小軍=293-198=95 由(4)式-(3)式得 小玲=293-193=100可見小方得98分，小軍得95分，小玲得100分.計(jì)算問題解題原理、思維以及方法1.數(shù)學(xué)計(jì)算公式-常用公式2.換元法的概念解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量式去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。還原的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移值新對象的只是背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化，復(fù)雜

18、問題簡單化，變得容易處理換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證簡化。 它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。 換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元、等值非等值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4220，先變形為設(shè)2t（t0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程

19、的問題。A.局部換元法：例 計(jì)算11+12+13+1+11+12+13+2+11+12+13+3(利用局部換元) 11+12+13=26=a 1+2+3=6=b 3a+b=326+6=78+6=84 其余換元法在初高中使用，這里不講！3.湊整法的概念3.1加減法中的湊整法概念加減法的速算與巧算中主要是“湊整”，就是將算式中的數(shù)分成若干組，使每組的運(yùn)算結(jié)果都是整十、整百、整千的數(shù)，再將各組的結(jié)果求和（差）。主要涉及的幾種計(jì)算方法：（1）分組湊整法 （2）加補(bǔ)湊整法 （3）基準(zhǔn)數(shù)法 （4）位值原理法A.分組湊整法：例1.3125+5431+2793+6875+4569 解：原式=(3125+687

20、5)+(4569+5431)+2793=22793B.加補(bǔ)湊整法: 例 198+2999+39997=（200+3000+40000）-（2+1+3）=43200-6=43194C.基準(zhǔn)數(shù)法：例 （4942+4943+4938+4939+4941+4943）6=4941 （基準(zhǔn)數(shù)是4940）D.位置原理法：例 123+234+345+456+567+678+789=(100+20+3)+(200+30+4)+(300+40+5)+(400+50+6)+(500+60+7)+(600+70+8)+(700+80+9)=（100+200+300+400+500+600+700）+（20+30+40

21、+50+60+70+80）+（3+4+5+6+7+8+9）=2800+350+42=31923.2乘除法中的湊整法在乘除法當(dāng)中，我們首先要熟練的掌握乘除運(yùn)算定律、性質(zhì)和運(yùn)算中積商的變化規(guī)律，其次要了解題目的特點(diǎn)，創(chuàng)造條件、選用合理、靈活的計(jì)算方法。計(jì)算方法：（1）拆并法（2）特殊數(shù)的速算A.拆并法：例 167545=（758）（245）=60090=54000 329125=329(1258)8=32910008=8=411253.3湊整（特殊數(shù)的速算概念）被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字互補(bǔ)，這類式子我們成為“頭相同、尾互補(bǔ)”型被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字互補(bǔ)、個位數(shù)字相同、這類式子我們成為“

22、頭互補(bǔ)、尾相同”型對于計(jì)算這兩類題目，有非常簡捷的速算方法，分別為“同補(bǔ)”速算法和“補(bǔ)同”速算法“同補(bǔ)”速算法簡單地說就是：積的末兩位是“尾尾”，前面是“頭（頭+1）”“補(bǔ)同”速算法簡單地說就是：積的末兩位是“尾尾”，前面是“頭頭+尾” 兩位數(shù)速算技巧：原理：設(shè)兩位數(shù)是分別是:10A+B, 10C+D，其中積為S，根據(jù)多項(xiàng)式展開得如下：（10A+B）(10C+D)=10A10C+10AD+10CB+BD 而所謂速算，就是根據(jù)其中一些相等或互補(bǔ)（相加為十）的關(guān)系簡化式子，從而快速得出結(jié)果。注：下文中：“- -”代表十位和個位，因?yàn)閮晌粩?shù)的十位數(shù)得數(shù)后面是兩個零，請孩子不要忘了，前積就是前2位，后

23、積就是后2位，中積就是中間2位，滿十前一，不足補(bǔ)零。A乘法速算一:前數(shù)相同的 1.1 十位數(shù)是1，個位互補(bǔ)，即A=C=1 ,B+D=10 S=(10+B+D)10+BD 方法:百位為2，個位相乘得數(shù)為后積，滿十前一； 例：1317=221（其中13+7=20，37=21）1.2十位數(shù)是1，個位不互補(bǔ)，即A=C=1 ,B+D10 S=(10+B+D)10+BD方法:乘數(shù)的個位與被乘數(shù)相加,得數(shù)位前積;兩數(shù)的個位相乘,得數(shù)為后積;滿十前一. 例: 1517=255(其中15+7=22，57=35,劃線上2和3相加) 1.3 十位相同，個位互補(bǔ)，即A=C ,B+D=10 S=A(A+1)10+BD方

24、法：十位數(shù)加1，得出的和與十位數(shù)相乘，得數(shù)為前積；個位數(shù)相乘，得數(shù)為后積。 例：5654=3024（其中（5+1）5=30，64=24）1.4十位相同，個位互補(bǔ)，即A=C ,B+D10 S=A(A+1)10+BD 方法1：十位數(shù)加1，得出的和與十位數(shù)相乘，得數(shù)為前積；尾乘尾，得數(shù)為后積；尾尾相加，看比10大幾或小幾，大幾就加幾個頭乘10，反之小幾，就是小幾就減幾個頭乘10.例：6764=4288（其中（6+1）6=42，47=28，7+4=11，11-10=1，16=6，610=60，4228+60=4288）方法2：頭頭相乘，得數(shù)為前積；兩尾數(shù)和與頭相乘，得數(shù)為中積，滿十前一；兩尾數(shù)相乘，得

25、數(shù)為后積。例： 6764=4288（其中66=36,(7+4)6=66,74=28） 二：后數(shù)相同的 2.1個位是1，十位互補(bǔ)，即B=D=1,A+C=10,S=10A10C+101 方法：十位與十位相乘，得數(shù)為前積；加上101，劃線1要前進(jìn)1. 例：8121=1701（其中82=16,101,劃線1要前進(jìn)1） 2.2個位是1，十位不互補(bǔ)，即B=D=1,A+C10,S=10A10C+10A+10C+1 方法：十位數(shù)乘積，加上十位數(shù)之和，得數(shù)是前積；個位為1. 也可以這樣說：頭頭相乘是前積；頭頭相加是中積，滿十前一；個位數(shù)是1。 例：7191=6461（其中79=63，7+9=16，劃線1進(jìn)上去，

26、個位數(shù)是1） 2.3 個位是5，十位互補(bǔ)，即B=D=5,A+C=10,S=10A10C+25 方法：十位數(shù)乘積，加上個位數(shù)，得數(shù)為前積，25為后積 例:3575=2625 2.4個位是5，十位不互補(bǔ)，即B=D=5,A+C10,S=10A10C+525 方法：頭頭相乘，得數(shù)為前積；兩十位數(shù)和與個位相乘，得數(shù)為中積，滿十進(jìn)一；兩尾數(shù)相乘，得數(shù)為后積。 例：7595=7125（其中79=63；(7+9)5=80,劃線8上進(jìn)；55=25） 2.5個位相同，十位互補(bǔ)，即B=D,A+C10,S=10A10C+100B+B2 方法：頭頭相乘，加上尾數(shù)，得數(shù)是前積；尾尾相乘，得數(shù)是后積. 例：8626=223

27、6 （其中82+6=22，66=36） 2.6個位相同，十位不互補(bǔ)，即B=D,A+C10,S=10A10C+100B+100D+B2 方法1：頭頭相乘，加上尾數(shù)，得數(shù)是前積；尾尾相乘，得數(shù)是后積；再看看頭頭相加比10大幾或小幾，大幾就加上幾個尾乘10，小幾反之亦然。 方法2：頭乘頭是前積；兩頭之和乘尾乘10，與尾乘尾（尾平方）之和，得數(shù)是后積。 例：7343=3139（其中74+3=31；33=9，7+4-10=1，1310=30，30+9=39，劃線部分組成了后積） 另解釋:7040=2800 (7+4)310+33=339,2800+339=3139 三：特殊類型： 3.1一個數(shù)頭尾相同，

28、另一個數(shù)頭尾互補(bǔ) 方法：互補(bǔ)的那個數(shù)頭加1之和與另一個數(shù)（頭尾相同的數(shù)）的頭（尾也可以）乘積，得數(shù)為前積；兩尾乘積，得數(shù)為后積,沒有十位用0補(bǔ)。 例：6637=2442（其中（3+1）6=24;67=42） 例：1137=407（其中（3+1）1=4;17=7,沒有十位用0補(bǔ)） 3.2一個數(shù)頭尾相同，另一個數(shù)頭尾不互補(bǔ) 方法：非互補(bǔ)的那個數(shù)頭加1之和與另一個數(shù)（頭尾相同的數(shù)）的頭（尾也可以）乘積，得數(shù)為前積；兩尾乘積，得數(shù)為后積；沒有十位用0補(bǔ)，再看看那個非互補(bǔ)那個數(shù)頭尾相加之和比10大幾或小幾，大幾就加上幾個相同數(shù)（頭尾相同的數(shù)）的數(shù)字乘10，反之亦然。 例：3844=1632+40=167

29、2（其中（3+1）4=16；84=32；（3+8-10）410=40;1632+40=1672） 3.3一個數(shù)頭尾不相同，另一個數(shù)頭尾互補(bǔ) 方法：頭尾互補(bǔ)數(shù)的頭數(shù)加1之和與頭尾不相同數(shù)的頭相乘，得數(shù)為前積；兩尾數(shù)相乘，得數(shù)為后積，沒有十位用0補(bǔ)；再看看頭尾不同的數(shù)尾比頭大幾或小幾，大幾就加幾個互補(bǔ)數(shù)的頭乘10，反之亦然。 例:4675=3530-80=3450(其中(4+1)7=35;56=30;5-7=-2,意思是尾比頭少了2，2410=80，多了幾加上，少了幾減去，3530-80=3450) 3.4 一個數(shù)頭比尾少1，另一個數(shù)頭尾之和是9 方法：頭比尾少1數(shù)的頭與湊9數(shù)的尾數(shù)的補(bǔ)數(shù)相乘，得

30、數(shù)為前積；湊9數(shù)的頭數(shù)加1的和與頭比尾小1的數(shù)的尾數(shù)的補(bǔ)數(shù)之積，得數(shù)為后積，沒有十位用0補(bǔ)。 例：6736=2412（其中6（10-6）=24，10-6就是36尾數(shù)6的補(bǔ)數(shù)；（3+1）（10-7）=12，3+1是36的頭數(shù)加1，10-7就是67的尾數(shù)7的補(bǔ)數(shù)。） 3.5 兩個數(shù)頭頭不同，尾尾互補(bǔ)（要先確定乘數(shù)與被乘數(shù)） 方法：被乘數(shù)的頭加1的和與乘數(shù)的頭之積，得數(shù)是前積；尾與尾之積，得數(shù)為后積；再看被乘數(shù)頭比乘數(shù)的大幾或小幾，大幾就加幾個乘數(shù)的尾乘10，反之亦然。 例：7456=4024+（7-5）610=4144（其中（7+1）5=40；46=24） 3.6 兩數(shù)頭頭差1，尾尾互補(bǔ) 方法：大

31、數(shù)的頭和大數(shù)頭之積與1的差，得數(shù)為前積；大數(shù)的尾和大數(shù)的尾之積，它們積的整百補(bǔ)數(shù)就是后積。 例：2436=864（其中33-1=8；100-66=64） 3.7 近100的兩位數(shù)算法（確定乘數(shù)與被乘數(shù)） 方法：被乘數(shù)與乘數(shù)的整百補(bǔ)數(shù)之差，得數(shù)為前積；兩數(shù)整百補(bǔ)數(shù)之積，得數(shù)為后積，沒有滿十補(bǔ)0，滿100進(jìn)1） 例：9391=8463（其中93-（100-91）=84；（100-93）（100-91）=63） 3.8 頭互補(bǔ)，尾不同（確定乘數(shù)與被乘數(shù)） 方法：頭頭之積與乘數(shù)尾之和，得數(shù)為前積；尾尾之積，得數(shù)為后積，沒有滿10補(bǔ)0，再看看被乘數(shù)尾比乘數(shù)的尾大幾或小幾，小幾就減去幾個乘數(shù)頭乘10，反之

32、亦然。 例：2281=1702+80=17824.定義新運(yùn)算基本概念:定義一種新的運(yùn)算符號，這個新的運(yùn)算符號包含有多種基本（混合）運(yùn)算?；舅悸?嚴(yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然后按照基本運(yùn)算過程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。關(guān)鍵問題：正確理解定義的運(yùn)算符號的意義。注意事項(xiàng)：新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算規(guī)律，特別注意運(yùn)算順序。 每個新定義的運(yùn)算符號只能在本題中使用。5.數(shù)的整除一、基本概念和符號：1、整除：如果一個整數(shù)a，除以一個自然數(shù)b，得到一個整數(shù)商c，而且沒有余數(shù)，那么叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a（或）。2、常用符號：整除符號“|”，不能整除符號“”；因?yàn)榉枴?/p>

33、”，所以的符號“”；二、整除判斷方法：1. 能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。2. 能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。3. 能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。4. 能被3、9整除：各個數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。5. 能被7整除:末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。6. 能被11整除:末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。7. 能被13整除:末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。三、整除的性質(zhì)：1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。2. 如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。6.余數(shù)及其應(yīng)用基本概念:對任意自然數(shù)a、b、q、r，如果使得ab=