數(shù)列大題專題訓(xùn)練)

1、數(shù)列大題專題訓(xùn)練1.已知數(shù)列 an、 bn滿足：a- ,an bn = 1,bn d.41 -a.(1) 求 b-,b2,b3,b4；(2) 求數(shù)列 bn的通項公式；(3)設(shè) Sn = a2 玄2玄3 玄3玄4 . a.an 1 ， 求實數(shù)a為何值時4aSn bn恒成立.2.在平面直角坐標系中，已知An(n,an)、Bn(n,bn)、Cn(n-1,0)(nN*)，滿足向量AAn1與向量BnCn共線，且點Bn(n,g) (n，N*)都在斜率6的同一條直線上(1) 試用a1,b1與n來表示an;(2) 設(shè)a1 = a, d = -a，且12 ： a遼15，求數(shù)an中的最小值的項3.在公差為d (0

2、)的等差數(shù)列an和公比為q的等比數(shù)列bn中，已知a1=b1=1 , a2=b2, a8=b3.(1 )求數(shù)列an與b n的通項公式；(2)令cn = an bn，求數(shù)列cn的前n項和Tn.=3t4、在數(shù)列an中，a1 =1,其前n項和Sn滿足關(guān)系式 3tS(2t 30=(t 0,n -2,3,)(1) 求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；1(2) 設(shè)數(shù)列an得公比為 f(t),作數(shù)列bn,使 bi =1,bn 二 f( ),n =(2,3-),求 bbn_1(3) 求 bib2 - b2b3 b3b4 - b4 b5b2nJb2n b2nb2n 1 的值。5 設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,且Sn =(1)

3、 - a,其中，=-1,0 ；(1 )證明：數(shù)列an是等比數(shù)列；1水(2)設(shè)數(shù)列an的公比 q = f (),數(shù)列bn滿足b1 二？,bn 二 f (bnj)(n N*,n _ 2)求數(shù)列bn的通項公式；6. 已知定義在 R上的單調(diào)函數(shù) y=f(x)，當x1，且對任意的實數(shù) x、y R,有f(x+y)= f(x)f(y),(I)求f(0)，并寫出適合條件的函數(shù)f(x )的一個解析式；1(n)數(shù)列an滿足 a1=f(0)且f(an 1)(n N*),f(-2-a.)求通項公式an的表達式；1 a令 bn=(?)n,Snb1b2bn, Tna a 2a 2 a31an a n 1試比較S與4Tn的

4、大小，并加以證明31 2 137. 設(shè)Sn是正項數(shù)列an的前n項和，且Sn =an + 3n ,424(I)求數(shù)列an的通項公式；(n)已知 bn =2n,求Tn Ha！ a?b2 abn的值2 1&已知二次函數(shù)f(x)二ax bx滿足條件：f(0) = f(1)；f(x)的最小值為.8(1) 求函數(shù)f (x)的解析式；f4f(n)(2) 設(shè)數(shù)列an的前n項積為Tn,且Tn = | ,求數(shù)列a.的通項公式；5J(3) 在的條件下，若5f (an)是bn與an的等差中項，試問數(shù)列bn中第幾項的值最??？ 求出這個最小值。9、設(shè)等差數(shù)列an的首項a1及公差d都為整數(shù)，前n項和為Sn.(1 )若a11

5、=0,S14=98，求數(shù)列 an的通項公式；(2) 在(1)的條件下求Sn的表達式并求出Sn取最大值時n的值(3) 若a1 6, an 0, Sw 77,求所有可能的數(shù)列an的通項公式10、設(shè)%是公比大于 1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和已知 S3 =7，且ai - 3, 3a2, a34構(gòu)成等差數(shù)列.(I)求數(shù)列an的通項公式.(n)令 bn =ln a?. i, n =1,2,|(,求數(shù)列 g 的前 n 項和.11已知等比數(shù)列an中，a2,a3,a4分別是某等差數(shù)列的第5項、第3項、第2項，且ai =64,公比 q = 1(I) 求 an；(n)設(shè)bn = log 2 an，求數(shù)列|

6、 bn|的前n項和T.12、已知 f (x) = log m x (m 為常數(shù)，m0 且 m = 1)設(shè)f(aj, f ), , f麗(n N )是首項為4，公差為2的等差數(shù)列.(I)求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；(n)若bn=an f (an)，且數(shù)列bn的前n項和Sn,當 m2 時，求Sn；(川)若Cn= an lg an，問是否存在 m，使得cn中每一項恒小于它后面的項？若存在，求出m的范圍；若不存在，說明理由.13.已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足11a1,an 2SnSnJ =0( n _ 2) (i)判斷一是否為等差數(shù)列？并證明你的結(jié)論;2Sn(H)求Sn 和an(川)求證：S2S

7、；S；乞1 一丄.2 4n14.已知數(shù)列an滿足 an =2an2n -1(n 2),且a 5.a + Z(l)若存在一個實數(shù),使得數(shù)列亠 為等差數(shù)列，請求出的值2(II )在(I)的條件下，求出數(shù)列 an的前n項和Sn.15.設(shè)數(shù)列 an的前n項和為Sn，且滿足Sn=2-an, n =1, 2, 3，. (I)求數(shù)列 an的通項公式；(n )若數(shù)列 bn滿足b1=1，且bn 1二bn an，求數(shù)列 bn的通項公式; (川)設(shè)Cn = n(3 -bn)，求數(shù)列 Cn的前n項和Tn.參考答案bn12 - bnbn0(2七)5( 1)心46 一 7-5 - 6-4 - 5-63 一 4-,bh丄，

8、4-a1-bnn-12 b-+1bn1數(shù)列 是以一4為首項，一1為公差的等差數(shù)列 bn -1-4 -(n -1) - -n -3二 bnn4(n 4)1 1Sn =玄1玄2 3233n3n 1 二4 匯55 漢6 (n +3)(n+4)24asb_ an n2_(a-1)n(3a-6)n-8nn n 4 n3(n3)( n 4)由條件可知(a_1n + (a3 n)恒8成0立即可滿足條件設(shè)2f(n) =(a -1)n3(a -2)n -8a = 1時，f (n) = -3n -8 ：0恒成立,a1時，由二次函數(shù)的性質(zhì)知不可能成ai時，對稱軸弓a豐-沽土廠0f(n)在(y,1為單調(diào)遞減函數(shù).f

9、(1) =(a -1)n2 (3a -6) n -8 =(a 一1) (3a -6) -8 =4a -15 ： 015.a. a1 時 4aSn ： b 恒成立4綜上知：a 1時，4aSn 1 =a代入上式，2得 an = a - a(n -1)3(n -1)(n - 2) = 3n -(9 a)n 62a.12 : a 15, 7 ： 4，2 613分當n=4時，an取最小值，最小值為 a4 =182a.3.解：(1)由條件得:1 +d =q：1 +7d =q2_an = 5n - 4, bn = 6心(2)Tn = C1C2 C3 -Cn二玄袒 a?b2 asb3anbnanbn- 5Tn

10、=1561-5-(5n -4)6n=a2a?b3 *3匕4a./bnanbn 1：(1q)Tn 二aM1 db2 dbdbn dbn ab 1 二ab db2(1_q)七曲1q=(n - 1)6n 1 14 分4.解:(1)由已知 3tSn -(2t - 3)Sn4 =3t，即有2t +33t (a1a2) _ (2t 3)a = 3t 由 a1 = 1 解得 a?:3t所以a22t 3a13t當n _ 2時，有3tSn+1 -(2t3)Sn =3t3tSn -(2t3)Sn=3t得3ta n + 1 - (2t 3)an = 0an i _ 2t 3an 3t綜上所述，知色=迤3 n _1a

11、n 3t因此an是等比數(shù)列；2t +3(2)由(1)知 f(t) =3t123則使b1 =1,bn 二一氣2 bn3 3bn 42所以 bn bn二n =(2,3/ )21因此，bn是等差數(shù)列，且 th =1,bn 二 b (n- 1)d n3 3(3) Db2 -b2ba bgb4 -b4b5 b2n/b2n b2nb2n 1b2n) 一5 4n 1 n(3=b2(b1 -b3)b4(b3-b5)b2n(b2nv b 1 )4=(b2 b438 2 = n n935解：（1）由 Sn 二（1 ）一 an = Sn_, = （1 ）一乜心（n - 2）a兒相減得：an - -an an4, n

12、(n - 2),.數(shù)列a.是等比數(shù)列a1+九扎bn11(2) f ( 1 ). , 51 ,1+ 丸1估二bng 二.丄是首項為 丄=2,公差為1的等差數(shù)列=2 （ n 1） = n 1 bnDbnbn（3）時（2宀 Cnn（H）f ,11 1Tn =1 2(2)3(才2n(-)nJ2Tn =(1)Ng)2 酹)3n(n得：11、 J、2 八、3J、nJ、n2Tn 二1（2）（2 （2）（2 _n（2），1Tn（2）G）2（1）3E）n n（n vG門一 n（）n ,所以:1 1Tn =4(1-(2門-2 n(?)n14分6. 解：(I)由題意，令 y=0 , x0，得 f(x)1 f(0)=

13、0 , x1. 1 f(0)=0. f(0)=1. 2 分1 x適合題意的f(x)的一個解析式為f(x)=( ) 4分(II 由遞推關(guān)系知f(an+1) f( 2 an)=1，即 f(an+1 2 aj=f(O).*八/ f(x)的 R 上單調(diào)， an+1 an=2 , (n N), 6 分又 a1=1，故 an=2 n 1. 7 分 bn=()an =(丄)2n,Sn = b1 + b2+bn=丄+( 1 )+ +( 1 f12 2 2 2 2知(擴2 21 )2Tn丄a a 27)-a2a3-a n an 1+丄2n -111+ + +1 3 3 5(2n -1)(2n 1)111)(1

14、)2 2n 12n 1Sn= fTnI-13心112113)=( )=2n 13 2n 1 4n24n -(2n1)(2n1) 4n4欲比較Sn與Tn的大小，只需比較 4n與2n+1的大小.3由=1 , 2, 3 代入可知 4n2n+1，猜想 4n2n+1. 10分下用數(shù)學(xué)歸納法證明1(i) 當 n=1 時，4 2X 1+1 成立(ii) 假設(shè)當n=k時命題成立，即4k2k+1當 n=k+1 時，4k+1=4 X 4k4(2k+1)=8k+4=2(k+1)+1+6k+12(k+1)+1，說明當n=k+1時命題也成立.由(i) (ii)可知，4n2n+1對于n N*都成立4故 Sn Tn 12分

15、3注：證明4n2n+1，除用數(shù)學(xué)歸納法證明以外，還可用其它方法證明，如：4n=(1+3)n=1+cn 3 c2 32cn 3n _1 3n 2n 1.1 2 137. 解(I)當 n = 1 時，at = $a1a1,解出 a1 = 3 , 1分4 24又 4sn = a n + 2a n 3當 n _2 時 4sn1 = an j + 2a n-1 32 2 2 2一 4an =an a - 2(aanJ),即 aanj -2(an - a.)=03分 (anan)(an -an- 2) = 0 , an an0 an - an=2 ( n 2)5分.數(shù)列an是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列

16、.a3 2( n- 1)=2 nJ -7分(n) Tn=321522 山 (2n，1) 2n又 2Tn=322523W (2n -1) 2n - (2n1)2n19 分- Tn 二-3 21 -2(22 232n) (2n 1)2n 1 11 分=-6 8 -2 2n 1 (2n 1) 2n 1 13 分-(2n - 1)2n 12 14 分&解:(1)由題知:a b =0勺0b2 _ 1.4a 一 81a1 21,解得 2,故 f (x) x x b12 2b 二L2n2 -r(n J)2 Jnl): 2Tn j aia2 H f an J = l5丿(n -2),(n-2).anTn4Tn

17、 15n A(n N ).又ai =T| =1滿足上式.所以4an :15丿1 2123 2從而 10(；anan)二bn an， 得d =5an -6an=5(an)-2 25=4nl5-3，即 n510分因為an當an(n N )是n的減函數(shù)，所以3(nN”)時，bn隨n的增大而減小，此時最小值為ba；-4( n N ”)時，bn隨n的增大而增大，此時最小值為b4.12分33aV6,知0, S14W 77 得:務(wù) 一6(1)y+10d：0(2)3分4分6分8分9分10分 若5f (an)是bn與an的等差中項，則2 5f (anHbn an,+91d 蘭77 (3)(2) ( -14)得:

18、 -14a1 -140d0(4)(4)(3)得:d117(5)- (3)得:d -9112分(1) (-14)得:-14耳84(5):d Z,. d =T代入(2)、( 3)得：a1 10 1 0 : a1 -1214a1687a Z,. a1 =11 或 12.an =12 -n或 an =13 -n14分10解：（I）由已知得(ai 3) 3 4) 2=3a?.aa2a3 =7,設(shè)數(shù)列an的公比為q，由a： =2，可得& = 2, a2q . 4分q2又 S3 = 7，可知2 2q = 7 ,q即 2q2 _5q 2=0,1解得 q7) 212分12、解：(I)由題意 f (an) = 4

19、 2(n -1) = 2n 2, 即 logm an = 2n 2,二 m2n 2an 12(n 1) 2an2n 2 m/ m0且m1，二m2為非零常數(shù)，二數(shù)列an是以m4為首項，m2為公比的等比數(shù)列(n)由題意 bn 二 an f (an)二 m2n 2 log m m2n 2 = (2n 2) m2n 2 ,當 m = J2時，bn =(2n 2) 2n 1 = (n 1) 2n 2二 Sn= 22332442(n1)2n26 分 式兩端同乘以2，得2Sn =2 243 25 4 26 n 2n 2 (n 1) 2n3 7 分 并整理，得Sn 八2 23 - 24 - 25 -26 -2

20、n 2 (n 1) 2n 3二 -23 -23 亠 24 亠 25 亠 亠 2n 2亠(n 亠 1) 2n 3 七一牡1)嚴1-2二-2323(1 2n) (n 1) 2n 3= 2n3 n10 分(川)由題意Cn=anlgan=(2 n+2)m2nlgm要使cn：cn對一切n 一 2成立,2n lgm：( n 1) m lg m 對一切 n_2 成立,當m1 時，n：(n 1)m2對n _ 2成立;12當0m1 時，n (n 1)m22m2對一切n _ 2成立，只需1 -m2m2： 2 ,1m解得:6、6m ：,33考慮到0m1 ,V6-0m.3綜上，當0m13時,數(shù)列5 中每一項恒小于它后

21、面的項1413.解證：(I)S1 a1 -2丄=2S1an = Sn - Sn 4即 Sn - Sn 4 = 2Sn Sn 41 1SnSn J1=2故丄是以2為首項，以2為公差的等差數(shù)列.Sn(n)由(I)得丄=2 (n -1) 2=2n,SnSn2n當n 2時，an2n(n _1)(n =1)當n=1時，厲三an2心嚴2)(川)1當n=1時，S12 = 1 = 1成立4241 12假設(shè)n=k時，不等式成立，即S|2Sf. S|f -成立2 4k則當 n=k+1 時，s； +S； +. +s： +s 冷訃 +42 2111 111 k2 k 111 k2 k 1124 k (k 1)224

22、k(k 1)224 k(k 1)24(k 1)即當n=k+1時，不等式成立由1 , 2可知對任意 n N不等式成立.2 2 2 1 1 1 1(川)另證：S1S，. Sn = -22 - 七4(14 4匯24x34xn十(n _ 1)nn -11 14n14.解：（1）假設(shè)存在實數(shù)，符合題意,則弐寸-3nJnJ 必為與n無關(guān)的常數(shù)。2n2n -13門+丸 3門二+九 玄門一2an一丸 21 扎1 +九丁=1 nn -1nnn ，2 2 2 2 2要使aL廠-色是與n無關(guān)的常數(shù)，則廠=0,得 一1.2n2n -12故存在實數(shù)a +丸-1 .使得數(shù)列為等差數(shù)列.(II )由(1）可得2nan 1 an12n4= 1,. d =1,且首項為2-=2.22n=2 (n -1) = n 1,. an=(n 1)2n 1(n N )令bn =（n