平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示及運(yùn)算

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載 2.3.2 2.3.3平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示及運(yùn)算【教學(xué)目標(biāo)】1、使學(xué)生理解平面向量坐標(biāo)的概念，了解直角坐標(biāo)系中平面向量代數(shù)化的 過(guò)程；掌握平面向量的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算；2、通過(guò)體驗(yàn)直角坐標(biāo)系中平面向量的坐標(biāo)表示的實(shí)現(xiàn)過(guò)程，激發(fā)學(xué)生的探 索精神，增強(qiáng)學(xué)生知識(shí)的應(yīng)用意識(shí)；3、在數(shù)學(xué)中體會(huì)知識(shí)的形成過(guò)程，感受數(shù)與形的和諧統(tǒng)一?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算； 難點(diǎn)：對(duì)平面向量的坐標(biāo)表示生成過(guò)程的理解?！窘?具】多媒體課件【教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)】、復(fù)習(xí)回顧問(wèn)題情境【回顧】平面向量基本定理：如果 &，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a,有

2、且只有一對(duì)實(shí)數(shù)入1，入2使a=入10+入2e【情境】光滑斜面上的木塊所受重力可以分解為平行斜面使木塊下滑的力Fi和木塊產(chǎn)生的垂直于斜面的壓力一個(gè)向量也可以分解為兩個(gè)互相垂直的向量的線性表達(dá)，這種情形叫向量的正交分解以后可以看到，在正交分解下，許多有關(guān)向量問(wèn)題將變得較為簡(jiǎn)單.【問(wèn)題】 在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)點(diǎn)可用一對(duì)有序?qū)崝?shù)（即它的坐標(biāo)） 表示，那么對(duì)平面直角坐標(biāo)內(nèi)的每一個(gè)向量， 可否用實(shí)數(shù)對(duì)來(lái)表示？又如何表示 呢？二、理解概念加深認(rèn)識(shí)如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量1、 j作為基底，任作一個(gè)向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y , 使得:a

3、 = xi yjC1我們把（x,y）叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作 a=（x, y）G2其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的 7坐標(biāo)，C式叫做向量的坐標(biāo)表示。d d 結(jié)合定義，指導(dǎo)學(xué)生求出向量I、j、0的坐標(biāo)。（多媒體演示）如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn) 0為起點(diǎn)作4*OA=a，則點(diǎn)A的位置由a唯一確定。設(shè)0A = xi yj，則向量0A的坐標(biāo)（x, y）就是點(diǎn)A的坐標(biāo)；反過(guò)來(lái)，點(diǎn)A的坐標(biāo)（x,y）也就是向量0A的坐標(biāo)。因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都是可以用一對(duì)實(shí)數(shù)唯一表示。4 T在坐標(biāo)系中觀察，向量i, j及0A的坐標(biāo)與其終點(diǎn)坐標(biāo)有何關(guān)系？這幾個(gè)向 量在坐標(biāo)系中的位置有

4、什么共同點(diǎn)？什么樣的向量其坐標(biāo)就是終點(diǎn)坐標(biāo)？通過(guò) 這樣的問(wèn)題引導(dǎo)讓學(xué)生得到結(jié)論： 起點(diǎn)在原點(diǎn)的向量其坐標(biāo)就是其終點(diǎn)的坐標(biāo)。類比點(diǎn)的坐標(biāo)，提出：向量平移后具體位置發(fā)生了改變， 其坐標(biāo)是否會(huì)發(fā)生 變化？通過(guò)動(dòng)畫演示，指出：平移前后的向量是相等向量，通過(guò)平移，可以使它 們的起點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)處，則其終點(diǎn)必然重合，此時(shí)，它們的坐標(biāo)都對(duì)應(yīng)著這 個(gè)終點(diǎn)的坐標(biāo)，由此得到：相等向量的坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等向量。、自主探索，推導(dǎo)法則+4 4 H探究一：已知aNxyjb二化小）,求a b,a b的坐標(biāo);44（2） 已知a=（x, y）和實(shí)數(shù),求 a的坐標(biāo).請(qǐng)學(xué)生自己討論推導(dǎo)，教師歸納整理，由此得出平面向量

5、的坐標(biāo)運(yùn)算法則: （1 ）兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差：T T_, TTa士b =（為 x2, % 士 y2）（其中 a = （x“ yj, b = （x2, y2）（2）實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)：右 a = （x, y），貝U a = （ x, y）；探究二：若已知其起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)，如何求出此向量的坐標(biāo)？OJTRI 39 - 3先來(lái)看一個(gè)具體的例子：求出圖中的向量a的坐標(biāo)，并觀察其坐標(biāo)與其起點(diǎn)i坐標(biāo)、終點(diǎn)坐標(biāo)之間有何關(guān)系？（引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，歸納猜想）學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：其坐標(biāo)等于向量的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。再將A,B的坐標(biāo) 推廣到一

6、般的（捲，yj,（x2, y2），可得相應(yīng)結(jié)論。由此，得到一個(gè)重要的結(jié)論：一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)。四、應(yīng)用舉例，加深理解呻 d d例1、如圖，用基底i、i分別表示向量abcd，并求出它們的坐標(biāo)。（見(jiàn)教材）IIIIIIII例 2、已知 a=（2，1）， b =（-3，4），求 a + b， a-b，3a+4 b 的坐標(biāo)。（學(xué)生口答）例3、已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（-2, 1）、（-1, 3）、（3, 4），求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。（見(jiàn)教材）五、課堂練習(xí) 及時(shí)鞏固1、教材習(xí)題：P101 T1、T1；2、（例 3改編題）已知平行四邊形的

7、三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 （一2, 1）、（一 1,3）、（3, 4）,求第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)。（引導(dǎo)學(xué)生思考，多媒體演示）分析：未固定四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的順序，因此點(diǎn) D的位置有3個(gè)。六、課堂小結(jié) 知識(shí)提煉（先請(qǐng)學(xué)生歸納，再由教師完善）1、平面向量的坐標(biāo)表示的概念；2、幾個(gè)重要結(jié)論：（1）相等的向量坐標(biāo)相同；坐標(biāo)相同的向量是相等向量；（2）起點(diǎn)在原點(diǎn)的向量的坐標(biāo)等于其終點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)T即：若A（X1, yj, B（X2, y2）,則AB 二區(qū)-治，y? - yj3、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算:若a =(Xi, yj,b =(X2, y?).y2+y1X2,+-T b+Jr a a -b =(咅 f,% -丫2), a 乂為， yj七、作業(yè)布置課外延伸教材習(xí)題：P100 T2、T3;P101 T3【課后反思】這篇案例設(shè)計(jì)完整，思路自然。由斜邊上物體所受重力的分解，聯(lián)想到向量應(yīng)有常見(jiàn)的正交分解；由點(diǎn)的坐標(biāo)表示，結(jié)合平面向量基本定理聯(lián)想到向量也有 坐標(biāo)形式。這為鍛煉學(xué)生的類比聯(lián)想能力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)地提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能 力提供了平臺(tái)。向量用坐標(biāo)表示即把向量代數(shù)化，增強(qiáng)了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)， 也增強(qiáng)了一一對(duì)應(yīng)的意識(shí)，為提高學(xué)