(2021年整理)圓錐曲線概念歸納及題型總結(jié)

1、圓錐曲線概念歸納及題型總結(jié)圓錐曲線概念歸納及題型總結(jié) 編輯整理：尊敬的讀者朋友們：這里是精品文檔編輯中心，本文檔內(nèi)容是由我和我的同事精心編輯整理后發(fā)布的，發(fā)布之前我們對文中內(nèi)容進行仔細校對，但是難免會有疏漏的地方，但是任然希望（圓錐曲線概念歸納及題型總結(jié)）的內(nèi)容能夠給您的工作和學(xué)習(xí)帶來便利。同時也真誠的希望收到您的建議和反饋，這將是我們進步的源泉，前進的動力。本文可編輯可修改，如果覺得對您有幫助請收藏以便隨時查閱，最后祝您生活愉快 業(yè)績進步，以下為圓錐曲線概念歸納及題型總結(jié)的全部內(nèi)容。59圓錐曲線的方程與性質(zhì)1橢圓（1）橢圓概念平面內(nèi)與兩個定點、的距離的和等于常數(shù)2（大于）的點的軌跡叫做橢圓。

2、這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離2c叫橢圓的焦距。若為橢圓上任意一點，則有。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:（）（焦點在x軸上)或（）(焦點在y軸上）。注：以上方程中的大小，其中；在和兩個方程中都有的條件,要分清焦點的位置，只要看和的分母的大小。例如橢圓(，）當(dāng)時表示焦點在軸上的橢圓；當(dāng)時表示焦點在軸上的橢圓。(2)橢圓的性質(zhì)范圍:由標(biāo)準(zhǔn)方程知，說明橢圓位于直線,所圍成的矩形里；對稱性：在曲線方程里,若以代替方程不變，所以若點在曲線上時，點也在曲線上，所以曲線關(guān)于軸對稱，同理，以代替方程不變，則曲線關(guān)于軸對稱。若同時以代替，代替方程也不變，則曲線關(guān)于原點對稱。所以，橢圓關(guān)于軸、軸和原點對稱。這時,坐標(biāo)

3、軸是橢圓的對稱軸，原點是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心；頂點：確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與軸、軸的交點坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中,令，得，則，是橢圓與軸的兩個交點。同理令得，即，是橢圓與軸的兩個交點。所以,橢圓與坐標(biāo)軸的交點有四個，這四個交點叫做橢圓的頂點。同時，線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸,它們的長分別為和，和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點到焦點的距離為；在中,，,，且，即;離心率：橢圓的焦距與長軸的比叫橢圓的離心率。,，且越接近,就越接近，從而就越小，對應(yīng)的橢圓越扁；反之,越接近于，就越接近于,從而越接近于，這時橢圓越接近于圓.當(dāng)且僅

4、當(dāng)時，兩焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為.2雙曲線（1）雙曲線的概念平面上與兩點距離的差的絕對值為非零常數(shù)的動點軌跡是雙曲線(）.注意:式中是差的絕對值，在條件下；時為雙曲線的一支;時為雙曲線的另一支（含的一支）；當(dāng)時，表示兩條射線；當(dāng)時，不表示任何圖形；兩定點叫做雙曲線的焦點，叫做焦距。橢圓和雙曲線比較：橢 圓雙 曲 線定義方程焦點注意：如何用方程確定焦點的位置！（2）雙曲線的性質(zhì)范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程,看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線的外側(cè)。即，即雙曲線在兩條直線的外側(cè)。對稱性:雙曲線關(guān)于每個坐標(biāo)軸和原點都是對稱的，這時，坐標(biāo)軸是雙曲線的對稱軸，原點是雙曲線的對稱中心,雙曲線的對稱中心叫做

5、雙曲線的中心。頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。在雙曲線的方程里,對稱軸是軸，所以令得，因此雙曲線和軸有兩個交點,他們是雙曲線的頂點。令，沒有實根，因此雙曲線和y軸沒有交點。1）注意：雙曲線的頂點只有兩個,這是與橢圓不同的（橢圓有四個頂點)，雙曲線的頂點分別是實軸的兩個端點。2）實軸:線段叫做雙曲線的實軸，它的長等于叫做雙曲線的實半軸長。虛軸:線段叫做雙曲線的虛軸，它的長等于叫做雙曲線的虛半軸長。漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線,這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線的各支向外延伸時,與這兩條直線逐漸接近。等軸雙曲線:1）定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫

6、做等軸雙曲線。定義式:;2)等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為： ；（2)漸近線互相垂直.注意以上幾個性質(zhì)與定義式彼此等價。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時其他幾個亦成立。3）注意到等軸雙曲線的特征,則等軸雙曲線可以設(shè)為： ，當(dāng)時交點在軸，當(dāng)時焦點在軸上.注意與的區(qū)別：三個量中不同(互換）相同，還有焦點所在的坐標(biāo)軸也變了。3拋物線（1)拋物線的概念平面內(nèi)與一定點f和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點f不在定直線l上）.定點f叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。注意：它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上,焦點坐標(biāo)是f(,

7、0)，它的準(zhǔn)線方程是 ；(2）拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同,有四種不同的情況,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式：，。這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下表：標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程范圍對稱性軸軸軸軸頂點離心率說明：（1）通徑：過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；（2）拋物線的幾何性質(zhì)的特點:有一個頂點,一個焦點，一條準(zhǔn)線，一條對稱軸,無對稱中心，沒有漸近線;（3）注意強調(diào)的幾何意義：是焦點到準(zhǔn)線的距離。直線和圓錐曲線經(jīng)?？疾榈囊恍╊}型直線與橢圓、雙曲線、拋物線中每一個曲線的位置關(guān)系都有相交、相切、相離三種情況，從幾何角度可分為三類

8、：無公共點，僅有一個公共點及有兩個相異公共點對于拋物線來說,平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點,但并不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但并不相切直線和橢圓、雙曲線、拋物線中每一個曲線的公共點問題，可以轉(zhuǎn)化為它們的方程所組成的方程組求解的問題,從而用代數(shù)方法判斷直線與曲線的位置關(guān)系。解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的解題步驟是:（1)直線的斜率不存在，直線的斜率存在， （2）聯(lián)立直線和曲線的方程組；（3)討論類一元二次方程 （4）一元二次方程的判別式（5）韋達定理，同類坐標(biāo)變換 （6）同點縱橫坐標(biāo)變換（7)x,y，k(斜率）的取值范圍（8）目標(biāo)：弦長，中點，垂直,角

9、度，向量,面積，范圍等等運用的知識:1、中點坐標(biāo)公式：，其中是點的中點坐標(biāo)。2、弦長公式:若點在直線上，則,這是同點縱橫坐標(biāo)變換，是兩大坐標(biāo)變換技巧之一，或者。3、兩條直線垂直：則兩條直線垂直，則直線所在的向量4、韋達定理:若一元二次方程有兩個不同的根,則。常見的一些題型:題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系題型二:弦的垂直平分線問題題型三:動弦過定點的問題題型四:過已知曲線上定點的弦的問題題型五：共線向量問題題型六：面積問題題型七：弦或弦長為定值問題題型八：角度問題問題九:四點共線問題問題十：范圍問題（本質(zhì)是函數(shù)問題）問題十一、存在性問題：(存在點,存在直線y=kx+m，存在實數(shù)，存

10、在圖形：三角形（等比、等腰、直角），四邊形(矩形、菱形、正方形），圓）題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系例題1、已知直線與橢圓始終有交點，求的取值范圍思路點撥：直線方程的特點是過定點(0，1),橢圓的特點是過定點(-2，0）和（2，0)，和動點.解：根據(jù)直線的方程可知，直線恒過定點（0，1），橢圓過動點，如果直線和橢圓始終有交點，則，即。規(guī)律提示：通過直線的代數(shù)形式,可以看出直線的特點： 證明直線過定點，也是將滿足條件的直線整理成以上三種形式之一，再得出結(jié)論.練習(xí)：1、過點p（3，2) 和拋物線 只有一個公共點的直線有（ ）條。a4b3c2d1分析：作出拋物線，判斷點p（3，2）相對

11、拋物線的位置。解:拋物線 如圖，點p（3,2）在拋物線的內(nèi)部，根據(jù)過拋物線內(nèi)一點和拋物線的對稱軸平行或重合的直線和拋物線只有一個交點,可知過點p(3，2) 和拋物線 只有一個公共點的直線有一條。故選擇d規(guī)律提示：含焦點的區(qū)域為圓錐曲線的內(nèi)部。(這里可以用公司的設(shè)備畫圖）一、過一定點p和拋物線只有一個公共點的直線的條數(shù)情況：(1）若定點p在拋物線外，則過點p和拋物線只有一個公共點的直線有3條：兩條切線，一條和對稱軸平行或重合的直線；（2）若定點p在拋物線上，則過點p和拋物線只有一個公共點的直線有2條:一條切線，一條和對稱軸平行或重合的直線；（3）若定點p在拋物線內(nèi)，則過點p和拋物線只有一個公共點

12、的直線有1條：和拋物線的對稱軸平行或重合的直線和拋物線只有一個交點。二、過定點p和雙曲線只有一個公共點的直線的條數(shù)情況：（1）若定點p在雙曲線內(nèi),則過點p和雙曲線只有一個公共點的直線有2條：和雙曲線的漸近線平行的直線和雙曲線只有一個公共點；（2）若定點p在雙曲線上，則過點p和雙曲線只有一個公共點的直線有3條:一條切線，2條和漸近線平行的直線；（3）若定點p在雙曲線外且不在漸近線上，則過點p和雙曲線只有一個公共點的直線有4條:2條切線和2條和漸近線平行的直線；（4）若定點p在雙曲線外且在一條漸近線上，而不在另一條漸近線上，則過點p和雙曲線只有一個公共點的直線有2條：一條切線,一條和另一條漸近線平

13、行的直線;（5）若定點p在兩條漸近線的交點上，即對稱中心，過點p和雙曲線只有一個公共點的直線不存在。題型二:弦的垂直平分線問題弦的垂直平分線問題和對稱問題是一種解題思維，首先弄清楚哪個是弦，哪個是對稱軸,用到的知識是：垂直（兩直線的斜率之積為-1）和平分（中點坐標(biāo)公式)。例題2、過點t(1，0）作直線與曲線n ：交于a、b兩點，在x軸上是否存在一點e（,0),使得是等邊三角形,若存在，求出;若不存在，請說明理由.分析:過點t(-1,0）的直線和曲線n ：相交a、b兩點，則直線的斜率存在且不等于0，可以設(shè)直線的方程，聯(lián)立方程組，消元,分析類一元二次方程,看判別式，運用韋達定理，得弦的中點坐標(biāo)，再

14、由垂直和中點，寫出垂直平分線的方程,得出e點坐標(biāo)，最后由正三角形的性質(zhì)：中線長是邊長的倍。運用弦長公式求弦長。解：依題意知，直線的斜率存在,且不等于0。設(shè)直線，,，。由消y整理，得 由直線和拋物線交于兩點，得即 由韋達定理，得：。則線段ab的中點為。線段的垂直平分線方程為： ， 令y=0,得,則為正三角形，到直線ab的距離d為。 解得滿足式 此時。思維規(guī)律：直線過定點設(shè)直線的斜率k，利用韋達定理法,將弦的中點用k表示出來，再利用垂直關(guān)系將弦的垂直平分線方程寫出來,求出了橫截距的坐標(biāo)；再利用正三角形的性質(zhì)：高是邊長的倍，將k確定，進而求出的坐標(biāo)。例題3、已知橢圓的左焦點為f，o為坐標(biāo)原點。 （)

15、求過點o、f，并且與相切的圓的方程；（）設(shè)過點f且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于a、b兩點，線段ab的垂直平分線與x軸交于點g，求點g橫坐標(biāo)的取值范圍.分析：第一問求圓的方程，運用幾何法：圓心在弦的垂直平分線上,圓心到切線的距離等于圓心到定點的距離；第二問，過定點的弦的垂直平分線如果和x軸相交,則弦的斜率存在，且不等于0,設(shè)出弦ab所在的直線的方程，運用韋達定理求出弦中點的橫坐標(biāo)，由弦ab的方程求出中點的總坐標(biāo)，再有弦ab的斜率，得到線段ab的垂直平分線的方程，就可以得到點g的坐標(biāo)。 解：(i) a2=2,b2=1，c=1,f(-1，0），l:x=2. 圓過點o、f,圓心m在直線x=-設(shè)m（），

16、則圓半徑：r=|(）(-2）=由om=r，得,解得t=，所求圓的方程為(x+）2+(y)2=。(ii）由題意可知,直線ab的斜率存在，且不等于0,設(shè)直線ab的方程為y=k(x+1)（k0）,代入+y2=1，整理得（1+2k2)x2+4k2x+2k22=0直線ab過橢圓的左焦點f， 方程一定有兩個不等實根,設(shè)a(x1，y1),b（x2，y2),ab中點n(x0，y0)，則x1+x1=-ab垂直平分線ng的方程為令y=0,得點g橫坐標(biāo)的取值范圍為（）.技巧提示:直線過定點設(shè)直線的斜率k，利用韋達定理，將弦的中點用k表示出來，韋達定理就是同類坐標(biāo)變換的技巧,是解析幾何中解決直線和圓錐曲線問題的兩大技

17、巧之第一個技巧。再利用垂直關(guān)系將弦ab的垂直平分線方程寫出來,就求出了橫截距的坐標(biāo)（關(guān)于k的函數(shù)）.直線和圓錐曲線中參數(shù)的范圍問題,就是函數(shù)的值域問題。練習(xí)1:已知橢圓過點，且離心率。 (）求橢圓方程; （）若直線與橢圓交于不同的兩點、,且線段的垂直平分線過定點，求的取值范圍。分析：第一問中已知橢圓的離心率，可以得到的關(guān)系式，再根據(jù)“過點”得到的第2個關(guān)系式，解方程組，就可以解出的值，確定橢圓方程。第二問，設(shè)出交點坐標(biāo)，聯(lián)立方程組,轉(zhuǎn)化為一元二次方程，通過判別式得出的不等式，再根據(jù)韋達定理，得出弦mn的中點的橫坐標(biāo),利用弦的直線方程，得到中點的縱坐標(biāo),由中點坐標(biāo)和定點，得垂直平分線的斜率，有垂

18、直平分線的斜率和弦的斜率之積為-1，可得的等式,用k表示m再代入不等式，就可以求出k的取值范圍。解：(）離心率，,即（1)；又橢圓過點，則,（1）式代入上式，解得，,橢圓方程為。（)設(shè)，弦mn的中點a由得：，直線與橢圓交于不同的兩點，,即（1）由韋達定理得：，則,直線ag的斜率為：,由直線ag和直線mn垂直可得:，即，代入（1）式，可得，即，則。老師支招：如果只說一條直線和橢圓相交,沒有說直線過點或沒給出直線的斜率，就直接設(shè)直線的方程為:，再和曲線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化成一元二次方程,就能找到解決問題的門路。本題解決過程中運用了兩大解題技巧:與韋達定理有關(guān)的同類坐標(biāo)變換技巧，與點的縱、橫坐標(biāo)有關(guān)的同點縱橫

19、坐標(biāo)變換技巧。解決直線和圓錐曲線的問題的關(guān)鍵就是充分、靈活的運用這兩大解題技巧.練習(xí)2、設(shè)、分別是橢圓的左右焦點是否存在過點的直線l與橢圓交于不同的兩點c、d,使得？若存在，求直線l的方程；若不存在,請說明理由分析：由得,點c、d關(guān)于過的直線對稱，由直線l過的定點a(5，0）不在的內(nèi)部，可以設(shè)直線l的方程為:，聯(lián)立方程組，得一元二次方程,根據(jù)判別式,得出斜率k的取值范圍，由韋達定理得弦cd的中點m的坐標(biāo)，由點m和點f1的坐標(biāo)，得斜率為，解出k值,看是否在判別式的取值范圍內(nèi).解:假設(shè)存在直線滿足題意,由題意知,過a的直線的斜率存在，且不等于.設(shè)直線l的方程為：，c、d,cd的中點m。由得:，又直

20、線l與橢圓交于不同的兩點c、d，則，即。由韋達定理得：,則，m（，)。又點，則直線的斜率為,根據(jù)得：，即，此方程無解,即k不存在，也就是不存在滿足條件的直線。老師提醒:通過以上2個例題和2個練習(xí)，我們可以看出，解決垂直平分線的問題，即對稱問題分兩步:第一步,有弦所在的直線和曲線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程（或類一元二次方程），通過判別式得不等式，由韋達定理得出弦中點的坐標(biāo)；第二步是利用垂直關(guān)系,得出斜率之積為-1，或者是利用中點坐標(biāo)和對稱軸直線的斜率，寫出垂直平分線的方程，就可以解決問題。需要注意的一點是，求出的參數(shù)一定要滿足判別式。題型三:動弦過定點的問題圓錐曲線自身有一些規(guī)律性的東西，其中一些

21、性質(zhì)是和直線與圓錐曲線相交的弦有關(guān)系，對這樣的一些性質(zhì),我們必須了如指掌，并且必須會證明。隨著幾何畫板的開發(fā)，實現(xiàn)了機器證明幾何問題，好多以前我們不知道的、了解不深入的幾何或代數(shù)性質(zhì)，都如雨后春筍般的出來了，其中大部分都有可以遵循的規(guī)律，高考出題人，也得設(shè)計好思維,讓我們在他們設(shè)好的路上“走”出來。下面我們就通過幾個考題領(lǐng)略一下其風(fēng)采。例題4、已知橢圓c:的離心率為,且在x軸上的頂點分別為a1(2，0）,a2(2，0）。(i)求橢圓的方程； （ii）若直線與x軸交于點t，點p為直線上異于點t的任一點，直線pa1，pa2分別與橢圓交于m、n點，試問直線mn是否通過橢圓的焦點？并證明你的結(jié)論。分析

22、：第一問是待定系數(shù)法求軌跡方程;第二問中,點a1、a2的坐標(biāo)都知道，可以設(shè)直線pa1、pa2的方程，直線pa1和橢圓交點是a1(2,0）和m，通過韋達定理，可以求出點m的坐標(biāo)，同理可以求出點n的坐標(biāo).動點p在直線上，相當(dāng)于知道了點p的橫坐標(biāo)了，由直線pa1、pa2的方程可以求出p點的縱坐標(biāo)，得到兩條直線的斜率的關(guān)系，通過所求的m、n點的坐標(biāo)，求出直線mn的方程，將交點的坐標(biāo)代入，如果解出的t2，就可以了，否則就不存在。解：(i)由已知橢圓c的離心率，,則得。從而橢圓的方程為（ii）設(shè)，直線的斜率為，則直線的方程為,由消y整理得是方程的兩個根， 則,，即點m的坐標(biāo)為，同理，設(shè)直線a2n的斜率為k

23、2，則得點n的坐標(biāo)為 ，直線mn的方程為：，令y=0，得，將點m、n的坐標(biāo)代入，化簡后得：又，橢圓的焦點為 ，即 故當(dāng)時，mn過橢圓的焦點.方法總結(jié)：本題由點a1（2,0)的橫坐標(biāo)2是方程的一個根，結(jié)合韋達定理運用同類坐標(biāo)變換,得到點m的橫坐標(biāo):，再利用直線a1m的方程通過同點的坐標(biāo)變換，得點m的縱坐標(biāo)：;其實由消y整理得，得到，即,很快。不過如果看到：將中的換下來，前的系數(shù)2用2換下來,就得點n的坐標(biāo)，如果在解題時,能看到這一點，計算量將減少,這樣真容易出錯，但這樣減少計算量。 本題的關(guān)鍵是看到點p的雙重身份:點p即在直線上也在直線a2n上，進而得到，由直線mn的方程得直線與x軸的交點，即橫

24、截距，將點m、n的坐標(biāo)代入,化簡易得，由解出,到此不要忘了考察是否滿足。另外：也可以直接設(shè)p（t，y0)，通過a1,a2的坐標(biāo)寫出直線pa1，pa2的直線方程,再分別和橢圓聯(lián)立,通過韋達定理求出m、n的坐標(biāo),再寫出直線mn的方程。再過點f，求出t值.例題5、（07山東理)已知橢圓c的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，橢圓c上的點到焦點距離的最大值為3；最小值為1; （）求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程;（）若直線與橢圓c相交于a，b兩點（a，b不是左右頂點），且以ab為直徑的圓過橢圓c的右頂點。求證:直線過定點,并求出該定點的坐標(biāo)。分析：第一問，是待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，直線與橢圓c相交于a，b兩點

25、，并且橢圓的右頂點和a、b的連線互相垂直,證明直線過定點,就是通過垂直建立k、m的一次函數(shù)關(guān)系。解（i）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， (ii）設(shè),由得，(注意：這一步是同類坐標(biāo)變換）（注意：這一步叫同點縱、橫坐標(biāo)間的變換）以ab為直徑的圓過橢圓的右頂點且,，,，解得，且滿足當(dāng)時,，直線過定點與已知矛盾；當(dāng)時,，直線過定點, 綜上可知，直線過定點,定點坐標(biāo)為名師經(jīng)驗：在直線和圓錐曲線的位置關(guān)系題中，以弦為直徑的圓經(jīng)過某個點，就是“弦對定點張直角,也就是定點和弦的兩端點連線互相垂直，得斜率之積為，建立等式。直線不過定點,也不知道斜率,設(shè)出，是經(jīng)常用的一招，在第二講中就遇到了這樣設(shè)的直線。練習(xí):直線和

26、拋物線相交于a、b，以ab為直徑的圓過拋物線的頂點，證明：直線過定點，并求定點的坐標(biāo)。分析：以ab為直徑的圓過拋物線的頂點o,則oaob，若設(shè)，則，再通過，將條件轉(zhuǎn)化為，再通過直線和拋物線聯(lián)立,計算判別式后,可以得到，解出k、m的等式,就可以了。解:設(shè)，由得，,(這里消x得到的)則（1） 由韋達定理，得：,則，以ab為直徑的圓過拋物線的頂點o，則oaob，即，可得,則，即，又,則，且使(1）成立,此時，直線恒過點。名師指點：本題解決過程中,有一個消元技巧,就是直線和拋物線聯(lián)立時，要消去一次項,計算量小一些，也運用了同類坐標(biāo)變換韋達定理，同點縱、橫坐標(biāo)變換-直線方程的縱坐標(biāo)表示橫坐標(biāo).其實解析幾

27、何就這么點知識,你發(fā)現(xiàn)了嗎？題型四：過已知曲線上定點的弦的問題若直線過的定點在已知曲線上，則過定點的直線的方程和曲線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程(或類一元二次方程），考察判斷式后,韋達定理結(jié)合定點的坐標(biāo)就可以求出另一端點的坐標(biāo)，進而解決問題.下面我們就通過例題領(lǐng)略一下思維過程。例題6、已知點a、b、c是橢圓e： 上的三點，其中點a是橢圓的右頂點，直線bc過橢圓的中心o，且，如圖。(i)求點c的坐標(biāo)及橢圓e的方程；(ii)若橢圓e上存在兩點p、q，使得直線pc與直線qc關(guān)于直線對稱,求直線pq的斜率.解：(i) ，且bc過橢圓的中心o ， 又 點c的坐標(biāo)為。a是橢圓的右頂點， ，則橢圓方程為：將點c

28、代入方程,得，橢圓e的方程為(ii） 直線pc與直線qc關(guān)于直線對稱，設(shè)直線pc的斜率為，則直線qc的斜率為，從而直線pc的方程為：,即，由消y，整理得:是方程的一個根， 即 同理可得： 則直線pq的斜率為定值。方法總結(jié)：本題第二問中，由“直線pc與直線qc關(guān)于直線對稱”得兩直線的斜率互為相反數(shù)，設(shè)直線pc的斜率為k，就得直線qc的斜率為-k。利用是方程的根，易得點p的橫坐標(biāo)：，再將其中的k用k換下來，就得到了點q的橫坐標(biāo):,這樣計算量就減少了許多,在考場上就節(jié)省了大量的時間。接下來，如果分別利用直線pc、qc的方程通過坐標(biāo)變換法將點p、q的縱坐標(biāo)也求出來，計算量會增加許多。直接計算、，就降低

29、了計算量?？傊?本題有兩處是需要同學(xué)們好好想一想，如何解決此類問題，一是過曲線上的點的直線和曲線相交，點的坐標(biāo)是方程組消元后得到的方程的根；二是利用直線的斜率互為相反數(shù)，減少計算量，達到節(jié)省時間的目的。練習(xí)2、：（2009遼寧卷文、理）已知,橢圓c以過點a（1，），兩個焦點為（1，0）（1,0）。（1） 求橢圓c的方程；（2） e，f是橢圓c上的兩個動點，如果直線ae的斜率與af的斜率互為相反數(shù)，證明直線ef的斜率為定值，并求出這個定值。 分析：第一問中,知道焦點,則 ，再根據(jù)過點a,通過解方程組，就可以求出 ,求出方程。第二問中,設(shè)出直線ae的斜率k,寫出直線的方程，聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)化成一元二

30、次方程,由韋達定理和點a的坐標(biāo)，可以求出點e的坐標(biāo),將點e中的k,用-k換下來，就可以得到點f的坐標(biāo),通過計算yeyf，xe-xf，就可以求出直線ef的斜率了解：（）由題意,c=1,可設(shè)橢圓方程為 ，將點a的坐標(biāo)代入方程: ，解得 ， （舍去）所以橢圓方程為 . (）設(shè)直線ae方程為:，代入得 設(shè),因為點在橢圓上,所以 8分又直線af的斜率與ae的斜率互為相反數(shù),在上式中以-k代k,可得 所以直線ef的斜率即直線ef的斜率為定值，其值為。 12分老師總結(jié)：此類題的關(guān)鍵就是定點在曲線上，定點的坐標(biāo)是方程的根，通過韋達定理，將動點的坐標(biāo)求出，在根據(jù)斜率互為相反數(shù),就可以直接求出第二動點的坐標(biāo)，最后

31、由斜率公式，可以求出斜率為定值.題型五：共線向量問題解析幾何中的向量共線,就是將向量問題轉(zhuǎn)化為同類坐標(biāo)的比例問題,再通過未達定理-同類坐標(biāo)變換，將問題解決。此類問題不難解決。例題7、設(shè)過點d（0,3）的直線交曲線m：于p、q兩點，且，求實數(shù)的取值范圍.分析：由可以得到，將p(x1,y1）,q(x2，y2）,代人曲線方程，解出點的坐標(biāo),用表示出來。解：設(shè)p（x1，y1），q(x2，y2), 由 得(x1,y13)=(x2,y2-3） 即方法一：方程組消元法又p、q是橢圓+=1上的點 消去x2,可得 即y2=又在橢圓上，2y22， 22 解之得：則實數(shù)的取值范圍是。方法二：判別式法、韋達定理法、配

32、湊法設(shè)直線pq的方程為：，由消y整理后，得p、q是曲線m上的兩點 即 由韋達定理得： 即 由得,代入,整理得 ， 解之得當(dāng)直線pq的斜率不存在，即時，易知或 。 總之實數(shù)的取值范圍是.方法總結(jié):通過比較本題的第二步的兩種解法，可知第一種解法,比較簡單，第二種方法是通性通法，但計算量較大，縱觀高考中的解析幾何題，若放在后兩題，很多情況下能用通性通法解,但計算量較大，計算繁瑣，考生必須有較強的意志力和極強的計算能力；不用通性通法,要求考生必須深入思考，有較強的思維能力，在命題人設(shè)計的框架中，找出破解的蛛絲馬跡，通過自己的思維將問題解決。例題8:已知橢圓c的中心在原點，焦點在x軸上，它的一個頂點恰好

33、是拋物線的焦點，離心率為（1）求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）過橢圓c的右焦點f作直線l交橢圓c于a、b兩點，交y軸于m點,若，,求的值分析：（07福建理科）如圖,已知點（1,0），直線l：x1,p為平面上的動點,過作直線l的垂線，垂足為點，且。 （）求動點的軌跡c的方程； （）過點f的直線交軌跡c于a、b兩點，交直線l于點m，已知，求的值。小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運算能力和綜合解題能力.滿分14分。解法一：（）設(shè)點，則，由得：，化簡得。（)設(shè)直線的方程為： 。設(shè)，,又,聯(lián)立方程組，消去得：，故由，得：，整理得：，,解法二：（

34、)由得：,， ， 所以點的軌跡是拋物線,由題意，軌跡的方程為：.（）由已知，,得。 則：.過點分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則有：.由得：，即。練習(xí)：設(shè)橢圓的左、右焦點分別為、，a是橢圓c上的一點，且，坐標(biāo)原點o到直線的距離為 (1)求橢圓c的方程；(2)設(shè)q是橢圓c上的一點，過q的直線l交x軸于點，較y軸于點m,若，求直線l的方程山東2006理 雙曲線c與橢圓有相同的焦點，直線y=為c的一條漸近線。（i） 求雙曲線c的方程；（ii）過點p（0，4）的直線，交雙曲線c于a，b兩點，交x軸于q點（q點與c的頂點不重合）。當(dāng),且時，求q點的坐標(biāo).解：（）解法一：由題意知直線的斜率存在且不等于零。設(shè)

35、的方程：，則在雙曲線上， 同理有：若則直線過頂點，不合題意。是二次方程的兩根. ，此時。 所求的坐標(biāo)為.解法二：由題意知直線的斜率存在且不等于零設(shè)的方程，則。 , 分的比為.由定比分點坐標(biāo)公式得 下同解法一解法三：由題意知直線的斜率存在且不等于零設(shè)的方程:,則。，。， ， 又, 即 將代入得 ，否則與漸近線平行.。 解法四:由題意知直線l得斜率k存在且不等于零,設(shè)的方程：，則 ， . 同理 .即（）又 消去y得。當(dāng)時，則直線l與雙曲線得漸近線平行,不合題意,。由韋達定理有： 代入（)式得 所求q點的坐標(biāo)為。練習(xí)：已知橢圓c的中心在原點，焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率等于。

36、（1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2）點p為橢圓上一點，弦pa、pb分別過焦點f1、f2，（pa、pb都不與x軸垂直，其點p的縱坐標(biāo)不為0），若,求的值。解：（1）設(shè)橢圓c的方程為：，則b=1,由，得，則橢圓的方程為:(2）由得：，設(shè)，有得：解得：，根據(jù)pa、pb都不與x軸垂直,且，設(shè)直線pa的方程為：,代人，整理后,得:根據(jù)韋達定理,得：,則，從而， 同理可求則由為橢圓上一點得:， 則, 故的值為18.題型六：面積問題例題8、（07陜西理）已知橢圓c:（ab0）的離心率為短軸一個端點到右焦點的距離為.(）求橢圓c的方程；（)設(shè)直線l與橢圓c交于a、b兩點，坐標(biāo)原點o到直線l的距離為,求aob面積的

37、最大值。解:（）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意 ,所求橢圓方程為。（）設(shè)，。 （1）當(dāng)軸時，。（2）當(dāng)與軸不垂直時,設(shè)直線的方程為。由已知，得.把代入橢圓方程,整理得，.。當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立。當(dāng)時,， 綜上所述。當(dāng)最大時，面積取最大值。練習(xí)1、（07浙江理）如圖，直線與橢圓交于a、b兩點，記的面積為。（）求在，的條件下,的最大值;（）當(dāng)時，求直線ab的方程。本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分14分。解：（）解：設(shè)點a的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，由，解得，所以 當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最在值1，(）解:由得 設(shè)到的距離為，則又因為 所以代入

38、式并整理，得 解得，代入式檢驗，。故直線的方程是。練習(xí)2、（山東06文）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點o，焦點在x軸上，橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形,兩準(zhǔn)線間的距離為4。()求橢圓的方程；(）直線過點p(0,2）且與橢圓相交于a、b兩點，當(dāng)aob面積取得最大值時，求直線l的方程。解:設(shè)橢圓方程為(i)由已知得 所求橢圓方程為（ii）解法一：由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，由 消去y得關(guān)于x的方程：由直線l與橢圓相交a、b兩點，,解得,又由韋達定理得 。原點o到直線l的距離解法1：對兩邊平方整理得: （*） , 整理得： 又 .從而的最大值為, 此時代入方程（）得所以，所求直

39、線方程為： .解法2:令， 則, 。 當(dāng)且僅當(dāng)即時， 此時。所以，所求直線方程為 .解法二：由題意知直線l的斜率存在且不為零。設(shè)直線l的方程為，則直線l與x軸的交點由解法一知：且 解法1： 下同解法一解法2： 下同解法一已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓的離心率為,為其焦點，一直線過點與橢圓相交于兩點，且的最大面積為，求橢圓的方程。解：由得，所以橢圓方程設(shè)為設(shè)直線，由 得：設(shè)，則是方程的兩個根由韋達定理得 所以當(dāng)且僅當(dāng)時，即軸時取等號 所以，所求橢圓方程為題型七：弦或弦長為定值問題例題9、（07湖北理科）在平面直角坐標(biāo)系xoy中,過定點c(0，p）作直線與拋物線x2=2py（p0）相交于a、b

40、兩點。（)若點n是點c關(guān)于坐標(biāo)原點o的對稱點，求anb面積的最小值；（)是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以ac為直徑的圓截得弦長恒為定值?若存在，求出l的方程;若不存在，說明理由.（此題不要求在答題卡上畫圖）本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識進行推理運算的能力和解決問題的能力。解法1：（)依題意,點n的坐標(biāo)為n（0,-p）,可設(shè)a(x1，y1）,b（x2,y2），直線ab的方程為y=kx+p,與x2=2py聯(lián)立得消去y得x22pkx2p2=0. 由韋達定理得x1+x2=2pk,x1x2=2p2。于是.（）假設(shè)滿足條件的直線l存在,其方程為y=a，a

41、c的中點為徑的圓相交于點p、q，pq的中點為h，則.=令,得為定值,故滿足條件的直線l存在,其方程為，即拋物線的通徑所在的直線。解法2：（)前同解法1，再由弦長公式得 又由點到直線的距離公式得。從而，（）假設(shè)滿足條件的直線t存在，其方程為y=a，則以ac為直徑的圓的方程為將直線方程y=a代入得設(shè)直線l與以ac為直徑的圓的交點為p（x2,y2)，q(x4,y4），則有令為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為.即拋物線的通徑所在的直線。題型八：角度問題例題9、（08重慶理）如圖（21）圖,m（-2，0）和n(2，0）是平面上的兩點，動點p滿足：（)求點p的軌跡方程; （)若,求點p的坐標(biāo).解：（

42、)由橢圓的定義，點p的軌跡是以m、n為焦點,長軸長2a=6的橢圓。 因此半焦距c=2，長半軸a=3，從而短半軸b=, 所以橢圓的方程為()由 得 因為不為橢圓長軸頂點，故p、m、n構(gòu)成三角形。在pmn中， 將代入,得 故點p在以m、n為焦點，實軸長為的雙曲線上。 由()知，點p的坐標(biāo)又滿足,所以 由方程組 解得 即p點坐標(biāo)為練習(xí)1、(05福建理）已知方向向量為v=(1，）的直線l過點(0，2）和橢圓c:(ab0)的焦點，且橢圓c的中心關(guān)于直線l的對稱點在橢圓c的右準(zhǔn)線上。（）求橢圓c的方程；（）是否存在過點e（2，0）的直線m交橢圓c于點m、n,滿足cotmon0（o為原點）.若存在，求直線m

43、的方程;若不存在，請說明理由。本小題主要考查直線、橢圓及平面向量的基本知識，平面解析幾何的基本方法和綜合解題能力。（i）解法一：直線， 過原點垂直的直線方程為， 解得橢圓中心o（0，0）關(guān)于直線的對稱點在橢圓c的右準(zhǔn)線上,直線過橢圓焦點，該焦點坐標(biāo)為（2，0）. 故橢圓c的方程為 解法二：直線.設(shè)原點關(guān)于直線對稱點為（p，q)，則解得p=3.橢圓中心o（0,0）關(guān)于直線的對稱點在橢圓c的右準(zhǔn)線上， 直線過橢圓焦點，該焦點坐標(biāo)為（2,0）。 故橢圓c的方程為 （ii） 解法一：設(shè)m（）,n(）。當(dāng)直線m不垂直軸時,直線代入，整理得 點o到直線mn的距離即 即整理得當(dāng)直線m垂直x軸時,也滿足.故直

44、線m的方程為或或經(jīng)檢驗上述直線均滿足.所以所求直線方程為或或解法二:設(shè)m(），n（).當(dāng)直線m不垂直軸時，直線m：y=k（x+2)代入，整理得 e(2，0）是橢圓c的左焦點,mn=me|+|ne|=以下與解法一相同。解法三：設(shè)m（），n(）. 設(shè)直線,代入，整理得 y1-y2=即 =，整理得解得或故直線m的方程為或或經(jīng)檢驗上述直線方程為所以所求直線方程為或或練習(xí)2、（08陜西理）已知拋物線：,直線交于兩點，是線段的中點，過作軸的垂線交于點(）證明:拋物線在點處的切線與平行;()是否存在實數(shù)使,若存在，求的值；若不存在,說明理由解法一：（）如圖，設(shè)，把代入得,xay112mnbo由韋達定理得,，

45、點的坐標(biāo)為設(shè)拋物線在點處的切線的方程為,將代入上式得， 直線與拋物線相切， 即（)假設(shè)存在實數(shù),使，則，又是的中點，由（)知軸，又 ，解得 即存在,使解法二：（）如圖，設(shè)，把代入得由韋達定理得，點的坐標(biāo)為，拋物線在點處的切線的斜率為，（）假設(shè)存在實數(shù),使由(）知，則，,，解得 即存在，使問題九：四點共線問題例題10、（08安徽理)設(shè)橢圓過點，且著焦點為（）求橢圓的方程;(）當(dāng)過點的動直線與橢圓相交與兩不同點時,在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上22解 （1）由題意： ,解得，所求橢圓方程為 （2）方法一 設(shè)點q、a、b的坐標(biāo)分別為.由題設(shè)知均不為零，記,則且又a，p，b，q四點共線，從

46、而于是 ， , 從而 ,(1） ,（2)又點a、b在橢圓c上，即 (1)+(2）2并結(jié)合（3），（4）得， 即點總在定直線上方法二 設(shè)點，由題設(shè)，均不為零。且 又 四點共線，可設(shè),于是 （1） （2）由于在橢圓c上，將（1），(2）分別代入c的方程整理得 （3） (4)(4）(3） 得 即點總在定直線上練習(xí)1、（08四川理)設(shè)橢圓 的左、右焦點分別為、，離心率，右準(zhǔn)線為,、是上的兩個動點，(）若，求、的值;（)證明：當(dāng)取最小值時，與共線解析：數(shù)列和解幾位列倒數(shù)第三和第二，意料之中開始擠牙膏吧（）由已知,由，又，：，延長交于，記右準(zhǔn)線交軸于， 由平幾知識易證， 即，,，（）另解：，,又 聯(lián)立，消

47、去、得:，整理得：，解得但解此方程組要考倒不少人（）, 當(dāng)且僅當(dāng)或時，取等號此時取最小值此時與共線 （）另解：，設(shè)，的斜率分別為，由, 由 當(dāng)且僅當(dāng)即,時取等號即當(dāng)最小時，此時與共線點評：本題第一問又用到了平面幾何看來,與平面幾何有聯(lián)系的難題真是四川風(fēng)格啊注意平面幾何可與三角向量解幾沾邊，應(yīng)加強對含平面幾何背景的試題的研究本題好得好,出得活,出得妙！均值定理,放縮技巧,永恒的考點問題十：范圍問題（本質(zhì)是函數(shù)問題）例題1、已知直線相交于a、b兩點。 （1）若橢圓的離心率為，焦距為2,求線段ab的長; （2）若向量互相垂直（其中o為坐標(biāo)原點），當(dāng)橢圓的離心率時，求橢圓的長軸長的最大值。（07四川理

48、）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點.（)若是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值；（）設(shè)過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、,且為銳角（其中為坐標(biāo)原點），求直線的斜率的取值范圍.本題主要考察直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識,以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題及推理計算能力。解:（）解法一：易知， 所以，設(shè)，則因為，故當(dāng),即點為橢圓短軸端點時,有最小值當(dāng),即點為橢圓長軸端點時，有最大值解法二：易知,所以，設(shè)，則（以下同解法一）（）顯然直線不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線，聯(lián)立，消去,整理得:由得：或又,又，即 故由、得或(2009湖南卷文）(本小題滿分13分)已知橢圓c的中心在原點，焦點在軸上，以兩個焦點和短

49、軸的兩個端點為頂點的四邊形是一個面積為8的正方形(記為q）。（)求橢圓c的方程;(）設(shè)點p是橢圓c的左準(zhǔn)線與軸的交點，過點p的直線與橢圓c相交于m，n兩點，當(dāng)線段mn的中點落在正方形q內(nèi)(包括邊界）時，求直線的斜率的取值范圍。解： （）依題意，設(shè)橢圓c的方程為焦距為，由題設(shè)條件知， 所以 故橢圓c的方程為 .（）橢圓c的左準(zhǔn)線方程為所以點p的坐標(biāo)，顯然直線的斜率存在，所以直線的方程為. 如圖，設(shè)點m，n的坐標(biāo)分別為線段mn的中點為g, 由得. 由解得。 因為是方程的兩根,所以，于是 =， 。因為，所以點g不可能在軸的右邊，又直線,方程分別為所以點在正方形內(nèi)（包括邊界）的充要條件為 即 亦即 解

50、得，此時也成立。 w。w。w.k.s.5.u。c.o.m 故直線斜率的取值范圍是問題十一、存在性問題：（存在點，存在直線y=kx+m，存在實數(shù)，存在圖形：三角形(等比、等腰、直角),四邊形（矩形、菱形、正方形）,圓）(2009山東卷理）(本小題滿分14分）設(shè)橢圓e： (a,b0）過m（2，） ，n(,1）兩點，o為坐標(biāo)原點，（i)求橢圓e的方程;（ii）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個交點a,b,且？若存在,寫出該圓的方程，并求ab 的取值范圍，若不存在說明理由。解:(1）因為橢圓e： （a,b0)過m（2，） ，n(，1）兩點，所以解得所以橢圓e的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個交點a，b,且，設(shè)該圓的切線方程為解方程組得，即, w.w.w。k.s.5。u.c.o。m 則=，即，要使，需使,即,所以，所以又,所以,所以，即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求的圓為，此時圓的切線都滿足或，而當(dāng)切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上， 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒