現(xiàn)代控制理論-14愛克曼（Ackermann）公式

1、現(xiàn)代控制理論Modern Control Theory(14),愛克曼（Ackermann）公式 閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式： 記閉環(huán)狀態(tài)矩陣 ， 應(yīng)用凱萊哈密爾頓引理，閉環(huán)狀態(tài)矩陣滿足 問題：以上構(gòu)成了關(guān)于增益矩陣K的一個(gè)方程，如何從 中確定增益矩陣K？,需要設(shè)法把增益矩陣K分離出來！ 以一個(gè)三階系統(tǒng)為例來說明 從關(guān)系式 分別乘以 ，再相加可得,設(shè)法將包含增益矩陣K的進(jìn)行分類合并,由能控性，可得 愛克曼公式,例 對傳遞函數(shù)描述的二階系統(tǒng) ，確定一個(gè)狀態(tài) 反饋控制律，使得閉環(huán)極點(diǎn)位于 解 期望閉環(huán)多項(xiàng)式： 對象的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)： 能控性矩陣： 愛克曼公式：,關(guān)于極點(diǎn)配置問題： 1。n個(gè)極點(diǎn)，以共軛對的形

2、式出現(xiàn)； 2。主導(dǎo)極點(diǎn)； 3?？紤]到零點(diǎn)的影響； 4。系統(tǒng)響應(yīng)速度并非越快越好； 5。單輸入系統(tǒng)，極點(diǎn)配置不影響零點(diǎn)分布； 6。單輸入能控系統(tǒng)，控制器惟一，多輸入系統(tǒng)則不惟一 7。區(qū)域極點(diǎn)配置。 不足：需要用到全部狀態(tài)。,5.3.5 應(yīng)用MATLAB求解極點(diǎn)配置問題 提供了兩個(gè)函數(shù)： acker:基于愛克曼公式，適用于單輸入系統(tǒng)，多重極點(diǎn) place:適用于多輸入系統(tǒng)，相同極點(diǎn)個(gè)數(shù)不超過B的秩 對單輸入系統(tǒng)，所得的K是一致的 K=acker(A,B,J) K=place(A,B,J) 檢驗(yàn)：eig(A-B*K) 極點(diǎn)配置的優(yōu)點(diǎn)：可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)性能,控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的目標(biāo) 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；

3、 閉環(huán)系統(tǒng)具有滿意的過渡過程； 采用的方法 線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)極點(diǎn)決定了穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能 極點(diǎn)配置 設(shè)計(jì)的控制器 狀態(tài)反饋控制器：,例 已知被控對象的狀態(tài)空間模型為 設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制律，使得閉環(huán)極點(diǎn)為-4和-5，并討 論閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。 系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)是-1和-3，現(xiàn)在要求將閉環(huán)極點(diǎn) 配置在-4和-5位置上，加快響應(yīng)速度！ 采用極點(diǎn)配置方法可得,狀態(tài)反饋增益矩陣是 檢驗(yàn)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能 利用終值定理方法！ 閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣 閉環(huán)傳遞函數(shù) 當(dāng)參考輸入為單位階躍信號時(shí)，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)值 存在穩(wěn)態(tài)誤差,開環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，且開環(huán)傳遞函數(shù) 開環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出,開環(huán)系統(tǒng)的單位階躍

4、響應(yīng),閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),無靜差,有靜差,結(jié)論：極點(diǎn)配置改善了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能； 有可能降低系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能， 一個(gè)無靜差的系統(tǒng)產(chǎn)生了靜差。 怎么辦？ 拋棄！ 改良！ 問題：如何在改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的同時(shí)，又不降低穩(wěn)態(tài) 性能呢？,跟蹤控制器設(shè)計(jì) 考慮系統(tǒng) 參考輸入： 外部擾動(dòng)： 特點(diǎn)：都是階躍信號（為了處理的簡單） 問題：設(shè)計(jì)控制器，使得 系統(tǒng)是穩(wěn)定的，且具有期望的過渡過程特性； 在存在擾動(dòng)下，系統(tǒng)輸出跟蹤參考輸入。,消除誤差的辦法：積分器！ 定義誤差向量： 引入誤差的積分： 對多輸出系統(tǒng)： 將積分器的輸出作為狀態(tài)，可得增廣系統(tǒng),引入了積分器,對增廣系統(tǒng) 首先必須是穩(wěn)定的！ 設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制律

5、使得閉環(huán)系統(tǒng) 是穩(wěn)定的。 進(jìn)而分析穩(wěn)態(tài)性能：求拉氏變換，得到,參考輸入和外部擾動(dòng)都是階躍信號時(shí)，由終值定理 即x和q趨向于常值。從而 和 趨于零。 結(jié)論：針對增廣系統(tǒng)，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制律，使得閉 環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，對應(yīng)的系統(tǒng)無靜態(tài)誤差。 若還需要系統(tǒng)有期望的過渡過程特性，則可極點(diǎn)配置！,條件：增廣系統(tǒng)能任意配置極點(diǎn)的條件是系統(tǒng)能控。 定理 增廣系統(tǒng)能控的充分必要條件是 （1）原來系統(tǒng)是能控的 （2） ， ， 在對原系統(tǒng)進(jìn)行極點(diǎn)配置時(shí)，也需要能控性！ 條件（2）的解釋： m是輸入的個(gè)數(shù)，r是輸出的個(gè)數(shù)。 ：輸入個(gè)數(shù)不少于輸出個(gè)數(shù) ：所有的測量輸出都是獨(dú)立的,（2） ， ， 證明： 能控 原系統(tǒng)的能

6、控性 行向量線性無關(guān)， 是行滿秩的,S1,最后邊的秩是n+r,跟蹤外部參考輸入的控制律是 比例積分控制器！,例 已知被控對象的狀態(tài)空間模型為 開環(huán)極點(diǎn)是-1和-3。狀態(tài)反饋控制律 使得 閉環(huán)極點(diǎn)為-4和-5，改善了系統(tǒng)的衰減速度。,開環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),解決方法：引進(jìn)誤差的積分 增廣系統(tǒng)模型 增廣系統(tǒng)能控,設(shè)計(jì)要求：保持原閉環(huán)極點(diǎn)4，5； 增加一個(gè)增廣閉環(huán)極點(diǎn)8。 利用Matlab可得： K=-17.6667 13.0000 53.3333 跟蹤控制律 比例積分控制器。,單位階躍響應(yīng)： 改善動(dòng)態(tài)性能 消除靜態(tài)誤差,開環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),跟蹤控制器的閉環(huán)系統(tǒng),極點(diǎn)配置的閉環(huán)系統(tǒng),結(jié)論 通過對增廣系統(tǒng)進(jìn)行極點(diǎn)配置，設(shè)計(jì)一個(gè)比