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文檔簡介
1、矩 形,1.2.1 矩形的性質(zhì),在小學(xué),我們初步認(rèn)識(shí)了長方形,觀察圖2-41 中的長方形,它是什么平行四邊形嗎?它有什么特點(diǎn)呢?,圖2-41,這些四邊形的四個(gè)角都是直角.,我發(fā)現(xiàn)這些長方形的對邊平行且相等,因此,它們是平行四邊形.,有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形,也稱為長方形.,平行四邊形,矩形,矩形的四個(gè)角都是直角,對邊相等,對角線互相平分.,可以知道:,矩形是中心對稱圖形,對角線的交點(diǎn)是它的對稱中心.,由于矩形是平行四邊形,因此,如圖2-42,四邊形ABCD為矩形,那么對角 線AC與DB相等嗎?,圖2-42,圖2-42,如圖,四邊形ABCD是矩形,,于是有 AB=DC, CBA=BCD
2、=90 , BC=CB.,因此 CBABCD. (SAS),從而 AC=BD.,即矩形的對角線相等.,圖2-42,矩形的對角線相等.,由此得到矩形的性質(zhì):,圖2-43,解 ABCD是矩形,,從而, AOB是等邊三角形., AB=OA=2cm.,又AOB = 60,, ABC = 90,, 在RtABC中,,圖2-43,解 ABCD是矩形,,從而,在紙上畫一個(gè)矩形ABCD(如圖2-44),把它剪下來,怎樣折疊能使矩形在折痕兩旁的部分互相重合?滿足這個(gè)要求的折疊方法有幾種?由此猜測:矩形是軸對稱圖形嗎?如果是,它有幾條對稱軸?你的猜測正確嗎?,圖2-44,如圖,矩形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O.,O
3、,過點(diǎn)O作直線EFBC,且分別與邊BC ,AD相交于點(diǎn)E,F(xiàn).,由于 ,因此OBC是等腰三角形,從而直線EF是線段BC的垂直平分線.,由于ADBC,因此EFAD. 同理,直線EF是 線段AD的垂直平分線.,因此點(diǎn)B和點(diǎn)C關(guān)于直線EF對稱,點(diǎn)A和點(diǎn)D關(guān)于 直線EF對稱,從而在關(guān)于直線EF的軸反射下,矩形 ABCD的像與它自身重合,因此矩形ABCD是軸對稱 圖形,直線EF是矩形ABCD的一條對稱軸.,類似地,過點(diǎn)O作直線MNAB,且分別與邊AB,DC相交于點(diǎn)M,N,則點(diǎn)M,N分別是邊AB,DC的中點(diǎn),直線MN是矩形ABCD的一條對稱軸.,矩形是軸對稱圖形,過每一組對邊中點(diǎn)的直線都是矩形的對稱軸.,
4、由此得到:,已知矩形的一條對角線的長度為2cm,兩條對角線的 一個(gè)夾角為60,求矩形的各邊長.,1.,答:矩形的各邊長分別為1cm和,2. 如圖,四邊形ABCD 為矩形,試?yán)镁匦蔚男再|(zhì) 說明:直角三角形ABC斜邊AC上的中線BO等于 斜邊的一半.,例,如圖,在矩形ABCD中,對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,若AOB=60,AB=4cm,則AC的長為 cm.,8,矩 形,1.2.2 矩形的判定,矩形的四個(gè)角是直角,那么,四個(gè)角是直角的四邊形是矩形嗎?三個(gè)角是直角呢?兩個(gè)角是直角呢?,如圖2-46,四邊形ABCD 的四個(gè)角都是直角. 由于“同旁內(nèi)角互補(bǔ), 兩直線平行”,因此ABDC, ADBC,從而
5、四邊形ABCD 是平行四邊形. 所以ABCD 是矩形. 由此得到四個(gè)角是直角的四邊形是矩形.,圖2-46,三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.,三個(gè)角是直角的四邊形,容易知道另一個(gè)角也 是直角,由此得到:,從“矩形的對角線相等且互相平分”這一性質(zhì)受到啟發(fā),你能畫出對角線長度為4cm的一個(gè)矩形嗎?這樣的矩形有多少個(gè)?,你能說出這樣畫出的四邊形一定是矩形的道理嗎?,如圖2-47,由畫法可知,四邊形ABCD的兩條對角線互相平分,因此它是平行四邊形,又已知其對角線相等,上述問題抽象出來就是:對角線相等的平行四邊形是矩形嗎?,我們來進(jìn)行證明.,在ABCD中,由于AB=DC,AC=DB,BC=CB,,因此 ABC
6、DCB. (SSS),從而 ABC=DCB.,又ABC+DCB =180,,于是 ABC=90.,所以 ABCD是矩形.,圖2-47,對角線相等的平行四邊形是矩形.,由此得到矩形的判定定理:,對角線相等的四邊形是矩形嗎?,圖2-48,舉 例,(2) OBC是等腰三角形,其中OB = OC,, AC與DB相等且互相平分., OBC是等腰三角形., AC = 2OC = 2OB = BD., ABCD是矩形.,圖2-48,例3 如圖:在 ABCD中,對角線AC、BD交于點(diǎn)O,EFAC, O 是垂足,EF分別交AB、CD于點(diǎn)E、F,且BE=OE=0.5AE 求證: ABCD是矩形,1. 如圖,在四邊
7、形ABCD中,A=B=C=D, 求證:四邊形ABCD是矩形.,證明:因?yàn)樗倪呅沃?,A=B=C=D , 四邊形的內(nèi)角和為360, 所以A=B=C=D= 90 , 所以四邊形ABCD是矩形. (三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.),2. 如圖,在ABCD中,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O, AOB = 60,AB= 2,AC= 4,求ABCD的面積.,解: OA= =2,AB= 2,, OAB是等腰三角形., OAB是等邊三角形.,又AOB = 60,, OA=OB=2, AC=BD=4., ABCD是矩形. (對角線相等的平行四邊形是矩形.),作OEAD于點(diǎn)E.,E,在Rt OAE中,AO=2,OE= =1,,例
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