電磁場與電磁波實驗報告

1、電磁場與電磁波實 驗 報 告 問題陳述如下圖無限長的矩形金屬導體槽上有一蓋板，蓋板與金屬槽絕緣，蓋板電位為U0，金屬槽接地，橫截面如圖所示，試計算此導體槽內(nèi)的電位分布。參數(shù)說明：a=b=10m, =100v實驗要求1) 使用分離變量法求解解析解；2) 使用簡單迭代發(fā)求解，設(shè)兩種情況分別求解數(shù)值解；3) 使用超松弛迭代法求解，設(shè)確定（松弛因子）。求解過程一、 分離變量法求解因為矩形導體槽在z方向為無限長，所以槽內(nèi)電位函數(shù)滿足直角坐標系中的二維拉普拉斯方程。根據(jù)邊界條件可以確定解的形式：利用邊界條件求解系數(shù)。簡單迭代法求解二、 有限差分法有限差分法（Finite Differential Meth

2、od）是基于差分原理的一種數(shù)值計算法。其基本思想：將場域離散為許多小網(wǎng)格，應(yīng)用差分原理，將求解連續(xù)函數(shù)的泊松方程的問題轉(zhuǎn)換為求解網(wǎng)格節(jié)點上的差分方程組的問題。泊松方程的五點差分格式當場域中得到拉普拉斯方程的五點差分格式圖1-4 高斯賽德爾迭代法差分方程組的求解方法(1) 高斯賽德爾迭代法 (1-14)式中： 迭代順序可按先行后列，或先列后行進行。 迭代過程遇到邊界節(jié)點時，代入邊界值或邊界差分格式，直到所有節(jié)點電位滿足為止。（2）超松弛迭代法 (1-15) 式中：加速收斂因子可見：迭代收斂的速度與有明顯關(guān)系(一) 簡單迭代法簡單迭代法程序：1) 步長=1clear all;clc;close a

3、ll;%設(shè)置節(jié)點數(shù),步長1hx=11;hy=11;v1=ones(hy,hx);%設(shè)置邊界條件v1(hy,:)=ones(1,hx)*100;v1(1,:)=zeros(1,hx);v1(1:hy,1)=0;v1(1:hy,hx)=0;%初始化v2=v1;maxt=1;t=0;k=0;%while(maxt1e-10)k=k+1; %計算迭代次數(shù)maxt=0;for i=2:hy-1for j=2:hx-1v2(i,j)=(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1)/4;%拉普拉斯方程差分形式t=abs(v2(i,j)-v1(i,j);if(tmaxt) m

4、axt=t;endendendv1=v2;end%可視化顯示subplot(1,2,1),mesh(v2); %畫電勢的三維曲面圖axis(0 ,11,0,11,0,100);title(步長=1，各點電位);subplot(1,2,2),contour(v2); %畫等勢線title(等位線);實驗結(jié)果：圖1，簡單迭代法結(jié)果，步長1步長1，迭代次數(shù)k = 246各節(jié)點電位數(shù)據(jù)：01.1074992.0993442.8775023.3715693.5406673.3715692.8775022.0993441.107499002.3306524.4123756.0390957.0681087.

5、4195297.0681086.0390954.4123752.330652003.8027357.1804089.79839511.4422412.0012311.442249.7983957.1804083.802735005.69988110.7081314.5318416.9012217.7009216.9012214.5318410.708135.699881008.2886615.4203820.719623.92992523.929920.719615.420388.288660012.0343821.9651428.9962833.0987834.4392833.0987828

6、.9962821.9651412.034380017.8837231.4095240.2016145.0296446.5595745.0296440.2016131.4095217.883720028.0909645.5876355.3709860.2586261.7397160.2586255.3709845.5876328.090960048.892567.4790475.4360578.8941779.8820178.8941775.4360567.4790448.8925010010002) 步長=0.1實驗結(jié)果：圖2，簡單迭代法步長0.1步長0.1，迭代次數(shù)k = 20051部分實驗

7、結(jié)果數(shù)據(jù)截圖：圖3，簡單迭代法步長0.1部分數(shù)據(jù)(二) 超松馳迭代法1. 理論最佳松弛因子實驗結(jié)果實驗程序：clear all;clc;close all;%設(shè)置節(jié)點數(shù),步長0.1hx=101;hy=101; m=100;n=100;v1=ones(hy,hx);%設(shè)置邊界條件v1(hy,:)=ones(1,hx)*100;v1(1,:)=zeros(1,hx);v1(1:hy,1)=0;v1(1:hy,hx)=0;%計算松弛因子t1=sin(pi/(100);w=2/(1+t1);%初始化v2=v1;maxt=1;t=0;k=0;%while(maxt1e-10) k=k+1; %計算迭代次

8、數(shù) maxt=0; for i=2:hy-1 for j=2:hx-1 v2(i,j)=v1(i,j)+(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1)-4*v1(i,j)*w/4;%拉普拉斯方程差分形式 t=abs(v2(i,j)-v1(i,j); if(tmaxt) maxt=t;end end end v1=v2; end%可視化顯示subplot(1,2,1),mesh(v2); %畫電勢的三維曲面圖axis(0 ,101,0,101,0,100);title(超松弛迭代法各點電位);subplot(1,2,2),contour(v2,20); %畫等勢

9、線title(等位線);%disp(超松弛迭代步長0.1，迭代次數(shù));kdisp(松弛因子);w%最佳松弛因子獲得的實驗結(jié)果：圖4，最佳松弛因子得到的結(jié)果超松弛迭代步長0.1，迭代次數(shù)k = 491松弛因子w =1.93912. 迭代法最佳松弛因子的確定實驗程序：clear all;clc;close all;count=zeros(1,19); tem=1;for w=1.8:0.01:1.98 hx=101; hy=101; m=100; n=100; v1=ones(hy,hx); % % %設(shè)置邊界條件 v1(hy,:)=ones(1,hx)*100; v1(1,:)=zeros(1,

10、hx); v1(1:hy,1)=0; v1(1:hy,hx)=0; %初始化 v2=v1; maxt=1; t=0; k=0; % while(maxt1e-10) k=k+1; %計算迭代次數(shù) maxt=0; for i=2:hy-1 for j=2:hx-1 v2(i,j)=v1(i,j)+(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1)-4*v1(i,j)*w/4;%拉普拉斯方程差分形式 t=abs(v2(i,j)-v1(i,j); if(tmaxt) maxt=t;end end end v1=v2; end%count(tem)=k;tem=tem+1;endw=1.8:0.01:1.98;figure(1);plot(w,count);axis(1.80,2.00,400,2700);xlabel(松弛因子);ylabel(迭代次數(shù));title(最優(yōu)松弛因子的選取);實驗結(jié)果：圖5，松弛因子的取值圖6，相應(yīng)的迭代次數(shù)迭代次數(shù)隨松弛因子的變化曲線：圖7，迭代次數(shù)隨松弛因子變化曲線實驗結(jié)果分析：通過松弛因子的迭代選取，發(fā)現(xiàn)最優(yōu)松弛因子在1.94左右，相應(yīng)的迭代次數(shù)為499次，而理論值為1.9391，