兩個(gè)豎直上拋運(yùn)動(dòng)相遇問題的分析方法

1、兩個(gè)豎直上拋運(yùn)動(dòng)相遇問題的分析方法 豎直上拋運(yùn)動(dòng)作為勻變速直線運(yùn)動(dòng)的一個(gè)特例，既可看成全過程的勻減速運(yùn)動(dòng)，又能夠分為上升過程的勻減速運(yùn)動(dòng)和下降過程的自由落體運(yùn)動(dòng)。對(duì)于兩個(gè)以不同的初速度在同一直線上作豎直上拋運(yùn)動(dòng)的物體的相遇問題，其實(shí)質(zhì)就是一個(gè)追趕問題，相遇的位置有可能出現(xiàn)在上升階段或下降階段，她取決于兩個(gè)物體拋出時(shí)的初速度大小、兩個(gè)物體拋出點(diǎn)的高度差及拋出的時(shí)間間隔，如何分析此類問題呢？下面作者就以一道例題談一談她的一些分析方法。 例題：將小球A以初速度VA=40 m/s豎直向上拋出，經(jīng)過一段時(shí)間t后，又以初速度VB=30m/s將小球B從同一點(diǎn)豎直向上拋出，為了使兩個(gè)小球能在空中相遇，試分析t

2、應(yīng)滿足的條件。 解析：因?yàn)槭窃谕稽c(diǎn)拋出且VAVB，故相遇的位置一定是在A球下降階段，B球有可能是在下降或上升階段，其拋出的時(shí)間間隔就由這兩過程決定。 要使兩小球在空中相遇，t應(yīng)滿足的條件一定是介于某一范圍內(nèi)，所以，只要求出這個(gè)范圍的最大值和最小值就能夠了。 當(dāng)小球B拋出后處于上升階段時(shí)與A球相遇，經(jīng)過的時(shí)間間隔較大，故t的最大值為小球A剛要落回拋出點(diǎn)的瞬間將小球B拋出。而小球A在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為： ， 即t的最大值為tmax=8s。 當(dāng)小球B拋出后處于下降階段時(shí)與A球相遇，經(jīng)過的時(shí)間間隔較小，故t的最小值為A、B兩小球同時(shí)落地，先后拋出的時(shí)間間隔。而小球B在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為： ， 則t的最小

3、值為tmin=tA-tB=2s。 故要使A、B兩小球在空中相遇，t應(yīng)滿足的條件為2st8s。 方法二：利用位移公式分析 A、B兩小球在空中相遇，不管其是在上升還是下降階段相遇，相遇時(shí)的位移必相等。設(shè)小球B拋出后經(jīng)時(shí)間t與小球A相遇，則小球A拋出后的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（t+t），由位移公式可得 整理后可得，相遇時(shí)小球B所經(jīng)過時(shí)間為： （1） 考慮到A、B小球在空中相遇，則0t6s。 由（1）式可得：0（2） 6（3） 解（2）式得：1t8 解（3）式得：t2，或t6（不合題意） 綜合上述可得，要使A、B兩小球在空中相遇，t應(yīng)滿足的條件為2st8s。 方法三：巧選參考系分析 小球B經(jīng)t再拋出后，以小球A為

4、參考系，小球B作勻速直線運(yùn)動(dòng)，其相對(duì)速度為 =30（40gt）=gt10 而此時(shí)小球A的位移為，則小球B與小球A相遇的時(shí)間為 同樣，考慮到A、B小球在空中相遇，則0t6s，亦能夠得到上述的（2）（3）兩式，亦可求出要使A、B兩小球在空中相遇，t應(yīng)滿足的條件為2st8s。 方法四：利用圖象分析 1利用位移圖象分析 由位移公式可得A、B兩小球的位移隨時(shí)間的關(guān)系為 SA=40t5t2 SB=30t5t2可見，它們的圖象均為拋物線，在位移-時(shí)間圖象中分別作出它們的圖象，如圖1所示的圖線A和B。經(jīng)過不同時(shí)間t后再拋出小球B，只要將圖線B逐漸向右移動(dòng)，要使A、B兩小球在空中相遇，必須使A、B兩圖線存有交點(diǎn)

5、，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相遇時(shí)的時(shí)刻，縱坐標(biāo)為相遇時(shí)的位移。由圖1可知，當(dāng)移動(dòng)的時(shí)間間隔為2s時(shí)，與圖線A開始有交點(diǎn)，如圖1中的B1位置；當(dāng)移動(dòng)的時(shí)間間隔為8s時(shí)，與圖線A開始沒有交點(diǎn)，如圖中1的B3位置。由圖可知，當(dāng)2st5s時(shí)，其相遇情況是A、B兩球都處于下降階段，當(dāng)5st8s時(shí)，其相遇情況是A球處于下降階段B球處于上升階段。所以可得A、B兩小球在空中相遇，t應(yīng)滿足的條件為：2st8s。 2利用速度圖象分析 由速度公式可得，A、B兩小球的速度隨時(shí)間的變化關(guān)系為： VtA=4010t， VtB=3010t在速度時(shí)間圖象中分別作出它們的圖象，如圖2所示的圖線A和B。要使A、B兩小球在空中相遇，必須使小

6、球B拋出后，在小球A落地之前，它的位移要大于零。而位移為速度圖線與坐標(biāo)軸所圍成的面積，由如圖2可知，將B的速度圖線逐漸向右移動(dòng)，移動(dòng)的時(shí)間間隔在2s以內(nèi)，小球A的位移總是大于小球B的位移，且小球B總先于小球A落地，A、B兩小球不可能相遇，當(dāng)時(shí)間間隔等于2s時(shí)，如圖中B1位置，兩球同時(shí)落地。繼續(xù)將B的速度圖線向右移動(dòng)，在小球A落地之前的時(shí)間內(nèi)，如圖中B2、B3、B4、B5位置，小球B的位移總是大于零，即說明了A、B兩小球在空中相遇了。由圖可知，當(dāng)2st5s時(shí)，其相遇情況是A、B兩球都處于下降階段，當(dāng)5st8s時(shí)，其相遇情況是A球處于下降階段B球處于上升階段。故要使A、B兩小球在空中相遇，t應(yīng)滿足的條件為：2st8s。點(diǎn)評(píng)：由以上四種分析方法可以看出，采用圖象法簡(jiǎn)單、直觀、易懂，對(duì)于A和B兩小球是在上升階段還是下降階段相遇非常清楚；方法一雖然也簡(jiǎn)單，但不易弄懂，要分析出A和B兩小球相遇的位置是上升階段還是下降階段，若能結(jié)合圖象再加以分析，就非常清楚了；方法二和方法三不需要分析出A和B兩小球相遇的位置是上升階段還是下降階段，邏輯性很強(qiáng)，但要解不等式，相對(duì)來說要復(fù)雜一些。課堂練習(xí) 將小球A以初速度VA=40 m/s豎直向上拋出，經(jīng)過一段時(shí)間t后，又以初速度VB=30m/s將小球B從同一點(diǎn)豎直向上拋出，為了使兩個(gè)小球能